自動控制原理課件 第8章 線性離散系統(tǒng).ppt

1、2020年8月11日,第8章 線性離散系統(tǒng),2020年8月11日,8.1 離散系統(tǒng)的基本概念 8.2 信號的采樣與保持 8.3 Z變換 8.4 離散系統(tǒng)的數學模型 8.5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 8.6 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 8.7 離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析 8.8 離散控制系統(tǒng)的數字校正,2020年8月11日,控制系統(tǒng)中有一個或若干個部件的輸出信號是一串脈沖形式或是數碼，由于信號在時間上是離散的，這類系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。隨著計算機普通運用于自動控制領域以來，離散控制系統(tǒng)在生產、科研等各個領域中得到了廣泛的應用。 對于連續(xù)時間系統(tǒng)，采用微分方程和拉普拉斯變換進行分析和設計；對于離散時間系統(tǒng)，則采用

2、差分方程和z變換進行分析和設計。通過Z變換這個數學工具，可以把傳遞函數，頻率特性，根軌跡法等概念應用于離散控制系統(tǒng)。 本章將重點介紹Z變換理論，脈沖傳遞函數，離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性等內容。,2020年8月11日,兩類離散系統(tǒng)： （1）采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng) 離散信號是脈沖序列（時間上離散） （2）數字控制系統(tǒng)或計算機控制系統(tǒng) 離散信號是數字序列（時間上離散、幅值上量化）,2020年8月11日,8.1 離散系統(tǒng)的基本概念,2020年8月11日,8.1.1 離散控制系統(tǒng)的組成,數字計算機在進行信息處理時必須接受數字信號，所以必須進行信號的轉換。將連續(xù)時間信號轉換為離散數字信號的過程稱為模-數轉換

3、（A/D），反之，則稱為數-模轉換（D/A）。它們是數字控制的必要過程。,2020年8月11日,數字控制系統(tǒng)的特點：控制器的控制規(guī)律由計算機實現，使得控制規(guī)律比較靈活、控制精度高，而且可以借助計算機實現許多附加功能，例如系統(tǒng)運行狀態(tài)檢測、報警、保護等。性價比超過模擬控制器。 在航空航天、軍事、工業(yè)、公用事業(yè)系統(tǒng)中的各類控制系統(tǒng)已經廣泛地運用計算機控制。,2020年8月11日,A/D轉換器：采樣、量化、編碼 把連續(xù)的模擬信號轉換為時間上離散的、幅值上整量化的數字信號（二進制的整數），實際上具有對信號在時間點上采樣，對信號幅值進行編碼。（采樣編碼器） 一般要求A/D轉換器具有足夠的字長（8 bit

4、、10 bit、12 bit、14bit），要求量化單位 q 足夠小。這樣可以近似認為幅值的斷續(xù)性可以忽略不記。 同時，若采樣編碼的時間可以忽略，這時數字信號可以看成脈沖信號， A/D轉換器可以認為采樣周期為 TS 的理想采樣開關。,數字控制系統(tǒng)中的兩個關鍵部件：,2020年8月11日,D/A轉換器：把離散的數字信號轉換為連續(xù)模擬信號。 D/A轉換器有兩個工作過程： （1）解碼，把離散的二進制數字信號轉換為離散的模擬信號； （2）模擬信號復現，通過“保持器”將離散模擬信號復現為連續(xù)的模擬信號，該信號才能真正驅動模擬放大器等。,2020年8月11日,離散控制系統(tǒng)的優(yōu)點 1.采樣信號特別是數字信號

5、的傳遞可以有效抑制噪聲，提高抗干擾能力； 2.允許采用高靈敏度的控制元件，提高控制精度； 3.軟件實現的控制規(guī)律易于改變，控制靈活，效果好； 4.可以分時控制若干系統(tǒng)，提高設備利用率，經濟性好； 5.引入采樣方式，使大延遲系統(tǒng)穩(wěn)定。,2020年8月11日,8.1.2離散系統(tǒng)的研究方法 在離散控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)至少有一處的信號是一個脈沖序列，其作用的過程從時間上看是不連續(xù)的，控制的過程是斷斷續(xù)續(xù)的，研究連續(xù)線性系統(tǒng)所用的方法，例如拉普拉斯變換，傳遞函數和頻率特性等不再適用。研究離散控制系統(tǒng)的數學基礎是Z變換，通過Z變換這個數學工具，可以把以前學習過的傳遞函數，頻率特性，根軌跡法等概念應用于離散控制

