多元函數(shù)的微積分.ppt

1、1,6.2 多元函數(shù)的微積分,主要內(nèi)容： 一.多元函數(shù)的概念 二.二元函數(shù)的極限和連續(xù) 三.偏導(dǎo)數(shù)的概念及簡單計算 四.全微分 五.空間曲線的切線與法平面 六.曲面的切平面與法線 七.多元函數(shù)的極值,2,設(shè)D是平面上的一個點集如果對于每個點P(x，y)D， 變量 z 按照一定法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱 z 是變量 x、y的二元函數(shù)(或點P的函數(shù))，記為 z=f (x，y)(或z=f (P),二元函數(shù)的定義：,其中D稱為定義域，x，y 稱為自變量，z 稱為因變量,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),當(dāng)自變量的個數(shù)多于一個時,函數(shù)稱為多元函數(shù),一.多元函數(shù)的概念,3,二元函數(shù)的圖形：,二元函數(shù)的圖

2、形是一張曲面,例 z=a x+b y + c是一張平面，,點集(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D稱為二元函數(shù) zf(x，y),的圖形,4,由方程x2y2z2a 2確定的函數(shù)z=f (x，y)有兩個：,由方程x2y2z2a 2確定的函數(shù)z=f (x，y)是中心在原點，,它的定義域為D =(x，y)|x2y2 a 2,半徑為a的球面,5,二.二元函數(shù)的極限和連續(xù) 1.二元函數(shù)的極限,設(shè)函數(shù)f (x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0，y0)是D的內(nèi)點或邊界點如果對于任意給定的正數(shù)e 總存在正數(shù)d ，使得對于適合不等式,都有 |f (x，y)A|e 成立， 則稱常數(shù)A為函數(shù)f

3、 (x，y)當(dāng)x x0，y y0時的極限， 記為,這里r|P P0|,我們把上述二元函數(shù)的極限叫做二重極限,定義,的一切點P(x，y)D ，,6,(1) 二重極限存在，是指P以任何方式趨于P0時，函數(shù)都無限接近于A.,例,當(dāng)點P(x，y)沿 x 軸、y 軸趨于點(0，0)時函數(shù)的極限為零，,當(dāng)點P(x，y)沿直線y=k x 趨于點(0，0)時,注意：,(2) 如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于P0時，函數(shù)趨于不同的值，則函數(shù)的極限不存在,7,8,則稱函數(shù)f (x，y)在點P0(x0，y0)連續(xù),定義：,設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義,P0(x0,y0) D ,函數(shù)f (x，y)在區(qū)域

4、(開區(qū)域或閉區(qū)域)D 內(nèi)連續(xù)： 是指函數(shù)f (x，y)在D內(nèi)每一點連續(xù)此時稱f (x，y)是 D 內(nèi)的連續(xù)函數(shù),二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù) f(P)上去,2.二元函數(shù)的連續(xù)性,如果,9,所以函數(shù)在原點不連續(xù).,例函數(shù)在單位圓,上各點是否連續(xù)？,若在單位圓上任何點都不連續(xù),10,設(shè)函數(shù)zf(x，y)在點(x0，y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，,當(dāng)y 固定,在y0 而x 在x0 處有增量x 時，,相應(yīng)地函數(shù)有增量,f (x0 x，y0)f(x0，y0) ，,（）如果極限,存在，,則稱此極限為函數(shù)zf (x，y)在點(x0，y0)處對x 的偏導(dǎo)數(shù)，記作,定義,偏導(dǎo)數(shù)的概念及簡單計算1. 偏

5、導(dǎo)數(shù)的概念：,11,記作,（）如果極限,則稱此極限為函數(shù)zf(x，y)在點(x0，y0)處對y 的偏導(dǎo)數(shù)，,存在，,12,對自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作,偏導(dǎo)函數(shù)：,如果函數(shù)zf(x，y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x，y)處對x 的偏導(dǎo)數(shù)都,存在，,那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x 、y 的函數(shù)，,它就稱為函數(shù)zf(x，y),類似地， 可定義函數(shù)zf(x，y)在點(x0，y0)處對y 的偏導(dǎo) 函數(shù)，,記為,偏導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系：,13,2 .一階偏導(dǎo)數(shù)的計算,注意：,看成二者之商.,14,例3 求zx23x yy2在點(1，2)處的偏導(dǎo)數(shù),解,15,3. 二階偏導(dǎo)數(shù)的計算,按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)

6、,二階偏導(dǎo)數(shù)：,設(shè)函數(shù)zf(x，y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù),那么在D 內(nèi)fx(x，y)、fy(x，y)都是x，y 的函數(shù)如果這兩個函數(shù),的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù)zf(x，y)的二偏導(dǎo)數(shù),16,二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù),其中,稱為混合偏導(dǎo)數(shù),同樣可得三階、四階以及n 階偏導(dǎo)數(shù),高階偏導(dǎo)數(shù):,17,解,18,在對x求導(dǎo)就有,得證.,19,設(shè)zf(u，v)，而uj(x，y)，vy(x，y)，則復(fù)合函數(shù),4. 復(fù)合函數(shù)的微分法(鏈?zhǔn)椒▌t),zf j(x，y)，y(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)為：,20,21,四. 全微分,全增量：,z f (xx，yy)f(x，y)稱為函數(shù)在點P(x，y)對,自

