第五章固體物理.ppt

1、第五章 晶體中電子能帶理論,掌握布洛赫波函數(shù)、近自由電子近似、平均速度、有效質(zhì)量、區(qū)分導體、半導體和絕緣體。,教學目的：,電子在運動過程中并不像自由電子那樣完全不受任何力的作用，電子在運動過程中受到晶格中原子勢場的作用。,能帶論的基本出發(fā)點:,固體中的電子不再是完全被束縛在某個原子周圍，而是可以在整個固體中運動，稱為共有化電子。,玻恩-奧本海默絕熱近似：所有原子核都周期性地靜止排列在其格點位置上，因而忽略了電子與聲子的碰撞。,能帶論的兩個基本假設(shè)：,平均場近似：忽略電子與電子間的相互作用，用平均場代替電子與電子間的相互作用。,能帶論是單電子近似的理論。用這種方法求出的電子能量狀態(tài)將不再是分立的

2、能級，而是由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶，這種理論稱為能帶論。,晶體中多原子問題簡化為多電子問題,多電子問題簡化為單電子問題,一.周期場模型,考慮一理想完整晶體，所有的原子實都周期性地靜止排列在其平衡位置上，每一個電子都處在除其自身外其他電子的平均勢場和原子實的勢場中運動。電子所感受到的勢場具有周期性，這樣的模型稱為周期場模型。,當我開始思考這個問題時，感覺到問題的關(guān)鍵是解釋電子將如何“偷偷地潛行”于金屬中的所有離子之間。. 經(jīng)過簡明而直觀的傅立葉分析，令我高興地發(fā)現(xiàn)，這種不同于自由電子平面波的波僅僅借助于一種周期性調(diào)制就可以獲得。 F Bloch,5.1布洛赫波函數(shù),在周期場中，描述電子運

3、動的Schrdinger方程為,其中，V(r) = V(r +Rl)為周期性勢場 Rl=l1a1+l2a2+l3a3為晶格格矢 方程的解應(yīng)具有下列形式：, Bloch函數(shù),這里，uk(r) = uk(r +Rl) 是以格矢 Rl 為周期的周期函數(shù)。 確定了波動方程解的基本特點。,5.1布洛赫波函數(shù),二. Bloch定理（1928年）,換句話說：Bloch 發(fā)現(xiàn)，不管周期勢場的具體函數(shù)形式如何， 在周期勢場中運動的單電子的波函數(shù)不再是平面波，而是 調(diào)幅平面波，其振幅也不再是常數(shù)，而是按晶體的周期而 周期變化。,叫 Bloch波函數(shù)，或Bloch 波。它描述的電子叫 Bloch電子 這個結(jié)論稱 B

4、loch 定理。Bloch 定理也可表述為：,它表明在不同原胞的對應(yīng)點上，波函數(shù)只相差一個相位因子 ，它不影響波函數(shù)的大小，所以電子出現(xiàn)在不同原胞的 對應(yīng)點上幾率是相同的，這是晶體周期性的反映。,5.1布洛赫波函數(shù),5.1布洛赫波函數(shù),5.1布洛赫波函數(shù),證明布洛赫定理,(1)引入平移算符,(2)證明:,(3),在晶格周期性勢場中運動電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。,晶格的周期性勢場, Bloch函數(shù),uk(r) = uk(r +Rl),(1)平移對稱算符,(2),5.1布洛赫波函數(shù),晶體中單電子哈密頓量 具有晶格周期性。,平移對稱操作算符與哈密頓算符是對易的。,在直角坐標系中：,5.1