6、系統(tǒng)。Z變換是分析單輸入單輸出線性定常離散控制系統(tǒng)的有力數學工具。Z變換法和線性離散控制系統(tǒng)的關系如同拉普拉斯變換和線性連續(xù)系統(tǒng)的關系一樣。 1. 用Z變換法建立離散系統(tǒng)的數學模型后進行分析、綜合。 2. 用離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法（一階差分方程組）對系統(tǒng)進行分析、設計。,2020年8月11日,8.2 信號的采樣與保持,2020年8月11日,8.2.1采樣過程 1.,采樣器的作用時間趨于0而得到的理想采樣信號,實際采樣信號,設采樣持續(xù)時間非常小，遠小于采樣時間間隔,也遠小于控制系統(tǒng)中最大的時間常數。,2020年8月11日,2 理想脈沖序列,單位理想脈沖序列,理想采樣過程的數學描述（重要）：,2

7、020年8月11日,脈沖產生的時刻,nTs時刻脈沖強度,把窄脈沖信號當作理想脈沖信號處理是近似的，要求設采樣持續(xù)時間非常小，遠小于采樣時間間隔,也遠小于控制系統(tǒng)中最大的時間常數。一般都能滿足。,2020年8月11日,8.2.2采樣定理：,連續(xù)信號x(t)經過采樣而變成離散信號x*(t)，這種離散化處理不會丟失原來連續(xù)信號x(t)所含有的信息？或者說，我們能否有離散信號x*(t)無失真地恢復原來連續(xù)信號x(t)？如果能，離散化處理需要滿足什么條件？香農（shannon）采樣定理解決了這一問題。,2020年8月11日,由以上分析可得出以下結論： 按間隔進行采樣后，信號的傅立葉變換是周期函數，是原函

8、數傅立葉變換的TS分之一按周期所進行的周期延拓?！暗乳g隔離散化”的函數的傅立葉變換是“周期” 頻譜。,1 采樣信號的頻譜,可得采樣信號的傅氏變換為,2020年8月11日,2020年8月11日,2、香農采樣定理：,2020年8月11日,如果采樣器的 輸入信號 具有有限帶寬，具有最高頻率為 的分量，只要采樣周期滿足以下條件：,信號 可以從采樣信號 中恢復過來。,2020年8月11日,工程上采用的將采樣信號恢復為連續(xù)時間信號的裝置稱為保持器，而最常用、最簡單的保持器是零階保持器。 D/A轉換器,理想低通濾器幅頻特性,從采樣信號中恢復出連續(xù)時間信號稱為信號的復現。在滿足采樣定理的前提下，采樣信號沒有混

9、疊現象。這樣，如用一個具有下圖所示幅頻特性的理想低通濾波器就可以無畸變的把原信號復現出來。,8.2.3信號的復現及零階保持器,2020年8月11日,對應的L變換,當給零階保持器輸入一個理想單位脈沖 ，則脈沖響應（輸出）,零階保持器可以將采樣點幅值保持至下一個采樣瞬時，把采樣信號變?yōu)殡A梯信號 ：,2020年8月11日,零階保持器的頻率特性,零階保持器的特性： （1）低通特性 （2）相角遲后特性 （3）時間遲后特性 （平均 遲后時間 TS/2）,2020年8月11日,8.3 Z變換,2020年8月11日,8.3.1 Z變換的定義(單邊Z變換),連續(xù)信號：f（t） 其理想采樣信號：,z為變換算子，是

10、一個復變量 F（z）定義為采樣信號f*（t）的Z變換。,其拉氏變換：,2020年8月11日,說明：,F（z）實際上是理想采樣信號f*（t）的拉氏變換；從定義上看,F（z）只考慮了采樣時刻的信號值f（nTs）。對于一個連續(xù)函數f（t），由于采樣時刻 的值就是f（nTs），因此F（z）既是采樣信號f*（t）的Z變換，也是連續(xù)信號f（t）的z變換，即,2020年8月11日,z變換是s變換的變形，只適用于離散信號，只表征連續(xù)函數在采樣時刻的特性，與采樣時刻之間的特性無關。,是一個開放形式的級數，希望寫成閉合式。,2020年8月11日,1.級數求和法 已知連續(xù)函數f (t) 的采樣值f（nTs） ,8.

