人教版高中數(shù)學2.1.1 第2課時指數(shù)冪及運算

1、第2課時 指數(shù)冪及運算,一、分數(shù)指數(shù)冪的意義,0,沒有意義,判斷：(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)只要根式有意義，都能化成分數(shù)指數(shù)冪的形式.( ) (2)分數(shù)指數(shù)冪 可以理解為 個a相乘.( ) (3)0的任何指數(shù)冪都等于0.( ),提示：(1)正確.引入分數(shù)指數(shù)冪之后,任何有意義的根式都能 化成分數(shù)指數(shù)冪的形式, 即 (2)錯誤.分數(shù)指數(shù)冪 不可以理解為 個a相乘.事實上，它 是根式的一種新寫法. (3)錯誤.因為0的負指數(shù)冪無意義，所以此說法是錯誤的. 答案：(1) (2) (3),二、有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) (1)aras=_(a0,r,sQ). (2)(ar)s=_(a0,r,s

2、Q). (3)(ab)r=_(a0,b0,rQ).,ar+s,ars,arbr,思考：在有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)中，為什么要規(guī)定a0? 提示：(1)若a=0，0的負數(shù)指數(shù)冪無意義, (ab)r=arbr，當r0時不成立，a0. (2)若a0，(ar)s=ars也不一定成立,如 a0時不成立.因此規(guī)定a0.,三、無理數(shù)指數(shù)冪 無理數(shù)指數(shù)冪a(a0,是無理數(shù))是一個確定的_,有理 數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于無理數(shù)指數(shù)冪_. 思考：為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時，必須規(guī)定底數(shù) 是正數(shù)？ 提示：底數(shù)大于零是必要的，否則會造成混亂，如a=-1,則 (-1)是1還是-1就無法確定了，規(guī)定后就清楚了.,實數(shù),同

3、樣適用,【知識點撥】 1.“三角度”理解分數(shù)指數(shù)冪 (1)角度一：與根式的關(guān)系. 分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種寫法，根式與分數(shù)指數(shù)冪可以相 互轉(zhuǎn)化. (2)角度二：底數(shù)的取值范圍. 由分數(shù)指數(shù)冪的定義知a0， 可能會有意義.當 有意義 時可借助定義將底數(shù)化為正數(shù)，再進行運算.,(3)角度三：運算性質(zhì). 分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)形式上與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)完全一樣.記憶有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)的口訣是：乘相加，除相減，冪相乘.,2.關(guān)于指數(shù)運算性質(zhì)的四點說明 (1)無理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是有理數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)的推廣. (2)運算性質(zhì)的形式要掌握，它是化簡的基礎. (3)運算性質(zhì)可以逆用.如amn=(am)

4、n=(an)m(a0). (4)要會用文字語言來敘述運算性質(zhì).,3.對無理數(shù)指數(shù)冪的理解 (1)無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個實數(shù). (2)無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)，所以能進行指數(shù)的運算，也能進行冪的運算，有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪.類比有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).對任意的實數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì)：aras=ar+s(a0,r,sR). (ar)s=ars(a0,r,sR). (ab)r=arbr(a0,b0,rR).,類型 一 根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化 【典型例題】 1.下列互化中正確的是( ) A. (x0) B. (y0)

5、C. (x,y0) D. 2.將 化為分數(shù)指數(shù)冪的形式是_.,【解題探究】1.分數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)a0時成立嗎？如何處理？ 2.根式中的根指數(shù)和被開方數(shù)(式)的指數(shù)與分數(shù)指數(shù)冪有怎樣的對應關(guān)系？,探究提示： 1.由分數(shù)指數(shù)冪的定義知a0， 可能會有意義，當 有意 義時可借助定義將底數(shù)化為正數(shù),再進行運算，如 等. 2.根指數(shù) 分數(shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù) 分數(shù)指 數(shù)的分子.,【解析】1.選C. 故選項A不正確；選項B中，y0， 故 選項B也不正確； 故選項D不正確. 2. 答案：,【互動探究】若將題2變?yōu)?又如何化為分數(shù)指數(shù)冪的 形式呢？ 【解析】,【拓展提升】根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律