5、布洛赫波函數(shù),由于對易的算符有共同的本征函數(shù)，所以如果波函數(shù) 是 的本征函數(shù)，那么 也一定是算符 的本征函數(shù)。,根據(jù)平移特點,(3),5.1布洛赫波函數(shù),n,R,k,i,n,R,=,e,),(,l,.,可得到,即,由周期性邊界條件,5.1布洛赫波函數(shù),根據(jù)上式可得到,同理可得：,這樣 的本征值取下列形式,令,5.1布洛赫波函數(shù),-布洛赫定理,再證明布洛赫波函數(shù)具有如下形式：,可以看出平面波 能滿足上式。因此矢量 具有波矢的意義。當波矢增加一個倒格矢 ，平面波 也滿足上式。,5.1布洛赫波函數(shù),因此電子的波函數(shù)一般應(yīng)是這些平面波的線性疊加,則上式化為,即晶體中電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波

6、。,5.1布洛赫波函數(shù),可以認為電子在整個晶體中自由運動。布洛赫函數(shù)的平面波因子描述晶體中電子的共有化運動，而周期函數(shù)的因子描述電子在原胞中運動，這取決于原胞中電子的勢場。,三、 的取值和范圍,由周期性邊界條件,5.1布洛赫波函數(shù),5.1布洛赫波函數(shù),只能取一些分立的值。,可以證明,是倒格矢。,5.1布洛赫波函數(shù),K,k,k,k,v,v,v,v,+,=,換成,相當于波矢,h,K,v,h,),(,),(,r,r,K,k,k,v,v,v,r,r,+,=,y,y,h,在簡約布里淵區(qū)內(nèi)，電子的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)目N=N1N2N3。在波矢空間內(nèi)，由于N的數(shù)目很大，波矢點的分布是準連續(xù)的。一個波矢對

7、應(yīng)的體積為：,一個波矢代表點對應(yīng)的體積為：,電子的波矢密度為：,5.1布洛赫波函數(shù),下面證明,證明：根據(jù)布洛赫定理,5.1布洛赫波函數(shù),例1：一維周期場中電子的波函數(shù) 應(yīng)當滿足布洛赫定理，若晶格常量為a，電子波函數(shù)為 , f為某一確定函數(shù)，試求電子在這些狀態(tài)的波矢。,解：據(jù)布洛赫定理，在周期性勢場中運動的波函數(shù)具有以下特點：,5.1布洛赫波函數(shù),據(jù)布洛赫定理，,即,在簡約布里淵區(qū)中，即,取,5.1布洛赫波函數(shù),令m-n=l，,四、 Bloch函數(shù)的性質(zhì),Bloch函數(shù):,周期函數(shù) 的作用則是對這個波的振幅進行 調(diào)制，使它從一個原胞到下一個原胞作周期性振 蕩，但這并不影響態(tài)函數(shù)具有行進波的特性。

8、,行進波因子 表明電子可以在整個晶體中運動 的，稱為共有化電子，它的運動具有類似行進平面 波的形式。,5.1布洛赫波函數(shù),晶體中電子：,自由電子：,孤立原子：,如果晶體中電子的運動完全自由，,在晶體中運動電子的波函數(shù)介于自由電子與孤立原子之間，是兩者的組合。,由于晶體中的電子既不是完全自由的，也不是完全被束縛在某個原子周圍，因此，其波函數(shù)就具有 的形式。周期函數(shù) 反映了電子與晶格相互作用的強弱。,若電子完全被束縛在某個原子周圍，,5.1布洛赫波函數(shù),如果電子只有原子內(nèi)運動（孤立原子情況），電子 的能量取分立的能級；,晶體中的電子既有共有化運動也有原胞內(nèi)運動，因 此，電子的能量取值就表現(xiàn)為由能量

9、的允帶和禁帶 相間組成的能帶結(jié)構(gòu)。,若電子只有共有化運動（自由電子情況），電子的 能量連續(xù)取值（嚴格講電子能量應(yīng)是準連續(xù)的）。,5.1布洛赫波函數(shù),需要指出的是，在固體物理中，能帶論是從周期性勢場中推導出來的。但是，周期性勢場并不是電子具有能帶結(jié)構(gòu)的必要條件，在非晶固體中，電子同樣有能帶結(jié)構(gòu)。,在倒格空間中以任意一個倒格點為原點，做原點和其他所有倒格點連線的中垂面(或中垂線)，這些中垂面(或中垂線)將倒格空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。,五、布里淵區(qū),第一布里淵區(qū)(簡約布里淵區(qū))：圍繞原點的最小閉合區(qū)域；,5.1布洛赫波函數(shù),對于已知的晶體結(jié)構(gòu)，如何畫布里淵區(qū)呢?,第n+1布里淵區(qū)：

