湖北省恩施巴東縣第一高級中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3.2簡單的三角恒等變換(2)教案 新人教A版必修4（通用）

1、湖北省恩施巴東縣第一高級中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3.2簡單的三角恒等變換(2)教案 新人教A版必修4（一）導(dǎo)入新課 思路1.(問題導(dǎo)入)三角化簡、求值與證明中，往往會出現(xiàn)較多相異的角，我們可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余等關(guān)系，運用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲得解決，如：=(+)-，2=(+)+(-)=(+)-(-)，+=-(-)等，你能總結(jié)出三角變換的哪些策略？由此探討展開. 思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)前面已經(jīng)學(xué)過如何把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(x+)的函數(shù)，本節(jié)主要研究函數(shù)y=asinx+bcosx的周期、最值等性質(zhì).三角函數(shù)和代數(shù)、幾何知識聯(lián)系密

2、切，它是研究其他各類知識的重要工具.高考題中與三角函數(shù)有關(guān)的問題，大都以恒等變形為研究手段.三角變換是運算、化簡、求值、證明過程中不可缺少的解題技巧，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件靈活運用三角公式，掌握運算，化簡的方法和技能.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題三角函數(shù)y=sinx，y=cosx的周期,最大值和最小值是多少？函數(shù)y=asinx+bcosx的變形與應(yīng)用是怎樣的？三角變換在幾何問題中有什么應(yīng)用？ 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生對前面已學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行復(fù)習(xí)與回顧，我們知道正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象都具有周期性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì).而且正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的周期都是2k（kZ且k0），最小正周期都是2

3、.三角函數(shù)的定義與變化時，會對其周期性產(chǎn)生一定的影響，例如，函數(shù)y=sinx的周期是2k（kZ且k0），且最小正周期是2，函數(shù)y=sin2x的周期是k（kZ且k0），且最小正周期是.正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的最大值是1，最小值是-1，所以這兩個函數(shù)的值域都是-1，1.函數(shù)y=asinx+bcosx=（cosx）,(,則有asinx+bcosx=（sinxcos+cosxsin）=sin（x+）.因此，我們有如下結(jié)論：asinx+bcosx=sin（x+），其中tan=.在以后的學(xué)習(xí)中可以用此結(jié)論進(jìn)行求幾何中的最值問題或者角度問題. 我們知道角的概念起源于幾何圖形，從而使得三角函數(shù)與平面幾何有著密切的

4、內(nèi)在聯(lián)系.幾何中的角度、長度、面積等幾何問題，常需借助三角函數(shù)的變換來解決，通過三角變換來解決幾何中的有關(guān)問題，是一種重要的數(shù)學(xué)方法.討論結(jié)果：y=sinx，y=cosx的周期是2k（kZ且k0），最小正周期都是2；最大值都是1，最小值都是-1.(略)見活動.（三）應(yīng)用示例思路1例1 如圖1,已知OPQ是半徑為1,圓心角為的扇形,C是扇形弧上的動點,ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記COP=,求當(dāng)角取何值時,矩形ABCD的面積最大?并求出這個最大面積. 活動：要求當(dāng)角取何值時，矩形ABCD的面積S最大，先找出S與之間的函數(shù)關(guān)系，再求函數(shù)的最值.找S與之間的函數(shù)關(guān)系可以讓學(xué)生自己解決，得到：S=ABB

5、C=(cossin)sin=sincos-sin2.求這種y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函數(shù)的最值，應(yīng)先降冪，再利用公式化成Asin(x+)型的三角函數(shù)求最值.教師引導(dǎo)學(xué)生思考：要求當(dāng)角取何值時,矩形ABCD的面積S最大,可分兩步進(jìn)行:圖1(1)找出S與之間的函數(shù)關(guān)系;(2)由得出的函數(shù)關(guān)系,求S的最大值.解:在RtOBC中,BC=cos,BC=sin,在RtOAD中,=tan60=,所以O(shè)A=DA=BC=sin.所以AB=OB-OA=cossin.設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=ABBC=(cossin)sin=sincossin2=sin2+cos2-=(sin2+co

6、s2)-=sin(2+)-.由于00).(1)求函數(shù)f(x)的值域;(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.解:(1)f(x)=sinx+cosx+sinx-cosx-(cosx+1)=2(sinx-cosx)-1=2sin(x-)-1.由-1sin(x-)1,得-32sin(x-)-11,可知函數(shù)f(x)的值域為-3,1.(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì),可知y=f(x)的周期為,又由0,得=,即得=2.于是有f(x)=2sin(2x-)-1,再由2k-2x-2k+(kZ),解得k-xk+(kZ). 所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)

