大學(xué)物理_第四章__動量和角動量

1、第四章動量,物體狀態(tài)的改變不僅與速度有關(guān)，還與 物體的質(zhì)量有關(guān) （例：木、鐵錘敲釘子）,物體狀態(tài)的改變不僅與所受到的力有關(guān)， 還與力作用的延續(xù)時間有關(guān) （例：推車）,上一章我們討論了力對空間的積累效應(yīng)，本章討論力對時間的積累效應(yīng)，沖量與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)的變化(即質(zhì)點(diǎn)動量增量）之間的關(guān)系。,動量（沖量）力對時間的積累,沖量,動量, 動量沖量動量定理,一、動量,1定義：,物體的質(zhì)量和它的運(yùn)動速度的乘積，稱為動量。,與物體的速度方向相同,單位：,直角分量式：,二、沖量,1定義：,力的作用與作用時間的乘積，稱為沖量。,的方向決定于沖力的方向。,若為恒力,在t1到t2時間間隔內(nèi)，力對物體的沖量,2矢量：,方

2、向：,單位：,描述作用在物體上的力 對時間的累積效應(yīng),直角坐標(biāo)系的分量式為,三、質(zhì)點(diǎn)的動量定理,牛頓第二定律的動量形式,動量定理,物理意義：物體所受合外力的沖量等于物體動量的增量。,質(zhì)點(diǎn)的動量定理,直角坐標(biāo)分量式為,注意：,為矢量式，使用中常伴以矢圖，再用解析式計(jì)算。,常用圖解法求,平均力,例：一質(zhì)量m=2.3kg的球以從水平方向飛來，以棒擊球，擊球后，球飛到豎直上方10m處下落，求棒給予球的沖量的大小和方向，如棒和球接觸時間為0.02s，求壘球受到的平均沖力。,解：狀態(tài)分析,球與棒脫離到飛至最高點(diǎn)過程機(jī)械能守恒,v1= 20 m/s,據(jù)動量原理作矢量圖：,解析式:,？,其分量式為,例一擺長為

3、L的單擺，一端固定于懸點(diǎn)O，另一端系有一質(zhì)量為的小球，當(dāng)其從擺線與豎直方向成最大擺角靜止釋放至豎直位置的過程中，重力的沖量如何？合外力的沖量如何？,動量定理中，是指合外力的沖量，本題中重力只是外力中的一個，故解重力的沖量時，不能用，,解：重力沖量,只能用定義式：,合外力沖量,設(shè)錘與工件 碰撞前的速度為 ，撞擊后速 度 。由機(jī)械能守恒定律有,例2.一重錘從高度h=1.5m處自靜止下落，錘與被加工的工件碰撞后末速為。若打擊時間 為 和 ，試計(jì)算這幾種情形下平均沖擊力與重力的比值.,h,y,由動量定理：,選取 y 坐標(biāo)如圖。,解：,計(jì)算結(jié)果：,在許多打擊或碰撞問題中，只要持續(xù)時間足夠短，略去諸如重力

4、這類有限大小的力是合理的。,結(jié)論：,例3.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡如圖所示。已知質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為20g ,在A、B二位置處的速率為20m/s， 與 x 軸成45角， 垂直于 y 軸，求質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)到B點(diǎn)這段時間內(nèi)，作用在質(zhì)點(diǎn)上外力的總沖量。,解：,由動量定理有,總沖量：,大小,方向,（與x軸正向夾角）,A,B,例4. 有一質(zhì)量為m=5kg的物體，在0至10秒內(nèi)，受到如圖所示的變力 F 的作用，由靜止開始沿 x 軸正向運(yùn)動，而力的方向始終為 x 軸的正方向，則10秒內(nèi)變力 F 所做的功為 。,解：,I = Ft 曲線下的面積, 動量守恒定理,一、系統(tǒng)的動量定理,單個質(zhì)點(diǎn)的動量定理：,質(zhì)點(diǎn)系：m1 + m2,m