10、從原點出發(fā)經(jīng)過n個中垂面(或中垂線)才能到達的區(qū)域(n為正整數(shù))。,布里淵區(qū)作圖法,晶體結(jié)構(gòu),布拉維晶格,倒格點排列,中垂面(中垂線),區(qū)分布里淵區(qū),倒格基矢,正格基矢,5.1布洛赫波函數(shù),例2：下圖是一個二維晶體結(jié)構(gòu)圖，畫出它的第一、第二、第三布里淵區(qū)。,5.1布洛赫波函數(shù),5.1布洛赫波函數(shù),布里淵區(qū)的面積,=倒格原胞的面積,高序號布里淵區(qū)的各個分散的碎片平移一個或幾個倒格矢進入簡約布里淵區(qū)，形成布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖。,5.1布洛赫波函數(shù),5.1布洛赫波函數(shù),倒格仍為矩形。,例3：畫出下面二維矩形格子的第一和第二布里淵區(qū)的擴展區(qū)圖和簡約區(qū)圖，設(shè)矩形邊長分別為 。,解:,5.1布洛赫波函數(shù),5

11、.1布洛赫波函數(shù),例4：畫出面心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)面心立方晶格常量為a。,解：,面心立方正格基矢：,倒格基矢:,5.1布洛赫波函數(shù),倒格基矢：,已知體心立方正格基矢:,5.1布洛赫波函數(shù),面心立方的倒格是 邊長為4/a體心立方。,例5：畫出體心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)體心立方晶格常量為a。,解：正格基矢：,倒格基矢：,5.1布洛赫波函數(shù),體心立方倒格是邊長為 4/a的面心立方。,已知面心立方正格基矢：,5.1布洛赫波函數(shù),正方形,正格子,簡約布里淵區(qū)形狀,面心立方,正方形,十四面體 (截角八面體),體心立方,十二面體,簡約布里淵區(qū)體積(面積),布里淵區(qū)的形狀由晶體結(jié)構(gòu)的布拉菲晶格決定； 布里淵區(qū)

12、的體積(或面積)等于倒格原胞的體積(或面積)。,5.1布洛赫波函數(shù),能帶理論是單電子近似理論，把每個電子的運動看成是獨立地在一個等效勢場中的運動。布洛赫定理指出，一個在周期場中運動的電子，其波函數(shù)一定是布洛赫函數(shù)。周期性邊界條件的引入，說明了電子的狀態(tài)是分立的。,克龍尼克-潘納模型,K-P模型周期性勢場,5.2 克龍尼克-潘納模型,按照布洛赫定理，波函數(shù)應(yīng)有以下形式,式中,即可得到 滿足的方程,將波函數(shù) 代入定態(tài)薛定諤方程,5.2 克龍尼克-潘納模型,在勢場突變點，波函數(shù)及其導數(shù)連續(xù)。,實際上，這就要求u(x)及其導數(shù)連續(xù)。,（1）在0xc區(qū)域，勢能V=0,令,微分方程的解,5.2 克龍尼克-

13、潘納模型,2,（2）在-bx0區(qū)域，勢能EV0,令,解：,在nana+xna+c區(qū)域,5.2 克龍尼克-潘納模型,2,在na-bna+xna區(qū)域,在x=0處，函數(shù)u及導數(shù)連續(xù),（1）,（2）,5.2 克龍尼克-潘納模型,在x=c處，u連續(xù)。,在x=c處，u導數(shù)連續(xù)。,（3）,（4）,關(guān)于A0,B0,C0,D0的齊次線性方程組，有異于零的解條件是系數(shù)行列式等于0。,5.2 克龍尼克-潘納模型,由于k是實數(shù),為了簡化，假定V0 - ,b-0,但V0b保持有限值。,令,5.2 克龍尼克-潘納模型,5.2 克龍尼克-潘納模型,時，能量與波矢量關(guān)系,當P=0時,此時，對能量沒有限制，對應(yīng)V0=0的自由粒

