第五章彎曲應(yīng)力.ppt

1、第五章 彎曲應(yīng)力,5-2 純彎曲時(shí)的正應(yīng)力,5-3 橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力,5-4 彎曲切應(yīng)力,5-6 提高彎曲強(qiáng)度的措施,5-1 純彎曲,一、彎曲構(gòu)件橫截面上的應(yīng)力,當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力FS.,5-1 純彎曲,只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素 dFN = dA 才能合成彎矩.,只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素 dFS = dA 才能合成剪力；,所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力， 又有切應(yīng)力.,二、分析方法,簡(jiǎn)支梁CD段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎曲.,若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎矩為常量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱(chēng)為

2、純彎曲.,三、純彎曲,5-2 純彎曲時(shí)的正應(yīng)力,一、實(shí)驗(yàn),1.變形現(xiàn)象,縱向線,相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度，,仍與變形后的縱向弧線垂直.,各橫向線仍保持為直線，,各縱向線段彎成弧線，,橫向線,2.提出假設(shè),（a）平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面 變形后仍保持為平面且垂直于變形 后的梁軸線；,（b）單向受力假設(shè)：縱向纖維不相互擠 壓，只受單向拉壓.,推論：必有一層變形前后長(zhǎng)度不變的纖維中性層,中性軸 橫截面對(duì)稱(chēng)軸,應(yīng)變分布規(guī)律：,直梁純彎曲時(shí)縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比.,二、變形幾何關(guān)系,三、物理關(guān)系,所以,Hookes Law,直梁純彎曲時(shí)橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力，與它到中性軸的距離成正比.

3、,應(yīng)力分布規(guī)律：,?,待解決問(wèn)題,中性軸的位置,中性層的曲率半徑r,四、靜力關(guān)系,橫截面上內(nèi)力系為垂直于橫截面的空間平行力系，這一力系簡(jiǎn)化得到三個(gè)內(nèi)力分量.,內(nèi)力與外力相平衡可得,（1）,（2）,（3）,將應(yīng)力表達(dá)式代入（1）式，得,將應(yīng)力表達(dá)式代入（2）式，得,將應(yīng)力表達(dá)式代入(3)式，得,中性軸通過(guò)橫截面形心,自然滿足,得到純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式:,M為梁橫截面上的彎矩；,y為梁橫截面上任意一點(diǎn)到中性軸的距離；,Iz為梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩.,（1）應(yīng)用公式時(shí)，一般將 My 以絕對(duì)值代入. 根據(jù)梁變形的情況直接判斷 的正負(fù)號(hào). 以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力( 為正

4、號(hào)).凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力（ 為負(fù)號(hào)）；,（2）最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處.,則公式改寫(xiě)為,（1）當(dāng)中性軸為對(duì)稱(chēng)軸時(shí),矩形截面,實(shí)心圓截面,空心圓截面,z,y,（2）對(duì)于中性軸不是對(duì)稱(chēng)軸的橫截面,應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離 和 直接代入公式,5-3 橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力,彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度 l 與橫截面高度 h 之比 l / h 5 （細(xì)長(zhǎng)梁）時(shí)，純彎曲正應(yīng)力公式對(duì)于橫力彎曲近似成立。,橫力彎曲,橫力彎曲正應(yīng)力公式,橫力彎曲最大正應(yīng)力,5-3 橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力,細(xì)長(zhǎng)梁的純彎曲或橫力彎曲,橫截面慣性積 IYZ =0,彈性變形階段,公式適用范圍,彎曲

5、正應(yīng)力強(qiáng)度條件,1.等截面梁彎矩最大的截面上,2.離中性軸最遠(yuǎn)處,3.變截面梁要綜合考慮 與,強(qiáng)度條件的應(yīng)用,（2）設(shè)計(jì)截面,（3）確定許可載荷,（1） 強(qiáng)度校核,對(duì)于鑄鐵等脆性材料制成的梁，由于材料的,且梁橫截面的中性軸一般也不是對(duì)稱(chēng)軸，所以梁的,（兩者有時(shí)并不發(fā)生在同一橫截面上）,要求分別不超過(guò)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力,例題1 螺栓壓板夾緊裝置如圖所示.已知板長(zhǎng)3a150mm，壓板材料的彎曲許用應(yīng)力s140MP.試計(jì)算壓板傳給工件的最大允許壓緊力F.,解：（1）作出彎矩圖的最大彎矩為Fa；,（2）求慣性矩，抗彎截面系數(shù),（3）求許可載荷,例題2 T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示.

