高等數(shù)學(xué)課件D11_3冪級數(shù).ppt

1、2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,第三節(jié),一、函數(shù)項級數(shù)的概念,二、冪級數(shù)及其收斂性,三、冪級數(shù)的運算,冪級數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第十一章,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,一、 函數(shù)項級數(shù)的概念,設(shè),為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項級數(shù) .,對,若常數(shù)項級數(shù),斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域 ;,若常數(shù)項級數(shù),為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù), 稱,收斂,發(fā)散 ,所有,為其收,為其發(fā)散點,發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,為級數(shù)的和函數(shù) , 并寫成,若用,令余項,則在收斂域上有,表示函數(shù)項級數(shù)前 n 項的和, 即,在

2、收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù),稱它,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,例如, 等比級數(shù),它的收斂域是,它的發(fā)散域是,或?qū)懽?又如, 級數(shù),級數(shù)發(fā)散 ;,所以級數(shù)的收斂域僅為,有和函數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,二、冪級數(shù)及其收斂性,形如,的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列,下面著重討論,例如, 冪級數(shù),為冪級數(shù)的系數(shù) .,即是此種情形.,的情形, 即,稱,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,收斂,發(fā)散,定理 1. ( Abel定理 ),若冪級數(shù),則對滿足不等式,的一切 x

3、 冪級數(shù)都絕對收斂.,反之, 若當(dāng),的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 .,時該冪級數(shù)發(fā)散 ,則對滿足不等式,證: 設(shè),收斂,則必有,于是存在,常數(shù) M 0, 使,阿貝爾 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,當(dāng) 時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂 .,也收斂,反之, 若當(dāng),時該冪級數(shù)發(fā)散 ,下面用反證法證之.,假設(shè)有一點,滿足不等式,所以若當(dāng),滿足,且使級數(shù)收斂 ,面的證明可知,級數(shù)在點,故假設(shè)不真.,的 x , 原冪級數(shù)也發(fā)散 .,時冪級數(shù)發(fā)散 ,則對一切,則由前,也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,冪級數(shù)在 (

4、, +) 收斂 ;,由Abel 定理可以看出,中心的區(qū)間.,用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為,則,R = 0 時,冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;,R = 時,冪級數(shù)在 (R , R ) 收斂 ;,(R , R ) 加上收斂的端點稱為收斂域.,R 稱為收斂半徑 ，,在R , R ,可能收斂也可能發(fā)散 .,外發(fā)散;,在,(R , R ) 稱為收斂區(qū)間.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,定理2. 若,的系數(shù)滿足,證:,1) 若 0,則根據(jù)比值審斂法可知:,當(dāng),原級數(shù)收斂;,當(dāng),原級數(shù)發(fā)散.,即,時,1) 當(dāng) 0 時,2) 當(dāng) 0 時,3)

5、 當(dāng) 時,即,時,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,2) 若,則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂 ,3) 若,則對除 x = 0 以外的一切 x 原級發(fā)散 ,對任意 x 原級數(shù),因此,因此,的收斂半徑為,說明:據(jù)此定理,因此級數(shù)的收斂半徑,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,對端點 x =1,的收斂半徑及收斂域.,解:,對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù),收斂;,級數(shù)為,發(fā)散 .,故收斂域為,例1.求冪級數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域 :,解: (1)

6、,所以收斂域為,(2),所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .,規(guī)定: 0 ! = 1,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,例3.,的收斂半徑 .,解: 級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.,時級數(shù)收斂,時級數(shù)發(fā)散,故收斂半徑為,故直接由,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,例4.,的收斂域.,解: 令,級數(shù)變?yōu)?當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為,此級數(shù)發(fā)散;,當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為,此級數(shù)條件收斂;,因此級數(shù)的收斂域為,故原級數(shù)的收斂域為,即,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高

7、等數(shù)學(xué)課件,三、冪級數(shù)的運算,定理3. 設(shè)冪級數(shù),及,的收斂半徑分別為,令,則有 :,其中,以上結(jié)論可用部分和的極限證明 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,說明:,兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比,原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多.,例如, 設(shè),它們的收斂半徑均為,但是,其收斂半徑只是,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,定理4 若冪級數(shù),的收斂半徑,(證明見第六節(jié)),則其和函,在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與,逐項求積分,運算前后收斂半徑相同:,注: 逐項積分時, 運算前后端點處的斂散性不變.,機(jī)動 目

8、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,解: 由例2可知級數(shù)的收斂半徑 R+.,例5.,則,故有,故得,的和函數(shù) .,因此得,設(shè),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,例6.,的和函數(shù),解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 ,x1 時級數(shù)發(fā),散,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,例7. 求級數(shù),的和函數(shù),解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 ,及,收斂 ,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:,而,及,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/1

9、0,高等數(shù)學(xué)課件,例8.,解: 設(shè),則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,而,故,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,內(nèi)容小結(jié),1. 求冪級數(shù)收斂域的方法,1) 對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù),先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性 .,2) 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式),求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2. 冪級數(shù)的性質(zhì),兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與,也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求 .,乘法運算.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);,3) 冪級數(shù)在

10、收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.,思考與練習(xí),1. 已知,處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂,半徑是多少 ?,答:,根據(jù)Abel 定理可知, 級數(shù)在,收斂 ,時發(fā)散 .,故收斂半徑為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,2. 在冪級數(shù),中,n 為奇數(shù),n 為偶數(shù),能否確定它的收斂半徑不存在 ?,答: 不能.,因為,當(dāng),時級數(shù)收斂 ,時級數(shù)發(fā)散 ,說明: 可以證明,比值判別法成立,根值判別法成立,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,P215 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3) P257 7 (1), (4) 8 (1), (3),作業(yè),第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/10,高等數(shù)學(xué)課件,阿貝爾(1802 1829),挪威數(shù)學(xué)家, 近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.,他在22歲時就解決了用根式解5 次方程,的不可能性問題 ,他還研究了更廣的一,并稱之為阿貝爾群.,在級數(shù)研究中, 他得,到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級數(shù)求和定