14、子情況。,當P- 時，必有,能級與k無關(guān)，分立能級。,P的取值適當表達了粒子被束縛的程度。,5.2 克龍尼克-潘納模型,兩個相鄰能帶之間的能量區(qū)域稱為禁帶。,晶體中電子的能量 只能取能帶中的數(shù) 值，而不能取禁帶 中的數(shù)值。,5.2 克龍尼克-潘納模型, k 值越大，相應(yīng)的能帶越寬。,所以，晶體中電子的能帶中有 N 個能級。,而在 空間每個狀態(tài)點所占有的長度為 ，因此，每一能帶中所包含的（狀態(tài)數(shù)）能級數(shù)為,每個能帶所對應(yīng)的 k 的取值范圍都是 。,5.2 克龍尼克-潘納模型,（2）運動方程與微擾計算,Schrdinger方程：,周期性勢場：,a：晶格常數(shù),（1） 近自由電子模型,5.3一維晶格中

15、的近自由電子,假定周期場起伏較小，而電子的平均動能比其勢能的絕對值大得多。作為零級近似，用勢能的平均值V0代替V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作為微擾來處理。,Fourier展開：,必須滿足勢場的周期函數(shù),電子勢能為實數(shù)， V*(x)=V(x),Vn*=V-n,5.3一維晶格中的近自由電子,（3)無簡并定態(tài)微擾理論, 零級近似, 微擾項,零級近似方程：,能量本征值：,5.3一維晶格中的近自由電子,分別對電子能量E(k)和波函數(shù)(k)展開,將以上各展開式代入Schrdinger方程中，得,相應(yīng)歸一化波函數(shù)：,零級,一級,二級,5.3一維晶格中的近自由電子,一級微擾方程：,兩邊同左乘 并積分得

16、,利用 的厄米性質(zhì),即能量的一級修正 等于 在 態(tài)中的平均值。,5.3一維晶格中的近自由電子,由于一級微擾能量Ek(1)0，還需用二級微擾方程來求出二級微擾能量。,二級微擾能量：,5.3一維晶格中的近自由電子,電子的能量：,電子波函數(shù)：,5.3一維晶格中的近自由電子,其中,波函數(shù)由兩部分組成：,波數(shù)為k的行進平面波：,該平面波受周期場的影響而產(chǎn)生的散射波：,因子,是波數(shù)為kk-2n/a的散射波的振幅。,5.3一維晶格中的近自由電子,在一般情況下，各原子產(chǎn)生的散射波的位相不同，彼此相互抵消，散射波中各成分的振幅均較小，可用微擾法處理。,若行進平面波的波長正好滿足條件2an , 相鄰兩原子產(chǎn)生的反

17、射波就會有相同的位相，它們將相互加強，從而使行進的平面波受到很大干涉。,散射波中，這種成分的振幅變得無限大，微擾不再適用。,5.3一維晶格中的近自由電子,由上式可求得,或,實際上是Bragg反射條件2asinn 正入射情況（ sin1 ）。,（4） 簡并定態(tài)微擾,5.4 電子的布拉格反射,在布里淵區(qū)邊界上:,和,零級近似的波函數(shù)是這兩個簡并態(tài)的線性組合。,在k和k接近布里淵區(qū)邊界時,5.4 電子的布拉格反射,零級近似的波函數(shù)也必須寫成,代入Schrdinger方程,得,5.4 電子的布拉格反射,由于,上式分別左乘k(0)*或k(0)* ，并對dx積分得,久期方程:,解得,5.4 電子的布拉格反

