《高等數(shù)學(xué)》(同濟(jì)六版)教學(xué)課件★第4章.不定積分.ppt

1、,二、 基本積分表,三、不定積分的性質(zhì),一、 原函數(shù)與不定積分的概念,第一節(jié),不定積分的概念與性質(zhì),第四章,一、 原函數(shù)與不定積分的概念,引例: 一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn),下沿直線運(yùn)動(dòng) ,因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:,已知,求,在變力,試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度,根據(jù)牛頓第二定律,加速度,定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及 f (x),滿足,在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù) .,則稱(chēng) F (x) 為f (x),如引例中,的原函數(shù)有,問(wèn)題:,1. 在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?,2. 若原函數(shù)存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函數(shù) .,(下章證明),初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),初等函

2、數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù),定理 2.,原函數(shù)都在函數(shù)族,( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) .,證: 1),又知,故,它屬于函數(shù)族,即,定義 2.,在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱(chēng)為,上的不定積分,其中, 積分號(hào);, 被積函數(shù);, 被積表達(dá)式., 積分變量;,(P185),若,則,( C 為任意常數(shù) ),C 稱(chēng)為積分常數(shù), 不可丟 !,例如,記作,不定積分的幾何意義:,的原函數(shù)的圖形稱(chēng)為,的圖形,的所有積分曲線組成,的平行曲線族.,的積分曲線 .,例1. 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1, 2),且其上任一點(diǎn)處的切線,斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程.,解:,所求曲線過(guò)點(diǎn) (1, 2) ,故有,因此所求曲線為,例

3、2. 質(zhì)點(diǎn)在距地面,處以初速,力, 求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.,解: 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為坐標(biāo)軸, 原點(diǎn)在地面, 指向朝上 ,質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)刻為,此時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置為,初速為,設(shè)時(shí)刻 t 質(zhì)點(diǎn)所在位置為,則,(運(yùn)動(dòng)速度),(加速度),垂直上拋 ,不計(jì)阻,先求,由,知,再求,于是所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,由,知,故,二、 基本積分表 (P188),從不定積分定義可知:,或,或,利用逆向思維,( k 為常數(shù)),或,或,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式=,三、不定積分的性質(zhì),推論: 若,則,例5. 求,解: 原式,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,內(nèi)容小結(jié),1. 不

4、定積分的概念, 原函數(shù)與不定積分的定義, 不定積分的性質(zhì), 基本積分表 (見(jiàn)P188),2. 直接積分法:,利用恒等變形,及 基本積分公式進(jìn)行積分 .,常用恒等變形方法,分項(xiàng)積分,加項(xiàng)減項(xiàng),利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質(zhì),思考與練習(xí),1. 證明,2. 若,(P193題7),提示:,3. 若,是,的原函數(shù) , 則,提示: 已知,4. 若,的導(dǎo)函數(shù)為,則,的一個(gè)原函數(shù),是 ( ) .,提示: 已知,求,即,B,?,?,或由題意,其原函數(shù)為,5. 求下列積分:,提示:,6. 求不定積分,解：,7. 已知,求 A , B .,解: 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,作業(yè),P192 2 (5) , (

5、12) , (14) , (20) , (23) , (25) , (26) ; 5 ; 6,第二節(jié),第四章,微分法:,積分法:,互逆運(yùn)算,不定積分,二、第二類(lèi)換元法,第二節(jié),一、第一類(lèi)換元法,換元積分法,第四章,第二類(lèi)換元法,第一類(lèi)換元法,基本思路,設(shè),可導(dǎo),則有,一、第一類(lèi)換元法,定理1.,則有換元,公式,(也稱(chēng)配元法,即, 湊微分法),例1. 求,解: 令,則,故,原式 =,注: 當(dāng),時(shí),注意換回原變量,例2. 求,解:,令,則,想到公式,例3. 求,想到,解:,(直接配元),例4. 求,解:,類(lèi)似,例5. 求,解:, 原式 =,常用的幾種配元形式:,萬(wàn)能湊冪法,例6. 求,解: 原式