6、 鑄鐵的許用拉應(yīng)力為 t = 30MPa ，許用壓應(yīng)力為c =160MPa. 已知截面對(duì)形心軸z的慣性矩為 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的強(qiáng)度.,解：,最大正彎矩在截面C上,最大負(fù)彎矩在截面B上,B截面,C截面,22,例 3 ( 書(shū)例5.2),已知： s=100 MPa， P = 25.3 kN。,解：,求：校核心 軸的強(qiáng)度。,計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖。,(1) 求彎矩圖,支反力,23,(1)求彎矩圖,(2) 確定危險(xiǎn)截面,I截面 II截面 III截面,24,(3) 強(qiáng)度校核,I截面,II截面,III截面,結(jié)論,注意,滿足強(qiáng)度要求。,最大正應(yīng)力并非發(fā)生在彎矩最大的截面。,一、梁橫截面

7、上的切應(yīng)力,5-4 梁的切應(yīng)力及強(qiáng)度條件,橫力彎曲時(shí), 橫截面上既有正應(yīng)力, 又有切應(yīng)力。 推導(dǎo)切應(yīng)力公式的方法： 假設(shè)切應(yīng)力的分布規(guī)律，然后根據(jù)平衡條件求出切應(yīng)力。,按截面形狀，分別討論。,1.矩形截面梁,（1）兩個(gè)假設(shè),（a）切應(yīng)力與剪力平行； （b）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布 （距中性軸等距離處切應(yīng)力相等）.,（2）分析方法,（a）用橫截面m-m , n-n從梁中截取 dx一段.兩橫截面上的彎矩不等. 所以兩截面同一y處的正應(yīng)力也不等；,（b）假想地從梁段上截出體積元素 mB1，在兩端面mA1，nB1上兩個(gè)法向 內(nèi)力不等.,（c）在縱截面上必有沿 x 方向的切向內(nèi)力dFS.故在此面上就有切

8、應(yīng)力.,根據(jù)假設(shè)，橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn)處切應(yīng)力大小相等. 各點(diǎn)的切應(yīng)力方向均與截面?zhèn)冗吰叫?取分離體的平衡即可求出.,m,（3）公式推導(dǎo),假設(shè)m-m，n-n上的彎矩為M和M+dM，兩截面上距中性軸 y1 處的正應(yīng)力為1 和2.,A1為距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積.,式中：,為面積A1對(duì)中性軸的靜矩.,化簡(jiǎn)后得,由平衡方程,b,矩型截面的寬度.,整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩.,距中性軸為y的橫線以外部分橫 截面面積對(duì)中性軸的靜矩.,（4）切應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律, 沿截面高度的變化由靜矩 與y之間的關(guān)系確定.,可見(jiàn)，切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化.,y=h/2（即在橫截面上距中

9、性軸最遠(yuǎn)處）t=0,y=0（即在中性軸上各點(diǎn)處），切應(yīng)力達(dá)到最大值,式中，A=bh為矩形截面的面積.,截面靜矩的計(jì)算方法,A為截面面積,為截面的形心坐標(biāo),2.工字形截面梁,假設(shè)求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離為y.,研究方法與矩形截面同，切應(yīng)力的計(jì)算公式亦為,則，距中性層 y處的切應(yīng)力公式為:,（a）腹板上的切應(yīng)力沿腹板高度按二次拋物線規(guī)律變化；,（b）最大切應(yīng)力也在中性軸上.這也是整個(gè)橫截面上的最大切應(yīng)力.最小切應(yīng)力發(fā)生在 y=h/2 處,切應(yīng)力分布如圖。,因?yàn)? (1)腹板切應(yīng)力近似為均勻分布; (2)腹板負(fù)擔(dān)了絕大部分剪力。,38,3 圓形截面梁,切應(yīng)力分布的特點(diǎn),(1) 邊緣各點(diǎn)的切應(yīng)力與圓周

