高等數(shù)學-函數(shù)與極限

1、1,主 要 內(nèi) 容,第一章 函數(shù)與極限,1、 函數(shù) 2、初等函數(shù) 3、數(shù)列的極限 4、函數(shù)的極限 5、無窮大與無窮小 6、極限運算法則 7、極限存在準則、兩個重要極限 8、無窮小的比較 9、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 10、連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 11、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),2,第一章 函數(shù)與極限,1、理解一元函數(shù)、反函數(shù)、復合函數(shù)的定義； 2、了解函數(shù)的表示和函數(shù)的簡單性態(tài)有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性； 3、熟悉基本初等函數(shù)與初等函數(shù)（包含其定義區(qū)間、簡單性態(tài)和圖形）； 4、理解數(shù)列極限的概念（對 定義不作過高要求）； 5、 熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)有界性、唯一性； 6、了解數(shù)列極限的存在

2、準則單調(diào)有界準則、夾逼準則； 7、理解函數(shù)的極限的定義（包括當 和 時，函數(shù)極限的定義及左、右極限的定義）; 8、了解函數(shù)極限的性質(zhì)唯一性、保號性、局部有界性； 9、熟練掌握極限的四則運算法則（包括數(shù)列極限與函數(shù)極限）,基 本 要 求,3,10、掌握兩個重要極限： 11、熟悉無窮小量的概念及其運算性質(zhì)、無窮小量的比較； 12、了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系； 13、函數(shù)極限與無窮小量的關(guān)系； 14、理解函數(shù)的連續(xù)性的概念、了解函數(shù)的間斷點的分類； 15、熟悉連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商及復合函數(shù)的連續(xù)性； 16、了解初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。,基 本 要 求（續(xù)）,4,

3、一、基本概念,1.集合:,具有某種特定性質(zhì)的事物的全體.,組成集合的事物稱為該集合的元素.,有限集,個體,總體,第一節(jié) 函數(shù),5,數(shù)集分類:,N-自然數(shù)集,Z-整數(shù)集,Q-有理數(shù)集,R-實數(shù)集,數(shù)集間的關(guān)系:,例如,不含任何元素的集合稱為空集.,例如,規(guī)定,空集為任何集合的子集.,6,2.區(qū)間:,是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.,稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,符號 表示“對每(任）一個”。,7,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間,無限區(qū)間,區(qū)間長度的定義:,兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.,8,3.鄰域:,9,4.常量與變量:,在某過程中始終保持一個數(shù)值的量

4、稱為常量,注意,常量與變量是相對“過程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,而不斷改變數(shù)值的量稱為變量.,常量與變量的表示方法：,用字母x, y, t等表示變量.,10,5.絕對值:,運算性質(zhì):,絕對值不等式:,11,二、函數(shù)概念,例 圓內(nèi)接正多邊形的周長,12,郵件的費用依賴與郵件的重量，郵局公布的費用表可根據(jù) 郵件的重量W確定郵件的費用C。,自動紀錄儀畫出了一天中氣溫隨時間變化的曲線圖，由圖形 可以找出在一天中的某個時刻t的溫度值T。,真空中初速為零的自由落體，下落路程S與時間t的關(guān)系為： ，設(shè)這一運動花費T秒鐘，則t0,T。,13,因變量,自變量,數(shù)集X叫做這個函數(shù)的定義域,1

5、4,自變量,因變量,對應(yīng)法則f,函數(shù)的兩要素:,定義域與對應(yīng)法則.,約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.,15,定義:,如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫多值函數(shù),16,例1 求 y =arcsin 的定義域和值域。,解：,函數(shù)的定義域為:,得定義域為 x 0 且,解：,17,例3 設(shè) f(x) 的定義域0，1，求 (1) f (x+a)+f(x-a) (a0) 的定義域； (2) f (lnx)的定義域。,解: (1),則: 若 a 1/2 ，定義域為空集;,若 a 1/2 ，定義域為 a, 1-a;,(2) 0ln

6、 x1 , 1xe為定義域。,x應(yīng)取在ax1-a, 而a 1-a,18,例4 判斷下列幾對函數(shù)是否相等.,(1)f(x)=2lnx, (x)=lnx2 ;,(2)f(x)=x, (x)=|x|;,(3)f(x)=sin2x+cos2x, (x)=1.,解：f(x)的定義域為,，(x)的定義域為,所以它們不相等。,解： f(x)與(x)的對應(yīng)規(guī)律不同 ，所以是不同的函數(shù)。,解：f(x)與(x)的對應(yīng)規(guī)律相同 ，定義域也相同， 所以 f(x)=(x)。,19,(1) 符號函數(shù),幾個特殊的函數(shù)舉例,20,(2) 取整函數(shù) y=x x表示不超過 的最大整數(shù),階梯曲線,21,(3) 狄利克雷函數(shù),22,

7、(4) 取最值函數(shù),23,24,例1,脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間 函數(shù)關(guān)系式.,解,單三角脈沖信號的電壓,25,26,例2,解,故,27,o,1函數(shù)的有界性:,例 y=sin2x, y=cosx在（-,+)上均為有界函數(shù), y=x, y=x2在(-,+)上無界.,三、函數(shù)的特性,28,2函數(shù)的單調(diào)性:,例：y=x, y=ex 在（-,+)內(nèi)單調(diào)增加。,29,3函數(shù)的奇偶性:,偶函數(shù),30,奇函數(shù),31,例1 判斷函數(shù) 的奇偶性.,解：, f(x)是奇函數(shù).,例2 設(shè)f(x)在R上定義，證明f(x)可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。,證明：設(shè),顯然 g(x)

8、是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù),而,故命題得證.,32,4函數(shù)的周期性:,（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,在(無窮)多個正周期中若存在一個最小數(shù)，此最小數(shù)稱為最小正周期。,33,一個周期函數(shù)有無窮多個周期， 如y=sin x，2,4均為周期。,一般函數(shù)的周期均指最小正周期，但并非所有周期函數(shù) 都存在最小正周期. 如: f(x) = c,例 設(shè) c0 , x(-, +), f(x+c)=-f(x), 證明f(x)為周期函數(shù)。,證明: f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x) f(x)為周期為2c的函數(shù).,事實上, 對任何y(-, +)都有f(x+y)=f(x).,注意,34,四、反函數(shù),習慣上, 反函數(shù) x= (y)寫成 y = (x) = f 1(x).,定義1 設(shè)有函數(shù)y=f(x)(xX)，其值域Y=f(X).若對于Y中每一個y值, 都可由方程f(x)=y確定唯一的x值: x=(y), 稱為y=f(x)的反函數(shù),記作x=f-1(y), 讀“f逆” 。,35,直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱.,36,例1,例2 證明若函數(shù) y = f (x)是奇函數(shù)且存在反函數(shù) x = f 1(y), 則反函數(shù)也是奇函數(shù)。,證明：,的反函數(shù)是,反函數(shù)是奇函數(shù)。,例3,解: 當x0時,y1,當x0時,y1,x=y-1,37,定理： 設(shè)有函數(shù)y