6、=,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,例9. 求,解法1,解法2,兩法結(jié)果一樣,例10. 求,解法1,解法 2,同樣可證,或,(P199 例18 ),例11. 求,解: 原式 =,例12 . 求,解:,例13. 求,解:,原式 =,例14. 求,解: 原式 =,分析:,例15. 求,解: 原式,小結(jié),常用簡(jiǎn)化技巧:,(1) 分項(xiàng)積分:,(2) 降低冪次:,(3) 統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙換元或配元,萬(wàn)能湊冪法,利用積化和差; 分式分項(xiàng);,利用倍角公式 , 如,思考與練習(xí),1. 下列各題求積方法有何不同?,2. 求,提示:,法1,法2,法3,作業(yè)

7、,二、第二類(lèi)換元法,第一類(lèi)換元法解決的問(wèn)題,難求,易求,若所求積分,易求,則得第二類(lèi)換元積分法 .,難求，,定理2 . 設(shè),是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) , 且,具有原函數(shù) ,證:,令,則,則有換元公式,例16. 求,解: 令,則, 原式,例17. 求,解: 令,則, 原式,例18. 求,解:,令,則, 原式,令,于是,說(shuō)明:,1. 被積函數(shù)含有,除采用三角,采用雙曲代換,消去根式 ,所得結(jié)果一致 .,( 參考 P204 P205 ),或,代換外, 還可利用公式,2. 再補(bǔ)充兩個(gè)常用雙曲函數(shù)積分公式,原式,例19. 求,解: 令,則,原式,當(dāng) x 0 時(shí), 類(lèi)似可得同樣結(jié)果 .,小結(jié):,1. 第二類(lèi)換元法常

8、見(jiàn)類(lèi)型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第四節(jié)講,2. 常用基本積分公式的補(bǔ)充 (P205 P206),7) 分母中因子次數(shù)較高時(shí), 可試用倒代換,令,解: 原式,(P206 公式 (20) ),例20. 求,例21. 求,解:,(P206 公式 (23) ),例22. 求,解: 原式 =,(P206 公式 (22) ),例23. 求,解: 原式,(P206 公式 (22) ),例24. 求,解: 令,得,原式,例25. 求,解: 原式,令,例16,例16,思考與練習(xí),1. 下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便 ?,令,令,令,2. 已知,求,解: 兩邊求導(dǎo), 得,則,(代回原變量),P207 2

9、 (4) , (5) , (9) , (11) , (12) , (16) , (20) , (21) , (23) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (38), (40) , (42) , (44),作業(yè),第三節(jié),備用題 1. 求下列積分:,2.,求不定積分,解：,利用湊微分法 ,原式 =,令,得,分子分母同除以,3.,求不定積分,解:,令,原式,第三節(jié),由導(dǎo)數(shù)公式,積分得:,分部積分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易計(jì)算 .,分部積分法,第四章,例1. 求,解: 令,則, 原式,思考: 如何求,提示: 令,則,原式,例

10、2. 求,解: 令,則,原式 =,例3. 求,解: 令,則, 原式,例4. 求,解: 令, 則, 原式,再令, 則,故 原式 =,說(shuō)明: 也可設(shè),為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類(lèi)型,必須一致 .,解題技巧:,把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 ,按 “ 反對(duì)冪指三” 的,順序,前者為 后者為,例5. 求,解: 令, 則,原式 =,反: 反三角函數(shù) 對(duì): 對(duì)數(shù)函數(shù) 冪: 冪函數(shù) 指: 指數(shù)函數(shù) 三: 三角函數(shù),例6. 求,解: 令, 則,原式 =,例7. 求,解: 令,則,原式,令,例8. 求,解: 令,則, 原式 =,例9. 求,解: 令,則,得遞推公式,說(shuō)明:,遞推公式,已知,利用遞推公式可求得,例如,

11、例10. 設(shè),證:,證明遞推公式:,說(shuō)明:,分部積分題目的類(lèi)型:,1) 直接分部化簡(jiǎn)積分 ;,2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ;,(注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類(lèi)型不變 , 解出積分后加 C ),例4,3) 對(duì)含自然數(shù) n 的積分, 通過(guò)分部積分建立遞 推公式 .,例4,例11. 已知,的一個(gè)原函數(shù)是,求,解:,說(shuō)明: 此題若先求出,再求積分反而復(fù)雜.,例12. 求,解法1 先換元后分部,令,即,則,故,解法2 直接用分部積分法,內(nèi)容小結(jié),分部積分公式,1. 使用原則 :,2. 使用經(jīng)驗(yàn) :,“反對(duì)冪指三” , 前 u 后,3. 題目類(lèi)型 :,分部化簡(jiǎn) ;,循環(huán)解出;,遞