11、3.2 Z變換的求法,寫成閉合式。 一般，函數的Z變換的級數形式都是收斂的，可以寫成閉合形式。,2020年8月11日,例8-1 試求單位階躍信號的Z變換。,解：單位階躍函數1(t)在任何采樣時刻的值均為1。即,可寫成閉合形式,若,是一個等比級數，公比,2020年8月11日,Z變換的無窮級數形式的物理含義： 變量z-n的系數代表了連續(xù)時間函數在各采樣時刻的采樣值。 通過級數求和法求取Z變換的缺點： 需要將無窮級數寫成閉合形式。,2020年8月11日,2.部分分式法 已知連續(xù)函數f（t）的拉氏變換,2020年8月11日,例8-2 求拉氏變換為 的連續(xù)函數的Z變換 。,解：,常用函數的Z變換及相應拉

12、氏變換見表8.1。,2020年8月11日,8.3.3 Z變換的性質,1.線性定理,2.延遲定理（類似積分定理）,3.超前定理 （類似微分定理）,初始條件,2020年8月11日,5.初值定理,6.終值定理,4.復位移定理,2020年8月11日,8.3.4 Z反變換,從原則上講，經過Z反變換 f（nTs）或記為f（nTs） 。,1.長除法,2020年8月11日,例8-12 設 ，試用部分分式法求f（n）,解：,2020年8月11日,8.4 離散系統(tǒng)的數學模型,2020年8月11日,與連續(xù)系統(tǒng)的分析相同，離散系統(tǒng)的數學模型主要有時域模型（差分方程）與復域模型（脈沖傳遞函數）。二者之間可相互轉換，其關

13、系與連續(xù)系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數相同。在離散控制系統(tǒng)中，連續(xù)信號被離散時間信號所取代，描述系統(tǒng)的時域模型就成了差分方程，系統(tǒng)用變量的前后序列差表示。,2020年8月11日,8.4.1 脈沖傳遞函數（重點）,1. 定義,在零初始條件下,脈沖傳遞函數是分析離散控制系統(tǒng)最重要的數學工具，它的作用同分析連續(xù)系統(tǒng)的數學工具傳遞函數相當，是分析與設計系統(tǒng)的前提。,2020年8月11日,2脈沖傳遞函數的物理意義 對于上圖所示系統(tǒng)，系統(tǒng)處于零初始狀態(tài)，輸入信號為r（t）=（t） ，則有r*（t）= （t），R（z）=1。 則該系統(tǒng)的響應與無采樣開關時的響應相同，為連續(xù)系統(tǒng)G（s）的單位脈沖響應，可用g（t）表

14、示 g（t）=L-1G（s） 系統(tǒng)虛設的輸出序列的z變換為 C（z）=Zg*（t）= Zg（t） =ZL-1G（s） 并滿足 C（z）= G（z）R（z）= G（z） 因此，該線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數為 G（z）= ZL-1G（s）,2020年8月11日,以上分析說明，對于圖所示的線性環(huán)節(jié)與采樣開關相串聯所組成的離散系統(tǒng)，其脈沖傳遞函數G（z）是連續(xù)環(huán)節(jié)G（s）脈沖過渡函數g（t）經采樣后得到的離散信號g*（t）的z變換。,G（z）= ZL-1G（s）,2020年8月11日,說明：,（1）G（s）一個線性環(huán)節(jié)的傳遞函數 G（z）是線性環(huán)節(jié)與采樣開關相串聯的離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數 。 （2）用

15、G（z）只能得出輸出信號的采樣序列C（z），為了強調這一點，往往在輸出端畫上一個假想的同步采樣開關。 （3）表征離散系統(tǒng)的固有特性，與 1 系統(tǒng)結構、參數； 2 采樣周期； 3 采樣開關的具體位置有關。,2020年8月11日,3脈沖傳遞函數的基本求法,連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數G(s),事實上：,（2） 已知差分方程，進行Z變換，兩者可轉換,G(z)= ZL-1G(s)但，,（1）按定義,脈沖響應函數g(t),按采樣周期離散化g*(t),變換G(z),G(s),G(z),Z變換表,2020年8月11日,例8-16 求圖示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數。,解：,得,2020年8月11日,例8-17 求圖示系統(tǒng)的脈沖