5、1 + m2：,等于,得：,系統(tǒng)所受合外力的沖量，等于系統(tǒng)總動量的增量。,說明：內(nèi)力的作用不會改變系統(tǒng)的動量，只有外力的作用才會改變系統(tǒng)的動量。,說明：由于內(nèi)力做功不一定為，故其可改變系統(tǒng)的動能。,系統(tǒng)的動量定理,二、動量守恒定律,動量守恒定律：（由牛頓第二定律出發(fā)推出）,如果系統(tǒng)所受的合外力為，即,（注意：并不意味著）,物理意義：若系統(tǒng)不受外力或所受的合外力為零時， 系統(tǒng)內(nèi)各物體的動量的矢量和保持不變， 即系統(tǒng)總動量守恒。,動量守恒定律,2.動量守恒定律的使用說明,進(jìn)行條件分析,動量守恒定律的形式為一矢式，使用中應(yīng)取坐標(biāo)， 利用分量式求解。,在平面問題中：,只要某一個方向上滿足守恒條件，則在

6、該方向上的分動量守恒，即可在該方向上應(yīng)用動量守恒定律。,應(yīng)用動量守恒定律時，注意守恒式中各速度均應(yīng)對同 一慣性系而言。,例3. (書p.88例4-2)如圖,總質(zhì)量為M的載物小船以速度v 在靜水中航行.然后 分別同時在船頭和船尾以相對于船的速度u 向前和向后拋出質(zhì)量為m和2m的兩物體.設(shè)u 、v在同一直線上,問拋出兩物體后,小船的速度變?yōu)槎嗌?設(shè)水平方向船受的阻力可以忽略.,解: 一個整體分為三個運(yùn)動物體, 三物體速度重新分配. 以船+兩物為系統(tǒng), 水平方向阻 力略去, 因而水平方向動量守恒. 選兩物拋出前為初態(tài),兩物拋出后為末態(tài).,以岸為慣性系, 取向右為正.,末態(tài): 船的質(zhì)量 M-2m-m

7、此時船對岸速度設(shè)為,重點(diǎn)是確定始末態(tài)船、物對慣性系的速度。,初態(tài): 系統(tǒng)質(zhì)量M 系統(tǒng)對岸速度 ,且,解：,m+M,條件分析：,拋球前后,狀態(tài)分析：,拋球前,M+m,例5.一運(yùn)動員質(zhì)量為M，手中拿著質(zhì)量為m的籃球自地面以仰角 、初速度 斜向前跳起，跳至最高點(diǎn)時，以相對于人的速率u將球水平向后拋出，問運(yùn)動員向前的距離與不拋球時相比，增加多少？,拋球后,M m,mV球地,= m(V-u),系統(tǒng)：,動量守恒式：,復(fù) 習(xí),沖量,動量,動量定理,(單質(zhì)點(diǎn)）,(質(zhì)點(diǎn)組),動量守恒定律,例6.炮車以 的仰角發(fā)射一顆炮彈，已知炮車重5000kg , 炮彈重100kg , 炮彈對炮車的出口速度為 300m/s。求

8、炮車的反沖速度 , 忽略炮車與緩沖墊間的摩擦。設(shè)炮車倒退時與墊子的相互作用時間為 2s, 求墊子受的平均沖力.,解:,系統(tǒng)：,質(zhì)量為 M 的炮車+質(zhì)量為 m的炮彈, 總動量的水平分量守恒, 水平方向不受外力作用,（ P105 4-10）,狀態(tài)分析：,發(fā)射炮彈前,發(fā)射炮彈后的瞬間,m,M,解得：,守恒式：,炮車的反沖速度大小為 5.09 m/s，方向與炮彈發(fā)射的水平方向相反。,M = 5000kg ，m = 100 kg，v = 300 m/s,由牛頓第三定律，墊子受的平均沖力為12725N。,由動量定理知，墊子給炮車的平均沖力為,用動量守恒定律求解問題的步驟：,確定系統(tǒng)； 進(jìn)行受力分析和守恒條