18、射,討論,（1）當 時,禁帶寬度：,（2）當 時，同時假定,向上彎的拋物線,向下彎的拋物線,5.4 電子的布拉格反射,（1）在零級近似中，電子作為自由電子，能量本征值與k的關(guān)系曲線是拋物線。,（2）在周期勢場的微擾下，曲線在,處斷開，能量突變值為,（3）禁帶的位置及寬度取決于晶體的結(jié)構(gòu)和勢場的函數(shù)形式。,（4）N很大，故k很密集，可以認為,是k的準連續(xù)函數(shù)。,（5）每個能帶所對應(yīng)的k的取值范圍都是2/a，而所包含的量子態(tài)數(shù)目是N，等于晶體中原胞的數(shù)目。,5.4 電子的布拉格反射,擴展式,按能量由低到高的順序，分別將能帶k限制在第一布里淵區(qū)、第二布里淵區(qū)，等，一個布里淵區(qū)表示一個能帶。,E(k)

19、是k的單值函數(shù)，一個布里淵區(qū)表示一個能帶。,特點,5.4 電子的布拉格反射,每個布里淵區(qū)都表示出所有的能帶，E(k)是k的周期函數(shù)。,特點：,周期式,電子的能量：,晶體中電子的k態(tài)和k+Kh態(tài)是等價的，電子能量在波矢空間內(nèi)，具有倒格子的周期性。,5.4 電子的布拉格反射,一維能帶結(jié)構(gòu)簡約布里淵區(qū),在這種表示中，k為簡約波矢，即k限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)。E(k)是k的多值函數(shù)，為區(qū)分，將其按能量由低到高標記為 ， 。,特點：,在簡約布里淵區(qū)表示出所有能帶，可以看到能帶結(jié)構(gòu)的全貌，E(k)是k的多值函數(shù)。,簡約式,5.4 電子的布拉格反射,5.5 平面波方法,模型：平面波方法是三維周期場中電子運動的

20、近自由電子近似。,勢能 是具有周期性的函數(shù)，可以作傅氏展開。,由勢場的周期性,因為 是實數(shù)，所以,因為 為正格矢，所以 必為倒格矢，即,(1) 微擾計算,哈密頓量可寫為,為方便計算，取勢能平均值V0=0，這樣,5.5平面波方法,考慮到 后解薛定諤方程，由布洛赫定理可知波函數(shù)應(yīng)為：,其中周期性因子 展成傅里葉級數(shù)，,將 代入薛定諤方程,5.5平面波方法,上式點乘 并對整個晶體積分得：,在上式求解過程中，利用了關(guān)系式：,5.5平面波方法,因為 有無數(shù)多個取值，所以上式是一個無限多項的方程式。在計算精度范圍內(nèi)，可取有限項平面波來作 的近似。在此情況下，上式就變?yōu)橐粋€有限項的方程。這樣的方程構(gòu)成了一個

21、齊次方程組。,5.5平面波方法,由此行列式可求出電子的能量 。,如果電子的行為接近于自由電子時，其波函數(shù)與平面波相近:,其他系數(shù) 是小量；電子能量也與自由電子能量近似,電子的近自由電子行為是由勢場決定的，此種情況的勢場起伏不大，中心方程中的系數(shù) 是小量。若忽略掉二級小量，中心方程簡化為：,5.5平面波方法,即,當 遠離 時，由于 是小量，所以 也是小量，但當 時， 變得很大，此時中心方程中除 和 不能忽略外其它項仍是二級小量，可以忽略。中心方程化為:,5.5平面波方法,利用：,就可得到：,可知，當 時，波矢k將對應(yīng)兩個能級，,5.5平面波方法,兩能極之間的能量區(qū)間稱為禁帶，禁帶寬度為相應(yīng)傅里葉