12、推公式,4. 計(jì)算格式 :,例13. 求,解:,令,則,可用表格法求 多次分部積分,例14. 求,解: 令,則,原式,原式 =,思考與練習(xí),1. 下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里? 應(yīng)如何改正?,得 0 = 1,答: 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應(yīng)為 0 .,求此積分的正確作法是用換元法 .,2. 求,提示:,得,3. 設(shè),證:,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,可微且其反函,數(shù),存在, 證明,作業(yè),P213 4 , 5 , 9 , 14 , 18 , 20 , 21 , 22 , 24,第四節(jié),備用題.,求不定積分,解：,方法1,(先分部 , 再換元),令,則,方法2,(先換元,再分部),令,則,故,第四節(jié),

13、基本積分法 :,換元積分法 ;,分部積分法,初等函數(shù),初等函數(shù),一、有理函數(shù)的積分,二、可化為有理函數(shù)的積分舉例,有理函數(shù)的積分,本節(jié)內(nèi)容:,第四章,直接積分法 ;,一、 有理函數(shù)的積分,有理函數(shù):,時(shí),為假分式;,時(shí),為真分式,有理函數(shù),多項(xiàng)式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式為,若干部分分式之和,例1. 將下列真分式分解為部分分式 :,解:,(1) 用拼湊法,(2) 用賦值法,故,(3) 混合法,原式 =,四種典型部分分式的積分:,變分子為,再分項(xiàng)積分,例2. 求,解: 已知,例1(3),例1(3),例3. 求,解: 原式,思考: 如何求,提示:,變形方法同例3,并利用書(shū) P363

14、公式20 .,例4. 求,解:,說(shuō)明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便 ,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求,簡(jiǎn)便的方法.,例5. 求,解: 原式,常規(guī)法,例6. 求,解: 原式,(見(jiàn)P363 公式21),注意本題技巧,本題用常規(guī)方法解很繁,按常規(guī)方法解,第一步 令,比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得,第二步 化為部分分式 . 即令,比較系數(shù)定 A , B , C , D .,第三步 分項(xiàng)積分 .,此解法較繁 !,二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例,設(shè),表示三角函數(shù)有理式 ,令,萬(wàn)能代換 (參考下頁(yè)例7),t 的有理函數(shù)的積分,1. 三角函數(shù)有理式的積分,則,例7.

15、 求,解: 令,則,例8. 求,解:,說(shuō)明: 通常求含,的積分時(shí),往往更方便 .,的有理式,用代換,例9. 求,解法 1,令,原式,例9. 求,解法 2,令,原式,例10. 求,解: 因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇函數(shù), 可令,原式,2. 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,令,令,被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過(guò)根式代換,化為有理函數(shù)的積分.,例如:,令,例11. 求,解: 令,則,原式,例12. 求,解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的,最小公倍數(shù) 6 ,則有,原式,令,例13. 求,解: 令,則,原式,內(nèi)容小結(jié),1. 可積函數(shù)的特殊類(lèi)型,有理函數(shù),分解,多項(xiàng)式及部分分式

16、之和,三角函數(shù)有理式,萬(wàn)能代換,簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù),三角代換,根式代換,2. 特殊類(lèi)型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定,要注意綜合使用基本積分法 ,簡(jiǎn)便計(jì)算 .,簡(jiǎn)便 ,思考與練習(xí),如何求下列積分更簡(jiǎn)便 ?,解: 1.,2. 原式,作業(yè),P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 24,第五節(jié),備用題 1.,求不定積分,解：,令,則, 故,分母次數(shù)較高, 宜使用倒代換.,2.求不定積分,解：,原式 =,前式令,; 后式配元,第四節(jié),基本積分法 :,換元積分法 ;,分部積分法,初等函數(shù),初等函數(shù),一、有理函數(shù)的積分,二、可化為有理函數(shù)的積分舉例,有理