9、件分析； 選取坐標(biāo)系，確定相互作用前、后兩時刻各物體 的動量； 列方程求解(有時還要聯(lián)系與系統(tǒng)能量相關(guān)的方程).,c,a,b,B,例7.質(zhì)量分別為 的3個重物a、b、c連接如圖所示。當(dāng)a下降時，b在楔子ABCD的水平面BC上向右滑動，c則沿斜面AB上升。楔子質(zhì)量M=100kg，如略去一切摩擦和繩子與滑輪的質(zhì)量，求當(dāng)重物a下降1m時，楔子相對于地面的位移？,A,C,D,M,o,x,解：系統(tǒng)：,M+a+b+c,受力分析：,狀態(tài)分析：,取坐標(biāo)ox 如圖所示，設(shè)a、b、c對 M的速率為 為M對地的速度。,a下降1m后,0，,a下降前,V,V,動量守恒式,解得：,一、碰撞,4-3 碰 撞,碰撞的物體可能

10、相互接觸,也可能不直接接觸,兩個或兩個以上的物體相遇，相遇時物體間的相互作用僅持續(xù)極短的時間，這種相遇稱為碰撞。,（如打擊球間的碰撞、子彈射入墻內(nèi)等）,粒子散射實(shí)驗(yàn),碰撞系統(tǒng)大都滿足外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力，即 ，故碰撞物體組成的系統(tǒng)動量守恒。,二.碰撞的共同規(guī)律,完全彈性碰撞,非彈性碰撞,完全非彈性碰撞,碰撞過程中機(jī)械能守恒,宏觀物體間一般為非彈性碰撞,碰撞過程中機(jī)械能（動能）不守恒,兩物體碰后結(jié)合在一起，并以同一速度運(yùn)動,三.分類,由于碰撞時物體間的相互作用力很大，其它的作用力可以略去，因此把相互作用的物體取為系統(tǒng)時，系統(tǒng)的動量（或其動量在某一坐標(biāo)方向的分量）守恒。,機(jī)械能不一定守恒。,完全彈性碰撞

11、,非彈性碰撞,完全非彈性碰撞 （粘在一塊以同一速度運(yùn)動）,四.遵循的規(guī)律,例4 P106 4-19 M=1000m, L=1米,求？,解：以子彈和砂袋組成的系統(tǒng)為研究對象，它們發(fā)生的是完全非彈性碰撞。,水平方向動量守恒,狀態(tài)分析：碰前 碰后,子彈砂袋,據(jù)動量守恒，有,雖然碰撞時，機(jī)械能不守恒，但從子彈射入砂袋到一起升高到最高點(diǎn)的過程中，只有保守力（重力）做功，故機(jī)械能守恒。,解之，得：,M = 1000m l = 1m,例5 P106 4-14,分析：以人球?yàn)檠芯肯到y(tǒng) 拋球前后水平方向不受外力，故動量守恒。,解: 條件分析：,狀態(tài)分析：拋前 拋后,人球,據(jù)動量守恒，有,解之，得：,因平拋與自由

12、落體均對應(yīng)于同一時間，從最高點(diǎn)到地面與從地面到最高點(diǎn)時間相同。則求到最高點(diǎn)所用時間,？,則有,A,B,解：兩個過程：,子彈射入滑塊,彈簧被壓縮,第一過程,系統(tǒng)：,子彈,例9.在如圖所示的光滑桌面上，一根輕彈簧（彈性系數(shù)k）兩端各連質(zhì)量為m的滑塊A和B。如果滑塊被水平飛來的質(zhì)量為m/4、速度為 的子彈射中，并停留在其中,試求運(yùn)動過程中彈簧的最大壓縮量。,第二過程,子彈A彈簧B,系統(tǒng)：,由于系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，故系統(tǒng)在水平方向上動量守恒。,由機(jī)械能守恒有,聯(lián)立以上三個方程求解，得：,質(zhì)點(diǎn)相對于O 點(diǎn)的角動量或動量矩定義為,4-4 質(zhì)點(diǎn)的角動量和角動量守恒定律,角動量的大小為,L = prs