22、分量絕對值的二倍。,發(fā)生能量不連續(xù)的波矢 滿足的條件可改寫為：,在禁帶中不存在布洛赫波描述的電子態(tài)。,禁帶寬度,幾何意義：在 空間中從原點所作的倒格矢 的垂直平分面的方程。,5.5平面波方法,令 ，則從圖中可以看出，不僅 與 的模相等，而且，若把 看作 中 垂面的入射波矢， 恰是 中垂面的反射波矢。,若不考慮雜質(zhì)和缺陷引起的散射，電子的散射只能是晶格引起的。波矢為 態(tài)的反射波就是與 垂直的晶面族引起的。由第一章知，這組晶面的面間距,5.5平面波方法,由圖可知,這正是與 垂直的晶面族對應(yīng)的布拉格反射公式。,一維：屬于一個布里淵區(qū)的能級構(gòu)成一個能帶，不同的布里淵區(qū)對應(yīng)不同的能帶，在布里淵區(qū)邊界能帶

23、與能帶之間出現(xiàn)能隙。,(2) 三維能帶與一維能帶的區(qū)別,5.5平面波方法,三維：與一維的重要區(qū)別是不同的能帶在能量上不一定隔開，而可以發(fā)生能帶之間的交疊。,EC為第一布里淵區(qū)(C點)的最高能量，,EB為第二布里淵區(qū)(B點)的最低能量，,出現(xiàn)禁帶(能隙)Eg；,出現(xiàn)能帶重疊。,對于三維的情況，沿各個方向在布里淵區(qū)界面E(k)函數(shù)是間斷的，但不同方向斷開時的能量取值不同，因而有可能使能帶發(fā)生重疊。,5.5平面波方法,三維：與一維的重要區(qū)別是不同的能帶在能量上不一定隔開，而可以發(fā)生能帶之間的交疊。,5.5平面波方法,5.6電子的運動,在一定條件下，把晶體中電子在外場中的運動當作準經(jīng)典粒子來處理，描寫

24、波的物理量與描寫粒子的量（速度、加速度、質(zhì)量）間的關(guān)系。,解含外場的波動方程,處理晶體中電子在外場中的運動所采用的方法：,條件：外場較弱、恒定，不考慮電子在不同能帶間的躍遷，不涉及電子的衍射和干涉等。,5.6電子的運動,波包與電子速度,在晶體中，可以用含時間的Bloch函數(shù)來組成波包。,5.6.1準經(jīng)典運動,波包中心移動速度（群速度）：,三維情況下，波包運動的速度為：,5.6電子的運動,6.1準經(jīng)典運動,在量子力學中晶體中布洛赫電子的運動由波包來描述。所謂波包由空間分布在r0附近的r范圍內(nèi)，波矢取值在 附近的 k范圍內(nèi)的布洛赫電子態(tài)組成， r k必須滿足不確定關(guān)系。一般 k必須遠小于第一布里淵

25、區(qū)的線度，這樣 r必須遠大于晶體原胞的線度，只能在這個線度內(nèi)，布洛赫電子可以看作經(jīng)典粒子。,在晶體中，用布洛赫波函數(shù)組成波包，以一維情況為例：,其中,5.6電子的運動,積分可得：,相應(yīng)的幾率分布為：,由此可知波包的中心位置在,5.6電子的運動,波包中心移動的速度為：,在三維情況下，波包的中心位置為：,波包運動的速度為：,5.6電子的運動,波包在空間上集中在 范圍，且 有,因為,波包的大小大于許多個原胞，則晶體中電子的運動可以看作波包運動，運動規(guī)律同經(jīng)典粒子一樣，波包速度等于處于波包中心那個狀態(tài)所具有的平均速度。,5.6電子的運動,6.2薛定諤繪景與海森堡繪景,1) 薛定格繪景:,2) 海森堡繪

26、景:,波函數(shù)是隨時間變化的, 即波函數(shù)是時間的函數(shù)。但力學量是不隨時間變化的, 即力學量是與時間無關(guān)的。,在這種思想下來描述的微觀粒子的運動規(guī)律,被稱為是量子力學在薛定諤繪景下的表述。,量子力學還可以在另外的繪景下被表述, 在這種繪景下認為:波函數(shù)是與時間無關(guān)的, 而力學量算符卻是隨時間變化的。 這種繪景被稱為海森堡繪景。,5.6電子的運動,B）在海森堡繪景中，基本動力學方程:,它與薛定格方程在量子力學中的地位完全相同.,A）力學量算符的平均值,只要已知算符 ，不必通過其 的本征態(tài)及本征值，可直接在任意態(tài)波函數(shù)下求出平均值。,5.6電子的運動,6.3 量子力學下，電子平均速度,將波矢空間梯度算