17、函數(shù)的積分,本節(jié)內(nèi)容:,第四章,直接積分法 ;,一、 有理函數(shù)的積分,有理函數(shù):,時(shí),為假分式;,時(shí),為真分式,有理函數(shù),多項(xiàng)式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式為,若干部分分式之和,例1. 將下列真分式分解為部分分式 :,解:,(1) 用拼湊法,(2) 用賦值法,故,(3) 混合法,原式 =,四種典型部分分式的積分:,變分子為,再分項(xiàng)積分,例2. 求,解: 已知,例1(3),例1(3),例3. 求,解: 原式,思考: 如何求,提示:,變形方法同例3,并利用書(shū) P363 公式20 .,例4. 求,解:,說(shuō)明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便 ,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)

18、的結(jié)構(gòu)尋求,簡(jiǎn)便的方法.,例5. 求,解: 原式,常規(guī)法,例6. 求,解: 原式,(見(jiàn)P363 公式21),注意本題技巧,本題用常規(guī)方法解很繁,按常規(guī)方法解,第一步 令,比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得,第二步 化為部分分式 . 即令,比較系數(shù)定 A , B , C , D .,第三步 分項(xiàng)積分 .,此解法較繁 !,二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例,設(shè),表示三角函數(shù)有理式 ,令,萬(wàn)能代換 (參考下頁(yè)例7),t 的有理函數(shù)的積分,1. 三角函數(shù)有理式的積分,則,例7. 求,解: 令,則,例8. 求,解:,說(shuō)明: 通常求含,的積分時(shí),往往更方便 .,的有理式,用代換,例9. 求,解法

19、1,令,原式,例9. 求,解法 2,令,原式,例10. 求,解: 因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇函數(shù), 可令,原式,2. 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,令,令,被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過(guò)根式代換,化為有理函數(shù)的積分.,例如:,令,例11. 求,解: 令,則,原式,例12. 求,解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的,最小公倍數(shù) 6 ,則有,原式,令,例13. 求,解: 令,則,原式,內(nèi)容小結(jié),1. 可積函數(shù)的特殊類(lèi)型,有理函數(shù),分解,多項(xiàng)式及部分分式之和,三角函數(shù)有理式,萬(wàn)能代換,簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù),三角代換,根式代換,2. 特殊類(lèi)型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定

20、,要注意綜合使用基本積分法 ,簡(jiǎn)便計(jì)算 .,簡(jiǎn)便 ,思考與練習(xí),如何求下列積分更簡(jiǎn)便 ?,解: 1.,2. 原式,作業(yè),P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 24,第五節(jié),備用題 1.,求不定積分,解：,令,則, 故,分母次數(shù)較高, 宜使用倒代換.,2.求不定積分,解：,原式 =,前式令,; 后式配元,第五節(jié),積分計(jì)算比導(dǎo)數(shù)計(jì)算靈活復(fù)雜,為提高求積分,已把常用積分公式匯集成表, 以備查用.,如 P347附錄 .,積分表的結(jié)構(gòu): 按被積函數(shù)類(lèi)型排列,積分表的使用:,1) 注意公式的條件,2) 注意簡(jiǎn)單變形的技巧,注: 很多不定積分也可通過(guò) Ma

21、thematica , Maple,等數(shù)學(xué)軟件的符號(hào)演算功能求得 .,的效率,積分表的使用,第四章,例1. 求,解:,應(yīng)使用P368 公式105 .,例2. 求,解法1,令,則,原式,(P364 公式 37),例2. 求,解法2 令,則,原式,( P363 公式 21 ),例3. 求,解: 令,則,原式,(P363 公式21),(P363 公式19),習(xí)題課,作業(yè) P221 3 ; 8 ; 19 ; 24 ; 25,習(xí)題課,一、 求不定積分的基本方法,二、幾種特殊類(lèi)型的積分,不定積分的計(jì)算方法,第四章,一、 求不定積分的基本方法,1. 直接積分法,通過(guò)簡(jiǎn)單變形, 利用基本積分公式和運(yùn)算法則 求不定積分的方法 .,2. 換元積分法,注意常見(jiàn)的換元積分類(lèi)型, 如掌握 P205P2