16、傳遞函數。,解：,查Z變換表，得,c(t),Ts,Ts,r(t),由以上例題可見，原連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數G（s）的階次與加入采樣開關后的離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數G（z）的階次完全相同。,2020年8月11日,8.4.2 開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數,當離散系統(tǒng)中有兩個連續(xù)環(huán)節(jié)串聯時，他們之間有無采樣開關，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數是不同的。,2020年8月11日,1.環(huán)節(jié)串聯時的脈沖傳遞函數,結論：被理想采樣開關隔開的n個線性環(huán)節(jié)串聯時，其脈沖傳遞函數為每個環(huán)節(jié)所對應的脈沖傳遞函數之積,X(z),2020年8月11日,2.連續(xù)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開關,2020年8月11日,例8-18,解： 兩環(huán)節(jié)之間有采樣開關時,兩

17、環(huán)節(jié)串聯,G1(s)前有一采樣開關,比較兩環(huán)節(jié)之間有無采樣開關時脈沖傳遞函數有何區(qū)別 。,2020年8月11日,兩環(huán)節(jié)之間無采樣開關時,因此,環(huán)節(jié)之間有無采樣開關，兩個系統(tǒng)的脈沖傳遞函數往往是不同的，但極點是相同的，只是零點不同。,2020年8月11日,3.帶有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數,上式第二項可以寫為,采樣后帶有零階保持器的系統(tǒng)的脈沖傳遞函數為,2020年8月11日,例8-19 采樣控制系統(tǒng)如圖所示，試求其脈沖傳遞函數。,解：,系統(tǒng)脈沖傳遞函數為：,可見，零階保持器的引入對系統(tǒng)脈沖傳遞函數的階次無影響。,2020年8月11日,4連續(xù)信號直接進入連續(xù)環(huán)節(jié)時的脈沖傳遞函數,連續(xù)環(huán)節(jié)G

18、1（s）的輸入信號為連續(xù)信號r (t)，輸出的連續(xù)信號為e (t)。,e (t)經采樣開關后得到離散信號e *(t)，z變換為,而連續(xù)環(huán)節(jié)G2（s）輸入采樣信號e *(t)，其輸出序列的z變換為,以上分析表明，若對于某離散系統(tǒng)，當連續(xù)信號首先進入連續(xù)環(huán)節(jié)時，該系統(tǒng)無法寫出脈沖傳遞函數的形式，只能求出輸出序列C（z）的表達式。,2020年8月11日,8.4.3離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數 ,由于離散控制系統(tǒng)中，既有連續(xù)信號的傳遞,又有離散信號的傳遞,所以在分析離散控制系統(tǒng)時與連續(xù)系統(tǒng)分析不同，需要增加符合離散傳遞關系的分析。 1采樣信號拉氏變換的重要性質 采樣函數的拉氏變換G*1（s）與連續(xù)函

19、數的拉氏變換G2（s）相乘后再離散化，則G*1（s）可以從離散符號中提出來，即,與此相比較，若連續(xù)信號相乘后再離散化，則有,2020年8月11日,離散系統(tǒng)的典型結構1,2 離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數 ,考慮到離散信號拉氏變換的相關性質，則偏差信號離散化后的s變換為,2020年8月11日,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：,開環(huán)脈沖傳遞函數：,應當注意：離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數不能從對應的連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數的Z變換直接得到。,2020年8月11日,例8-20 已知離散控制系統(tǒng)結構如下圖所示，前向傳遞函數 ，反饋傳遞函數H（s）=1 ，試計算系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數。,解：,2020年8月11日,2020年8

20、月11日,離散控制系統(tǒng)的典型結構2,2020年8月11日,解：,例8-21 已知離散控制系統(tǒng)結構如圖所示，試計算系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數。,e(t),c(t),r (t),Ts,Ts,b(t),零階保持器,2020年8月11日,2020年8月11日,此系統(tǒng)為三階離散系統(tǒng)，零階保持器的引入并不影響系統(tǒng)的階次。離散控制系統(tǒng)中，某些采樣開關的配置可使系統(tǒng)不存在閉環(huán)脈沖傳遞函數，但若已知外輸入信號，可得輸出信號的Z變換表達式。,2020年8月11日,表8.3 典型離散控制系統(tǒng)結構圖及輸出信號C（z）,2020年8月11日,2020年8月11日,2020年8月11日,結論： 1）利用z變換只能求出輸出信號