7、間為k-,k+(kZ). 點評:本題主要考查三角函數(shù)公式,三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查綜合運用三角函數(shù)有關(guān)知識的能力.例1 求函數(shù)y=sin4x+23sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并寫出該函數(shù)在0,上的單調(diào)遞增區(qū)間. 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生利用公式解題，本題主要考查二倍角公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等基礎(chǔ)知識.先用二倍角公式把函數(shù)化成最簡形式,然后再解決與此相關(guān)的問題.解:y=sin4x+2sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+sin2x=sin2x-cos2x=2sin(2x-). 故該函數(shù)的最小正周期是;最小值是-2;

8、在0,上單調(diào)增區(qū)間是0, ,. 點評：本題主要考查二倍角公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等基礎(chǔ)知識.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x,(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x0,求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x+),所以，f(x)的最小正周期T=.(2)因為x0,，所以2x+，.當(dāng)2x+=時，cos(2x+)取得最大值,當(dāng)2x+=時，cos(2x+)取得最小值-1.所以，在0,上的最大值為1，最小值為-.思

9、路2例1 已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(0,0)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點M(,0)對稱,且在區(qū)間0,上是單調(diào)函數(shù),求和的值. 活動：提醒學(xué)生在解此題時,對f(x)是偶函數(shù)這一條件的運用不在問題上,而在對“f(x)的圖象關(guān)于M(,0)對稱”這一條件的使用上,多數(shù)考生都存在一定問題.一般地:定義在R上的函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)任意x滿足條件:f(x+a)=2b-f(a-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱,反之亦然.教師在這類問題的教學(xué)時要給予充分的提示與總結(jié)，多做些這種類型的變式訓(xùn)練.解：由f(x)是偶函數(shù),得f(-x)=f(x),即sin(-x+)=sin(x+),所以-c

10、ossinx=cossinx對任意x都成立.又0,所以,得cos=0.依題設(shè)0,所以,解得=.由f(x)的圖象關(guān)于點M對稱,得f(-x)=-f(+x).取x=0,得f()=-f(),所以f()=0.f()=sin(+)=cos,cos=0.又0,得=+k,k=0,1,2,.=(2k+1),k=0,1,2,.當(dāng)k=0時,=,f(x)=sin(x+)在0,上是減函數(shù);當(dāng)k=1時,=2,f(x)=sin(2x+)在0,上是減函數(shù);當(dāng)k2時,f(x)=sin(x+)在0,上不是單調(diào)函數(shù).所以,綜合得=或=2. 點評：本題是利用函數(shù)思想進(jìn)行解題，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對函數(shù)進(jìn)行變換然后進(jìn)而解決此題.

11、變式訓(xùn)練 已知如圖2的RtABC中,A=90,a為斜邊,B、C的內(nèi)角平分線BD、CE的長分別為m、n,且a2=2mn.問:是否能在區(qū)間(,2中找到角,恰使等式cos-sin=4(cos-cos)成立?若能,找出這樣的角;若不能,請說明理由.解:在RtBAD中,=cos,在RtBAC中,=sinC,mcos=asinC.圖2同理,ncos=asinB.mncoscos=a2sinBsinC.而a2=2mn,coscos=2sinBsinC=8sincoscossin.sinsin=.積化和差,得4(cos-cos)=-1,若存在使等式cos-sin=4(cos-cos)成立,則cos(+)=-1

12、,cos(+)=.而2,+.這樣的不存在. 點評:對于不確定的開放式問題,通常稱之為存在性問題.處理這類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論是肯定的,再進(jìn)行演繹推理,若推證出現(xiàn)矛盾,即可否定假設(shè);若推出合理結(jié)果,即假設(shè)成立.這個探索結(jié)論的過程可概括為假設(shè)推證定論.例2 已知tan(-)=，tan=，且,(0,)，求2-的值.解：2-=2(-)+,tan(-)=，tan2(-)=.從而tan(2-)=tan2(-)+=.又tan=tan(-)+=1.且0，0.02.又tan=0，且(0,)，-.-2-0.2-=. 點評：本題通過變形轉(zhuǎn)化為已知三角函數(shù)值求角的問題，關(guān)鍵在于對角的范圍的討論，注意合理利用不等式的性質(zhì)，必要時，根據(jù)三角函數(shù)值，縮小角的范圍，從而求出準(zhǔn)確角.另外，求角一般都通過三角函數(shù)值來實現(xiàn)，但求該角的哪一種函數(shù)值，往往有一定的規(guī)律，若(0,)，則求cos;若(,)，則求sin等.變式訓(xùn)練 若,為銳角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求證：+2