彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識

1、,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 2 彈性力學(xué)基本概念 3 彈性力學(xué)基本方程 4 邊界條件,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè),工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難，將使得問題無法求解。 根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設(shè)。使問題的研究限定在一個可行的范圍。 基本假設(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。 超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究。,基本假設(shè)的必要性,連續(xù)性假設(shè) 均勻性假設(shè) 各向同性假設(shè) 完全彈性假設(shè) 小變形假設(shè) 無初始應(yīng)力的假設(shè),1 彈性力學(xué)的基本假設(shè),1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 1. 連續(xù)性假設(shè),假設(shè)所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組成

2、物體的介質(zhì)所充滿，各個質(zhì)點之間不存在任何空隙。 變形后仍然保持連續(xù)性。 根據(jù)這一假設(shè)，物體所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均為物體空間的連續(xù)函數(shù)。 微觀上這個假設(shè)不成立宏觀假設(shè)。,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 2. 均勻性假設(shè), 假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標(biāo)位置的變化而改變。 物體的彈性性質(zhì)處處都是相同的。 工程材料，例如混凝土顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。 對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料，不能處理為均勻材料,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 3. 各向同性假設(shè),假定物體在各個不同的方向上具

3、有相同的物理性質(zhì)，這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標(biāo)方向的改變而變化。 宏觀假設(shè)，材料性能是顯示各向同性。 當(dāng)然，像木材，竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料。 這些材料的研究屬于復(fù)合材料力學(xué)研究的對象。,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 4. 完全彈性假設(shè),對應(yīng)一定的溫度，如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，而且這個關(guān)系和時間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，稱為完全彈性材料。 完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學(xué)研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。 研究對象的材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變。,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 5. 小變形假設(shè),假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾

4、何尺寸相比屬于高階小量。 在彈性體的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化。 忽略位移、應(yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 6. 無初始應(yīng)力假設(shè),假設(shè)物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內(nèi)部沒有應(yīng)力。 彈性力學(xué)求解的應(yīng)力僅僅是外部作用（外力或溫度改變）產(chǎn)生的。,彈性力學(xué)的基本假設(shè)，主要包括彈性體的連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全彈性和小變形假設(shè)等。 這些假設(shè)都是關(guān)于材料變形的宏觀假設(shè)。 彈性力學(xué)問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用基本假設(shè)。 這些基本假設(shè)被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行的。,物體承受外力作用，物體內(nèi)部各截

5、面之間產(chǎn)生附加內(nèi)力，為了顯示出這些內(nèi)力，我們用一截面截開物體，并取出其中一部分：,其中一部分對另一部分的作用，表現(xiàn)為內(nèi)力，它們是分布在截面上分布力的合力。,取截面的一部分，它的面積為A，,為物體在該截面上A點的應(yīng)力。,平均集度為Q/A，其極限,作用于其上的內(nèi)力為Q，,通常將應(yīng)力沿垂直于截面和平行于截面兩個方向分解為,S,正應(yīng)力,切應(yīng)力,應(yīng)力分量,應(yīng)力不僅和點的位置有關(guān)，和截面的方位也有關(guān)。 描述應(yīng)力，通常用一點平行于坐標(biāo)平面的單元體，各面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸的分量來表稱為應(yīng)力分量。,物體內(nèi)各點的內(nèi)力平衡，因此相對平面上的應(yīng)力分量大小相等，方向相反。,應(yīng)力分量,符號規(guī)定： 圖示單元體面的法線為y,稱

6、為y面，應(yīng)力分量垂直于單元體面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力。 正應(yīng)力記為 ,沿y軸的正向為正,其下標(biāo)表示所沿坐標(biāo)軸的方向。,平行于單元體面的應(yīng)力稱為切應(yīng)力，用yx 、yz表示，其第一下標(biāo)y表示所在的平面，第二下標(biāo)x、y分別表示沿坐標(biāo)軸的方向。如圖示的yx、yz,y,yx,yz,x,y,z,o,外力作用下彈性體將產(chǎn)生變形，因此微分體棱邊的長度以及它們之間的夾角將發(fā)生變化。各棱邊每單位長度的伸縮量稱為正應(yīng)變（normal strain），各棱邊之間的直角改變則稱為剪應(yīng)變（shear strain）。剪應(yīng)變以直角減小為正，增大為負(fù)，應(yīng)變無量綱。幾何意義如圖,應(yīng)力矩陣,應(yīng)變矩陣,彈性體變形實際上是彈性體內(nèi)質(zhì)點的位

7、置變化，質(zhì)點位置的改變稱為位移（displacement）。位移可分解為x、y、z三個坐標(biāo)軸上的投影，稱為位移分量。沿坐標(biāo)軸正方向的位移分量為正，反之為負(fù)。 位移的矩陣表示為 彈性體發(fā)生變形時，各質(zhì)點的位移不一定相同，因此位移也是x、y、z的函數(shù)。,平衡方程是彈性體內(nèi)部必須滿足的條件，它6個應(yīng)力分量不是獨(dú)立的，它們通過3個平衡方程相互聯(lián)系,幾何方程描述幾何量應(yīng)變和位移之間的關(guān)系,可寫成矩陣形式為,6個應(yīng)變分量可用該點的 3個位移分量表示，因此 6個應(yīng)變分量也不是獨(dú)立的,物理方程描述應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系，這種關(guān)系與材料的物理特性有關(guān)。物理方程共有6個，其形式為,1，沒有正應(yīng)力，沒有正應(yīng)變

8、 2，沒有正應(yīng)變，沒有正應(yīng)力 3，沒有應(yīng)變，沒有位移 4，沒有位移，沒有應(yīng)變,物理方程寫成矩陣形式,簡記為,其中，為彈性矩陣，它完全取決于彈性系數(shù)和。,15個方程,幾何方程,物理方程,平衡方程,彈性力學(xué)基本方程,由上可見，三類基本方程共包含15個方程，含6個應(yīng)力分量，6個應(yīng)變分量和3個位移分量，共15個未知量，因而原則上可以解出15個物理量。實際求解時并不是同時求出全部未知量，而是先求出一部分（稱為基本未知量），再通過基本方程求出其他未知量。根據(jù)基本未知量的選法不同，也就產(chǎn)生了3中不同的解題方法位移法，應(yīng)力法和混合法。,彈性力學(xué)的基本未知量： 位移分量，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量。 基本方程：平衡微分方程，幾何方程和物理方程。 要使基本方程有確定的解，還要有對應(yīng)的面力或位移邊界條件。 邊界條件一般分為：靜力（面力）邊界條件、位移邊界條件和混合邊界條件。 彈性力學(xué)的任務(wù)：就是在給定的邊界條件下，就十五個未知量求解十五個基本方程。,靜力（面力）邊界條件,靜力邊界條件：結(jié)構(gòu)在邊界上所受的面力與應(yīng)力分量之間的關(guān)系 。 由于物體表面受到表面力，如壓力和接觸力等的作用， 設(shè)單位面積上的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz ，物體外表面法線n的方向余弦為l