21、離散序列的z變換，采樣開關的不同位置，導致了閉環(huán)系統(tǒng)輸出C（z）具有不同的形式，若輸出信號為連續(xù)信號，可以在輸出端虛設采樣開關表明只能求取輸出信號在采樣瞬時的值。 2）當輸入信號與第一個連續(xù)環(huán)節(jié)之間（即比較環(huán)節(jié)之后）無采樣開關時，則應利用輸入信號拉氏變換函數R（s）與相連環(huán)節(jié)傳遞函數G1（s）乘積RG1（s）的z變換RG1（z），以求出輸出序列的z變換C（z），但無法定義（z）= C（z）/ R（z）。 3）離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數與連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數作用類似，表征離散系統(tǒng)的固有特性，與系統(tǒng)連續(xù)部分的結構、參數，采樣周期，采樣開關的具體位置有關。,2020年8月11日,4）離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數（

22、z）與相應的連續(xù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數（s）具有相似的形式，可以根據（s）再考慮離散系統(tǒng)采樣開關的位置直接寫出離散系統(tǒng)的（z） ；當環(huán)節(jié)G1（s）與環(huán)節(jié)G2（s）之間無采樣開關隔開時，利用相連環(huán)節(jié)傳遞函數拉氏變換乘積的z 變換G1G2（z）。 需要注意的是，由于研究的是采樣輸入與采樣輸出之間的關系，當輸入信號與輸出信號之間（前向通道）無采樣開關時，由于輸入信號未經采樣就流向輸出端，則無法利用上述規(guī)律直接求系統(tǒng)的輸出序列C（z），必須嚴格按照信號之間的關系求取C（z）。,2020年8月11日,8.4.4應用z變換分析離散系統(tǒng)的局限性與條件 由以上分析可知，對于離散控制系統(tǒng)，若希望將采樣點上的值C（n

23、Ts）平滑地連接以代表相應的連續(xù)信號C（t），則輸出響應曲線C（t）應該是光滑無跳變的，即系統(tǒng)的連續(xù)部分應該能夠光滑輸入的脈沖序列，輸出信號在采樣點不應該發(fā)生跳變。,2020年8月11日,則連續(xù)系統(tǒng)對于一序列理想脈沖信號作用下的輸出在每個采樣點都不會產生跳變，輸出的響應曲線將是平滑的曲線，C（nTs）能夠準確描述實際的輸出信號C（t）。在前面的分析中已經指出，為了使采樣信號不失真地復現原連續(xù)信號，應該滿足兩個條件：采樣頻率滿足香農采樣定理；采樣信號應該通過低通濾波器濾掉采樣引起的高頻分量，其物理意義是采樣開關后接的連續(xù)環(huán)節(jié)應該具有較好的低通濾波特性，則采樣后的信號可以恢復為原信號。,當連續(xù)部分

24、傳遞函數G（s）的極點比零點的個數多于2個（分母的階次n與分子的階次m之差n-m2）時，G（s）在單位脈沖信號（t）作用下的脈沖過渡函數g（t）在0時刻時無跳變，即：,2020年8月11日,當連續(xù)環(huán)節(jié)傳遞函數G（s）的極點與零點數不滿足上述條件時，如果離散系統(tǒng)在采樣開關之后串聯了零階保持器，則采樣開關輸出的每個脈沖信號被零階保持器保持為矩形信號，脈沖序列變?yōu)榱诉B續(xù)的階梯信號，系統(tǒng)的輸出C（t）在每個采樣點也不會產生跳變。 實際上，對于大多數離散系統(tǒng)，其連續(xù)部分的傳遞函數都滿足極點比零點的個數多于2個的條件；同時，對于大多數數字控制系統(tǒng)，D/A轉換器都具有零階保持器的作用。 綜上所述，對于大多數