27、符,作用布洛赫波函數(shù),5.6電子的運動,將波矢空間梯度算符作用薛定諤方程,左側(cè),5.6電子的運動,右側(cè),整理后,乘以 并對晶體積分，利用 厄米算符性質(zhì),5.6電子的運動,電子平均速度,現(xiàn)在求外力Fx作用下，布洛赫電子能量E(k)的改變，應(yīng)該等于外力所作的功。,定義有效質(zhì)量為,5.6 電子的運動,6.4 電子平均加速度、有效質(zhì)量,5.6 電子的運動,引入電子的有效質(zhì)量：,在周期場中電子的有效質(zhì)量m*與k有關(guān),E(k)取極小值，,E(k)取極大值，,在能帶底：,在能帶頂：,5.6 電子的運動,三維情況,分量形式：,1, 2, 3,5.6 電子的運動,矩陣形式：,牛頓定律：,這里用二階張量 代替了,

28、5.6 電子的運動,電子的加速度方向并不一定與外力的方向一致。,倒有效質(zhì)量張量是對稱張量，如將kx、ky、kz取為張量的主軸方向，可將其對角化。,倒有效質(zhì)量張量：,5.6 電子的運動,在主軸坐標系中：,5.6 電子的運動,有效質(zhì)量的物理解釋,一維情況下：,由于周期場對電子的作用力（晶格力）比較復雜，并且往往事先不能知道，而且晶格對電子的作用是量子效應(yīng)，是不能用經(jīng)典的方法來處理。,牛頓定律：,F外：外場對電子的作用力,F晶：周期場即晶格對電子的作用力，稱為晶格力,5.6 電子的運動,即,其中,電子有效質(zhì)量,對于自由電子：F晶0，所以，m*m。,在能帶底：電子的能量取極小值，,電子從外場所獲得的動

29、量大于電子交給晶格的動量，因而表現(xiàn)為具有正的有效質(zhì)量m* 0；,5.6 電子的運動,在能帶頂：,電子從外場所獲得的動量小于它交給晶格的動量，因而表現(xiàn)為具有負的有效質(zhì)量m* 0。,在拐點處，F(xiàn)外F晶，所以m*。,當F外F晶時，m* 0；而當F外F晶時，m* 0。,5.6 電子的運動,5.7導體、半導體和絕緣體,偶函數(shù),滿帶情況,不滿帶情況,無外場時，晶體中電子能量與速度,奇函數(shù),無外場時，電子占據(jù)某個狀態(tài)的幾率只與能量有關(guān)，k和-k態(tài)電子貢獻的電流正好相互抵消，總電流為零。,滿帶情況,不滿帶情況,有外場時，晶體中電子能量與速度,E,對于滿帶，即使有外加電場或磁場，也不改變k和-k態(tài)電子貢獻的電流正好相互抵銷，總電流為零的情況。,滿帶電子沒有導電作用,部分填充的能帶和滿帶不同，在外場力作用下，能帶中布洛赫電子在k空間對稱分布被破壞，逆電場方向有一小的偏移，電子電流將只能部分抵銷，抵銷不掉的量子態(tài)上的電子將產(chǎn)生一定的電流。,不滿帶電子有導電作用,5.7導體、半導體和絕緣體,堿金屬（如鈉）每個原胞只含一個3s電子。當 N 個這類原子結(jié)合成固體時，N 個電子就占據(jù)著能帶中 N 個最低的量子態(tài)。其余 N 個能量較高的量子態(tài)則是空的，即能帶是半滿的（每個能帶可容納 2N 個電子）。,堿土金屬（如鎂）的每個原胞含有兩個 3s 電子，正好填滿 3s 帶，堿土金