10、相切； (2) y軸上各點(diǎn)的切應(yīng)力沿y軸。,假設(shè),(1) AB弦上各點(diǎn)的切應(yīng)力作用線通過(guò)同一點(diǎn) p；,(2) AB弦上各點(diǎn)的切應(yīng)力沿 y軸的分量 y相等。,39,所以，對(duì)y可用矩形截面梁的公式,式中，b為AB弦的長(zhǎng)度，Sz*為AB弦以外的面積對(duì)z軸的靜矩。,最大切應(yīng)力,最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上。 中性軸上的切應(yīng)力的方向？,40,最大切應(yīng)力是平均切應(yīng)力的1.33倍。,中性軸處,二、強(qiáng)度條件,實(shí)心截面梁正應(yīng)力與切應(yīng)力的比較,42,對(duì)矩形截面梁,對(duì)圓形截面梁,三、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況,（1）梁的跨度較短，M 較小，而FS較大時(shí),要校核切應(yīng)力；,（2）鉚接或焊接的組合截面,其腹板的厚度與高度比

11、小于型鋼 的相應(yīng)比值時(shí)，要校核切應(yīng)力；,（3）各向異性材料(如木材)的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力.,例題4 一簡(jiǎn)易起重設(shè)備如圖所示.起重量(包含電葫蘆自重)F = 30 kN. 跨長(zhǎng)l = 5 m. 吊車(chē)大梁AB由20a工字鋼制成.其許用彎曲正應(yīng)力=170MPa,許用彎曲切應(yīng)力= 100MPa ，試校核梁的強(qiáng)度.,解：此吊車(chē)梁可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，力 F 在梁中間位置時(shí)有最大正應(yīng)力 .,（a）正應(yīng)力強(qiáng)度校核,由型鋼表查得20a工字鋼的,所以梁的最大正應(yīng)力為,（b）切應(yīng)力強(qiáng)度校核,在計(jì)算最大切應(yīng)力時(shí)，應(yīng)取荷載F在緊靠任一支座例如支座A處所示，因?yàn)榇藭r(shí)該支座的支反力最大，而梁的最大切應(yīng)力也就最大.,查型

12、鋼表中，20a號(hào)工字鋼，有,d=7mm,據(jù)此校核梁的切應(yīng)力強(qiáng)度,以上兩方面的強(qiáng)度條件都滿足，所以此梁是安全的.,例題5 簡(jiǎn)支梁AB如圖所示. l2m，a0.2m. 梁上的載荷為q為10kN/m，F(xiàn)200kN.材料的許用應(yīng)力為=160MPa，100MPa，試選擇工字鋼型號(hào).,解：（1）計(jì)算支反力做內(nèi)力圖.,（2）根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號(hào),查型鋼表，選用22a工字鋼，其Wz309cm3,47,查型鋼表(p. 353),單位為: cm,（3）校核梁的切應(yīng)力,腹板厚度 d=0.75cm，由剪力圖知最大剪力為210kN,查表得,max超過(guò)t很多，應(yīng)重新選擇更大的截面.現(xiàn)已25b工字鋼進(jìn)行試算,所以應(yīng)選

13、用型號(hào)為25b的工字鋼.,懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹?m。膠合面的許可切應(yīng)力為0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求許可載荷。,1.畫(huà)梁的剪力圖和彎矩圖,2.按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷,3.按切應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷,解：,例題6,目錄,4.按膠合面強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷,5.梁的許可載荷為,目錄,5-6 提高梁強(qiáng)度的主要措施,一、降低梁的最大彎矩值,1.合理地布置梁的荷載,按強(qiáng)度要求設(shè)計(jì)梁時(shí)，主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件,2.合理地設(shè)置支座位置,當(dāng)兩端支座分別向跨中移動(dòng)a=0.207l 時(shí)，最大彎矩減小.,二. 增大 WZ,合理設(shè)計(jì)截面,合理放置截面,54,幾種常用截面的比較,用比值,來(lái)衡量,可看出：材料遠(yuǎn)離中性軸的截面(環(huán)形、槽形、工字形等)比較經(jīng)濟(jì)合理。,合理放置截面,2.對(duì)于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等對(duì)中性軸不對(duì)稱(chēng)的截 面且將翼緣置于受拉側(cè).,三、根據(jù)材料特性選擇截面形狀,1.對(duì)于塑性材料制成的梁,選以中性軸為對(duì)稱(chēng)軸的橫截面.,要使y1/y2接近下列關(guān)系：最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)接近許用應(yīng)力,四、采用等強(qiáng)度梁,對(duì)如圖的簡(jiǎn)支梁: 只有中點(diǎn)處的截面上達(dá)到 最大正應(yīng)力。,梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，并均達(dá)到材料的許