25、離散系統(tǒng)，其輸出信號C（t）都是平滑無跳變的，通過z變換所求取的輸出脈沖序列C（z）完全可以準確地描述實際的輸出信號C（t）。,2020年8月11日,8.4.5差分方程,圖所示是一個離散控制系統(tǒng)，圖中g（t）是系統(tǒng)連續(xù)部分的脈沖響應函數。系統(tǒng)的輸入信號r (t)經理想開關采樣后變成一個理想脈沖序列r* (t),G（s）,r (t),c (t),Ts,r* (t),Ts,c* (t),在某一采樣瞬時t=nTs，輸出信號的瞬時值為,2020年8月11日,例8-25 求上圖所示系統(tǒng)的差分方程，其中,解：系統(tǒng)連續(xù)部分的脈沖響應函數為,在t=nTs瞬時的輸出為,由以上兩式得,為了強調是序列，可令采樣周期

26、為1s，則上式可寫成,2020年8月11日,上式就是描述圖所示離散控制系統(tǒng)的差分方程，也稱前向差分方程。由于此離散系統(tǒng)在任一采樣時刻的輸出值c（n+1）與系統(tǒng)在前一采樣時刻的輸出值c（n）有關，稱為一階差分方程。從此系統(tǒng)的差分方程可見，系統(tǒng)在任一采樣時刻的輸出值c（n+1）也與系統(tǒng)在當前采樣時刻的輸入瞬時值r（n）有關，即某一采樣瞬時的輸入將立刻改變系統(tǒng)在此采樣時刻的輸出瞬時值，說明了系統(tǒng)的輸出在每個采樣時刻將發(fā)生跳變。 對于n階連續(xù)系統(tǒng)所構成的離散系統(tǒng)，其時域模型是n階差分方程，即當前采樣時刻的輸出與系統(tǒng)在過去n個采樣時刻的輸出有關。,2020年8月11日,2.應用Z變換求解差分方程（類似用

27、s變換求解微分方程）,已知外輸入和初始條件時，可以用迭代解法求出在任一采樣時刻的輸出值，但輸出在采樣時刻的一般表達式卻很難得到。但利用Z變換可以實現。 利用Z變換的超前定理(Ts=1s),2020年8月11日,解：對差分方程兩邊取Z變換,例8-26 用Z變換法解二階差分方程,代入初始條件化簡得,得:,2020年8月11日,3、差分方程與脈沖傳遞函數的相互轉換,解：,差分方程,脈沖傳遞函數,已知,求解,求解,已知,例8-27設初始條件為0，已知差分方程 ，試求脈沖傳遞函數G（z）。,2020年8月11日,解：將上式等號兩邊分子、分母交叉相乘，得,例8-28 已知脈沖傳遞函數，試求差分方程 。,在

28、零初始條件下，應用z變換實位移定理，得,2020年8月11日,在離散系統(tǒng)分析中，最常用的數學模型仍然是脈沖傳遞函數，差分方程由于便于用迭代法求解，主要用于數字計算機求解，但一般不能得到解的閉合形式。,2020年8月11日,8.5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,2020年8月11日,建立起離散系統(tǒng)的數學模型（脈沖傳遞函數）后，就能夠分析離散系統(tǒng)各方面的性能。與連續(xù)系統(tǒng)的性能分析類似，分析離散控制系統(tǒng)主要包括對系統(tǒng)穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能、動態(tài)性能的分析。 由于離散系統(tǒng)的拉氏變換是s的超越函數，不能直接使用連續(xù)系統(tǒng)的相關分析方法，離散系統(tǒng)分析必須在z變換的基礎上進行。,2020年8月11日,8.5.1離散系統(tǒng)穩(wěn)定

29、的充分必要條件,設系統(tǒng)為零初始狀態(tài)，則在單位理想脈沖信號作用下輸出的Z變換為,當C(z)無重根時（如果有重根，結論相同）：,為C(z)的單極點，也是閉環(huán)脈沖傳遞函數的極點,2020年8月11日,結論： 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是C(z)的所有極點位于z平面上的以原點為圓心的單位圓內。,若： ， ，系統(tǒng)穩(wěn)定,有一極點 ， ，系統(tǒng)不穩(wěn)定,有一極點 ，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定,2020年8月11日,可見，s平面與z平面有如下映射關系：, 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件： 離散特征方程的全部特征根均位于z平面上以原點為圓心的單位圓內。,2020年8月11日,例8-29 離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,利用求根公式可直接求出兩個閉

