5線性方程組迭代法1.ppt

1、第二章 解線性方程組的迭代法 /* Iterative Techniques for Solving Linear Systems */,求解,計算精度可控，特別適用于求解系數(shù)為大型稀疏矩陣 /* sparse matrices */ 的方程組。, 如何建立迭代格式？ 收斂速度？ 向量序列的收斂條件？ 誤差估計？,1 向量和矩陣范數(shù) /* Norms of Vectors and Matrices */ 為了誤差的度量, 向量范數(shù) /* vector norms */,常用向量范數(shù)：,注：,1 Norms of Vectors and Matrices Vector Norms,可以理解為,可

2、以理解為對任何向量范數(shù)都成立。,HW: p.62 #6, #7,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms, 矩陣范數(shù) /* matrix norms */,(4)* | AB | | A | | B | （相容 /* consistent */ 當 m = n 時),In general, if we have | AB | | A | | B | , then the 3 norms are said to be consistent.,Oh havent I had enough of new concepts? What do I need

3、 the consistency for?,When you have to analyze the error bound of AB imagine you doing it without a consistent matrix norm,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms,常用矩陣范數(shù)：,Frobenius 范數(shù), 向量| |2的直接推廣,對方陣 以及 有,利用Cauchy 不等式 可證。,算子范數(shù),/* operator norm */,由向量范數(shù) | |p 導(dǎo)出關(guān)于矩陣 A Rnn 的 p 范數(shù):,則,矩陣 ATA 的最大 特征

4、根 /* eigenvalue */,HW: p.62 #2, #4, #5,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms, 我們只關(guān)心有相容性的范數(shù)，算子范數(shù)總是相容的。, 即使 A中元素全為實數(shù)，其特征根和相應(yīng)特征向量 /* eigenvector */ 仍可能是復(fù)數(shù)。將上述定義中絕對值換成復(fù)數(shù)模均成立。,若不然，則必存在某個向量范數(shù) | |v 使得 對任意A 成立。,Counterexample ?, 譜半徑 /* spectral radius */, (A),1 Norms of Vectors and Matrices Spectral Radius,證明：,由算子范數(shù)的相容性，得到,將任意一個特征根 所對應(yīng)的特征向量 代入,證明：,A對稱,若 是 A 的一個特征根，則2 必是 A2 的特征根。,又：對稱矩陣的特征根為實數(shù)，即 2(A) 為非負實數(shù)， 故得證。,對某個 A 的特征根 成立,所以2-范數(shù)亦稱為譜范數(shù)。,1 Nor