13、in = mvrsin,若質(zhì)點(diǎn)繞O 點(diǎn)作圓周運(yùn)動，有,單位：,例如天文上行星圍繞太陽轉(zhuǎn)，單位時間內(nèi)掃過的面積是一個與 有關(guān)的問題。這個量稱為角動量。,角動量的提出，是與轉(zhuǎn)動相聯(lián)系的,作用于質(zhì)點(diǎn)的力 位于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動所在的平面上，它對定點(diǎn)O 的力矩定義為,力矩大小為,力臂,則,單位：牛頓米,牛頓第二定律,對 兩邊求時間的導(dǎo)數(shù),因此，得,用 從左側(cè)叉乘等式兩邊,質(zhì)點(diǎn)的角動量定理 作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對點(diǎn)O 的力矩等于質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O 的角動量對時間的導(dǎo)數(shù),如果合力 對點(diǎn)O 的力矩 ，則有,特例：如果力的方向永遠(yuǎn)指向空間一定點(diǎn)，這種力就稱為有心力，該定點(diǎn)則稱為力心。因?yàn)橛行牧ζ淞π牡牧貫榱?，故質(zhì)點(diǎn)在有心力的作

14、用下運(yùn)動時，對其力心的角動量是守恒的。,若質(zhì)點(diǎn)繞O 點(diǎn)作圓周運(yùn)動，有,常量,解 小球所受重力和桌面支承力互相抵消繩的拉力始終經(jīng)過O點(diǎn)，對O點(diǎn)的力矩為零質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒,得,例題4-6 在光滑桌面上開一個小孔，把系在輕繩一端的小球放在桌面上，繩的另一端穿過小孔而執(zhí)于手中，設(shè)開始時小球以速率 作半徑為 r1 的圓周運(yùn)動，然后向下拉繩使小球的轉(zhuǎn)動半徑減為 r2 ，求這時小球的速率 。,O,例4-7用角動量守恒定律導(dǎo)出開普勒第二定律- 行星單位時間內(nèi)掃過的面積相等。,因t很小,t時間內(nèi)掃過的面積,O,a,b,c,t時間內(nèi)掃過的面積,（證畢）,所以,例題4-8 哈雷慧星圍繞太陽作軌道為橢圓的運(yùn)動，慧星軌

15、道上的近日距離為 Rp = 0.885 1011 m, R = 52.5 1011 m 。已知在近日點(diǎn)，慧星的速率為 vp = 5.4 104 m/s, 計(jì)算慧星在其遠(yuǎn)日點(diǎn)處的速率。,解：太陽對哈雷慧星的引力為有心力。引力對力心的力矩為零: 慧星對太陽中心的角動量守恒，,設(shè)慧星質(zhì)量為 m ，它在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的角動量分別為 和 ：,從而慧星在遠(yuǎn)日點(diǎn)處的速率為,或,復(fù) 習(xí),碰撞,完全彈性碰撞、非彈性碰撞、完全非彈性碰撞,質(zhì)點(diǎn)的角動量,質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律,質(zhì)點(diǎn)的角動量定理,力矩,一、質(zhì)心,4-5 質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理,消防水龍頭噴出的水，各水滴的運(yùn)動情況并不一樣，但我們看到，就其整體而言，大致是按一

16、條拋物線軌道運(yùn)動。投出的手榴彈出一樣，盡管因有轉(zhuǎn)動，各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況很復(fù)雜，但我們可近似按斜拋運(yùn)動來討論其射程。消防水和手榴彈都是質(zhì)點(diǎn)系。用什么來反映質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動的規(guī)律呢？,對于由許多質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)或者連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，存在一個空間的特殊位置，稱為系統(tǒng)的質(zhì)心。系統(tǒng)整體行為與位于質(zhì)心處的一個質(zhì)點(diǎn)的行為相同，此質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于整個系統(tǒng)的總質(zhì)量。,對于由質(zhì)量相同的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其質(zhì)心位置坐標(biāo)為：,質(zhì)心運(yùn)動軌跡拋物線,質(zhì)心,跳水運(yùn)動員的運(yùn)動可以看成是其質(zhì)心沿拋物線運(yùn)動與運(yùn)動員繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的合成,若組成系統(tǒng)的各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量不相同，質(zhì)心位置坐標(biāo)為何？,尋找質(zhì)心坐標(biāo),質(zhì)點(diǎn)系中N個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1，m2