30、環(huán)特征根為 z1=-0.076z2=-4.876 該閉環(huán)系統(tǒng)有一個特征根z2的模|z2|4.8761， 故該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,將Ts=1s代入，有,2020年8月11日,8.5.2離散系統(tǒng)的勞斯判據,1. W變換與勞斯穩(wěn)定判據,由于z與w均為復自變量，有,將z代入w的表達式，并將實部虛部分解有,2020年8月11日,可見，z平面與w平面有如下映射關系： 1 z平面的單位圓映射為w平面的虛軸，即u=0 （實部等于0），為臨界穩(wěn)定區(qū)域； 2 z平面的單位圓外的區(qū)域映射為w平面的右半平面，即u0（實部大于0），為不穩(wěn)定區(qū)域； 3 z平面的單位圓內的區(qū)域映射為w平面的左半平面，即實部u0（實部小于0）

31、，為穩(wěn)定區(qū)域。,2020年8月11日,特征方程, 的根在w平面左半部，則 的根在z平面上以原點為圓心的單位圓內。,2020年8月11日,2. 應用勞斯穩(wěn)定判據判別離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟,離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 的根均在w平面左半部。,2020年8月11日,3.應用,例8-31 設 試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定否。,將 代入,解：,化簡后，,2020年8月11日,第一列元素符號改變兩次，不穩(wěn)定有2個根位于w平面左半部，即位于z平面上以原點為圓心的單位圓外。,2020年8月11日,例8-33 試確定圖示系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。,解：離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數為,2020年8月11日,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,

32、將 代入,2020年8月11日,小結： 判斷離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法還有朱利穩(wěn)定判據(類似連續(xù)系統(tǒng)的赫爾維茨判據)與雷伯爾(Raibel)穩(wěn)定判據，也可在采用雙線性變換后利用頻率法分析，讀者可以參考其他資料。,2020年8月11日,8.6 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析,2020年8月11日,與連續(xù)系統(tǒng)一樣,離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差也是分析、設計系統(tǒng)的重要指標。系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差的前提是該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差時，穩(wěn)態(tài)誤差的大小取決于系統(tǒng)的類型、開環(huán)放大系數和輸入信號，并與采樣周期Ts有關。離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可以從z變換的終值定理求出。,2020年8月11日,由Z變換的終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

33、,8.6.1采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差,與輸入信號和 有關,2020年8月11日,上式只說明系統(tǒng)在采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差，并表明線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入序列R(z)及系統(tǒng)本身的結構和參數有關。此外，由于G（z）與采樣周期有關，因此離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差還與采樣周期的大小有關。 如果要求出其他結構形式離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者要求求出離散系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。只要根據系統(tǒng)結構求出系統(tǒng)給定誤差的z變換函數E(z)或擾動誤差的z變換函數En(z)。在離散系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，應用z變換的終值定理即可求出系統(tǒng)采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差。,2020年8月11日,8.6.2 離散系統(tǒng)系統(tǒng)的型別與典型輸入信號作用下穩(wěn)態(tài)誤差

34、 1. 離散控制系統(tǒng)的無差度,離散系統(tǒng)的型別根據開環(huán)脈沖傳遞函數 G(z) 中 z=1的極點個數來確定。 v=1，2，3， 分別稱為0型、型、型等等。,2020年8月11日,2. 三種典型信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,（1）單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差,令 位置誤差系數,2020年8月11日,（2）單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差,令 速度誤差系數,2020年8月11日,（3）單位拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差,令 加速度誤差系數,2020年8月11日,當離散系統(tǒng)為前圖所示的典型系統(tǒng)時，可以直接由此表根據系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數直接求取在給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。如果是其他結構的離散系統(tǒng)，則先求出E(z)，再根據終值定理求

35、取穩(wěn)態(tài)誤差。,表8.4 典型離散系統(tǒng)在不同信號作用下采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差,2020年8月11日,3. G(s)的極點和G(z)極點的關系,（1）G(s)的極點數量= G(z)的極點數量； （2）G(s)的零值極點數量= G(z)中 “z =1”的極點數量； （3）與連續(xù)系統(tǒng)一樣 G(s)中所含積分環(huán)節(jié)個數=1表征系統(tǒng)的無差度，=0是有差系統(tǒng)，=1是一階無差系統(tǒng)， =2是二階無差系統(tǒng)； （4）采樣瞬時的e()與采樣周期 Ts有關，Ts，e() 。,2020年8月11日,例8-33 求圖示系統(tǒng)的速度誤差系數。,解：系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數為：,系統(tǒng)是一階無差系統(tǒng)，并可判斷該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,系統(tǒng)開環(huán)脈沖