7、變量增量x、 y的全增量,全微分的定義：,如果函數(shù)zf(x，y)在點(x，y)的全增量,22,記作dz或df(x,y),即,或,可微:當(dāng)函數(shù)z=f(x,y)在(x,y)全微分存在時,稱z=f(x,y)在 (x,y)可微.,當(dāng)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D的每一點都可微時,稱z=f(x,y)在 區(qū)域D可微.,23,定理1,函數(shù)z=f(x,y)在其一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時一定可微.,定理2,函數(shù)z=f(x,y)在可微點連續(xù).,定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù),連續(xù)，則它可微,且其全微分為,24,解 由定義知,所以,得,25,解 因為,所以,26,五空間曲線的切線與法平面,定義:,設(shè)在空間曲線

8、上有一個定點 ，,在其鄰近處取 上另一點 ，,并作割線,令 沿 趨近 ，,那么割線的極限位置,T,27,設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為,得曲線在點M 處的切線方程為,過曲線上tt0和tt0t對應(yīng)的,考慮,當(dāng)M M ，即t 0時,x(t)，yy(t)，zw(t),這里假定(t)， y(t)，w(t)都可導(dǎo),點M 和M，作曲線的割線M M ，,28,通過點M而與切線垂直的平面,法平面：,j (t0)(xx0)y (t0)(yy0)w (t0)(zz0)0,稱為曲線在點M 處的法平面.,法平面方程為:,29,例9 求曲線xt，yt 2，zt 3在點(1，1，1)處的切線及法平面,于是，切線方程為,法平面方程

9、為 (x1)2(y1)3(z1)0，即x2y3z6,方程.,數(shù)t1， 所以,30,曲面上通過點M的一切曲線在點M的切線都在 同一個平面上這個平面稱為曲面在點M 的切平面,通過點M (x0，y0，z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該,曲面的切平面：,曲面的法線：,六曲面的切平面與法線,曲面的法向量：,垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量,點的法線,31,其中函數(shù)z=f(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),法線的方程為,32,切平面方程為：,33,解 f (x，y) 3x22y2，,例10 求拋物面z3x22y2在點P(1，-1，5)處的切平面方程及,所以在點(2，1，4)處的切平面方程為 6(x

10、1)-4(y+1)(z5)0，即6x-4yz50 法線方程為,法線方程,34,七多元函數(shù)的極值,設(shè)函數(shù)zf (x，y)在點(x0，y0)的某個鄰域內(nèi)有定義，對于該 鄰域內(nèi)異開(x0，y0)的點(x，y)：如果都適合不等式 f (x，y)f(x0，y0)， 則稱函數(shù)在點(x0，y0)有極小值f(x0，y0) 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值使函數(shù)取得極值的點稱為極值點,極值的定義：,定理 有界閉域上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,35,例11 函數(shù)z(x-2)2(y-3)2-1在點(2，3)處有極小值-1,也有使函數(shù)值為負(fù)的點,因為在點(0，0)處的函數(shù)值為零， 而在點(0，0)的任一鄰域內(nèi)，總有使函

11、數(shù)值為正的點，,36,定理 設(shè)函數(shù)zf (x，y)在點(x0，y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點,取得極值的必要條件：,(x0，y0)處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：,駐點：,函數(shù)zf (x，y)的駐點,注意：,函數(shù)的駐點不一定是極值點,極值點一定是駐點,如：函數(shù),（，）點是其駐點，但不是其極值點,37,定理 設(shè)函數(shù)zf (x，y)在點(x0，y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一,取得極值的充分條件：,(3) AC B 20時可能有極值，也可能沒有極值,(2) AC B 20時沒有極值；,AC B 20時具有極值，且當(dāng)A0時有極小值；,則f (x，y)在(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：,階及二階連續(xù)

12、偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0，y0)0，fy(x0，y0)0，令,38,求二元函數(shù)極值的步驟：,fx(x，y)0，fy(x，y)0，,第一步 解方程組,求得一切實數(shù)解，即可得一切駐點,第二步 對于每一個駐點(x0，y0)，求出二階,偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C,第三步 定出AC B 2的符號，按定理的結(jié)論判 f(x0，y0)是否是極值、是極大值 還是極小值,39,例12求函數(shù)f (x，y)x3y33x23y29x 的極值,求得駐點為(1，0)、(1，2)、(3，0)、(3，2),在點(1，0)處，ACB 21260，又A0，所以函數(shù)的(1，0) 處有極小值f(1，0)5； 在點(1，2)處，ACB 212(6)0，又A0，所以函數(shù)的 (3，2)處有極大值f(3，2)31,fxx(x，y)6x6，fxy(x，y)0，fyy(x，y)6y6,再求出二階偏導(dǎo)數(shù),40,八.小結(jié),1 多元函數(shù)的概念,2 二元函數(shù)的極限,3 二