17、，m3，,各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量總和為,分量式，即質(zhì)心的位置坐標(biāo)為,質(zhì)量連續(xù)分布的物體的質(zhì)心計(jì)算：,取質(zhì)量元dm，物體的質(zhì)量為m，質(zhì)心的位置坐標(biāo)為,密度均勻、具幾何對稱分布物體的質(zhì)心在幾何中心,質(zhì)心不一定在系統(tǒng)中某一個質(zhì)點(diǎn)的位置上,質(zhì)心不一定位于物體內(nèi)部,上述為質(zhì)量分離的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心，質(zhì)量連續(xù)分布的物體的質(zhì)心？,兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量均為m，以任意點(diǎn)O為原點(diǎn)，,質(zhì)心在兩質(zhì)點(diǎn)連線上接近質(zhì)量較大的質(zhì)點(diǎn)一端,系統(tǒng)質(zhì)心的位置與坐標(biāo)原點(diǎn)的選取無關(guān),O,質(zhì)心連線的中點(diǎn),先將質(zhì)量分別集中在各自的幾何中心處構(gòu)成兩個質(zhì)點(diǎn),質(zhì)心的位置坐標(biāo)為,例題 4-9 求半徑為R的勻質(zhì)半圓環(huán)的質(zhì)心。,設(shè)半圓環(huán)的質(zhì)量線密度為l，取弧長為dl的線元，,半

18、圓環(huán)以 y 軸為對稱,xc= 0,x = Rcosq，y = Rsinq,在 y 軸上的坐標(biāo)為,其坐標(biāo)為,解取坐標(biāo)如右圖所示，,質(zhì)量為dm = ldl = lRdq，,二、質(zhì)心運(yùn)動定理,質(zhì)心位矢表達(dá)式可寫為,對時間 t 求導(dǎo)數(shù)得,令質(zhì)心速度,則,如何描述質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動？,因,系統(tǒng)所受的合外力為,質(zhì)心運(yùn)動定理,，令質(zhì)心加速度,形式上它與牛頓第二定律完全相同,可見，如果將質(zhì)點(diǎn)系的全部質(zhì)量和所有外力都集中到質(zhì)心上，質(zhì)心就與一個在力F外作用下質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況相同。,動力學(xué)上質(zhì)心也是整個質(zhì)點(diǎn)系的代表點(diǎn),它的運(yùn)動精確地反映了整個系統(tǒng)的平均運(yùn)動狀況。,合外力為零 質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動,扳手沿光滑水平面滑移,質(zhì)心運(yùn)動軌跡拋物線,例題 4-10 火箭向正東方向發(fā)射，達(dá)軌道最高點(diǎn)時炸裂成三段，質(zhì)量為m 的兩段分別向正南和正北方平拋，三段同時落地問在何處能找到第三段。,解將整個火箭視為一個質(zhì)點(diǎn)系，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理，爆炸前后火箭的質(zhì)心運(yùn)動軌跡不變，質(zhì)心沿爆炸前的拋物線軌道運(yùn)動。以發(fā)射點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，自西向東為X軸，從南向北為Y軸，則質(zhì)心到達(dá)地面位于正東1.10103 m處，即坐標(biāo)為,xc= 1.10103 m， yc = 0,落向正南65m處,落向正北120m處,質(zhì)心軌跡,按定義質(zhì)心坐標(biāo)為,因 x1 = x2 = 550m；y1 = -65.0m，y2 = 1