6、(1)根指數(shù) 分數(shù)指數(shù)的分母， 被開方數(shù)(式)的指數(shù) 分數(shù)指數(shù)的分子. (2)在具體計算時,通常會把根式轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,然 后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)解題.,【變式訓練】 等于( ) A. B. C. D.2 【解析】選C.,類型 二 利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值 【典型例題】 1.計算： =_. 2.化簡：,【解題探究】1.對于指數(shù)冪中指數(shù)、底數(shù)是負數(shù)，或是小數(shù)的應如何化簡？ 2.對于根式中含有多重根號的題目應如何處理? 探究提示： 1.負指數(shù)化成正指數(shù)，小數(shù)指數(shù)化成分數(shù)指數(shù)，底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分數(shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運算性質(zhì). 2

7、.含有多重根號的題目，可以由內(nèi)到外逐一化分數(shù)指數(shù)冪，邊運算邊化簡；或都先化成分數(shù)指數(shù)冪，再進行冪的運算.,【解析】1.原式= 答案： 2.原式=,【拓展提升】 1.冪的運算的常規(guī)方法 (1)化負指數(shù)冪為正指數(shù)冪; (2)化根式為分數(shù)指數(shù)冪; (3)化小數(shù)為分數(shù)進行運算. 2.分數(shù)指數(shù)冪及根式化簡結(jié)果的具體要求 利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式計算時，結(jié)果可化為根式形式或保留分數(shù)指數(shù)冪的形式，不強求統(tǒng)一用什么形式，但結(jié)果不能既有根式又有分數(shù)指數(shù)冪，也不能同時含有分母和負指數(shù).,【變式訓練】化簡 【解析】原式=,類型 三 指數(shù)冪運算的條件求值 【典型例題】 1.x-2+x2= 且x1，則x2-x-2的值為(

8、 ) A.2或-2 B.-2 C. D.2 2.已知x+y=12，xy=9x，且xy，求 的值.,【解題探究】1.x2-x-2與x2+x-2存在怎樣的關(guān)系？如何相互轉(zhuǎn)化？ 2.條件求值的解題順序怎樣？ 探究提示： 1.存在的關(guān)系為x2-x-2= 注意整體代換思想的應用. 2.條件求值一般要結(jié)合條件先化簡再求值,另外要特別注意條 件的應用,如隱含條件,整體代入等.,【解析】1.選D.x-2+x2= 且x1，所以x2x-2，x2-x-20， 故x2-x-2= 2.由x+y=12及xy=9x得x(12-x)=9x， 所以 或 當 時， 當 時，,【拓展提升】條件等式求值的原則和方法技巧 (1)原則：

9、對于條件等式的求值問題，可以把所要求的式子先進行變形，找出與條件等式的聯(lián)系，然后求值. 也可以先對條件加以變形，使它與所要求的式子的聯(lián)系更加明顯，從整體上把握代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，然后求值. (2)方法技巧：乘法公式在分數(shù)指數(shù)冪當中的應用及“整體代換”的技巧、換元思想.,【變式訓練】已知 =0，求yx的值. 【解題指南】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，求出x,y的值. 【解析】由 =0得，|x-1|+|y+3|=0，所以 x=1，y=-3，yx=(-3)1=-3.,根式與分數(shù)指數(shù)冪的應用 【典型例題】 1. 從小到大的排列順序為_. 2在 中最大的數(shù)是_.,【解析】1. 121123125， 即 答

10、案： 2 所以最大的數(shù)是 答案：,【拓展提升】根式大小比較的一般方法 (1)根指數(shù)相同時，不論根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，根式的大小取決于被開方數(shù)的大小. (2)根指數(shù)不同時，應先化成統(tǒng)一的根指數(shù)，再進行大小比較.,【易錯誤區(qū)】根式化簡時忽視符號致誤 【典例】化簡 =( ) A. B. C.(a-1)4 D.,【解析】選B.要使原式有意義，則a-10.,【類題試解】化簡： =_. 【解析】由 知,-a0,a0,故a-10， 所以 答案：,【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.注意隱含條件的挖掘 要關(guān)注條件中有無隱含條件，在出現(xiàn)根式時，要注意是否是偶次方根，被開方數(shù)是否符合要求，如本例中是四次方根，則必須(a-1)30，即a-10. 2.準確應用公式和性質(zhì) 對于公式和性質(zhì)要記住且要記準.如本例根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化公式，以及分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).,1若a0，且m,n為整數(shù)，則下列各式中正確的是( ) A.aman= B.aman=am+n C.(am)n=am+n D.1-an=a0-n 【解析