36、傳遞函數為：,2020年8月11日,kp=,由于輸入信號為r（t）=1+t，則根據表8.4可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,由于系統(tǒng)連續(xù)部分有積分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)在階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。,2020年8月11日,8.7 離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,2020年8月11日,應用z變換法分析線性定常離散系統(tǒng)的動態(tài)性能，通常有時域法、根軌跡法和頻域法，其中時域法最簡便。本節(jié)主要介紹在時域中如何求取離散系統(tǒng)的時間響應，以及在z 平面上定性分析離散系統(tǒng)閉環(huán)極點與其動態(tài)性能之間的關系。,2020年8月11日,一、離散系統(tǒng)的時間響應,通過z反變換，可以求出輸出信號的脈沖序列c*（t）, 代表線性定常離散系統(tǒng)在單位階躍輸入作用

37、下的響應過程。由于離散系統(tǒng)時域指標的定義與連續(xù)系統(tǒng)相同，故根據單位階躍響應曲線c*（t）可以方便地分析離散系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。,在已知離散系統(tǒng)結構和參數情況下，應用z變換法研究系統(tǒng)的動態(tài)性能時，通常假定外作用為單位階躍函數。如果可以求出離散系統(tǒng)輸出量的z變換函數為,2020年8月11日,如果無法求出離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數（z） ，但由于R（z）是已知的，且C（z）的表達式總是可以寫出的，因此求取 c*（t） 在技術上是沒有困難的。 應當指出，由于離散系統(tǒng)的時域性能指標只能按采樣周期整數倍的采樣值來計算，所以是近似的。,2020年8月11日,例8.35 設有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖所示，其

38、中, r（t）=1（t），T=1s，K=1。試分析該系統(tǒng)的動態(tài)性能。,解：先求開環(huán)脈沖傳遞函數與閉環(huán)傳遞函數分別為,代入R（z），求出單位階躍響應的z變換為,2020年8月11日,用長除法展開成冪級數,z反變換得到,2020年8月11日,由圖可以求得給定離散系統(tǒng)的各種近似性能指標，由于離散系統(tǒng)的時域性能指標只能按采樣周期整數倍的采樣值來計算，所以是近似的。,2020年8月11日,二、閉環(huán)極點與動態(tài)響應的關系,與連續(xù)系統(tǒng)類似，離散系統(tǒng)的結構參數，決定了閉環(huán)脈沖傳遞函數的極點在z平面上單位圓內的分布，對系統(tǒng)的動態(tài)響應具有重要的影響。 可求出離散系統(tǒng)輸出的z變換(離散系統(tǒng)穩(wěn)定，假定（z）無重極點，r

39、（t）=1（t）,部分分式展開，有,式中系數可由留數定理求取。,2020年8月11日,式中，等號右端第一項的z反變換是穩(wěn)態(tài)分量，若其值為1，則單位反饋離散系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零；第二項的z反變換為 c*（t）的瞬態(tài)分量。pj在單位圓內的位置不同，它所對應的 c*（t）的動態(tài)響應形式也就不同。,2020年8月11日,閉環(huán)實極點分布與相應動態(tài)響應形式的關系，如圖所示。,2020年8月11日,綜上所述，閉環(huán)脈沖傳遞函數極點在單位圓內，對應的瞬態(tài)分量均為收斂的，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當閉環(huán)極點位于單位圓上或單位圓外，對應的瞬態(tài)分量均不收斂，產生持續(xù)等幅脈沖或發(fā)散脈沖，系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了使離散系

40、統(tǒng)具有較滿意的動態(tài)過程，極點應盡量避免在左半圓內，尤其不要靠近負實軸，以免產生較強烈的振蕩。閉環(huán)極點最好分布在z平面的右半單位圓內，尤其理想的是分布在靠近原點的地方。這樣系統(tǒng)反應迅速，過渡過程進行較快。,2020年8月11日,8.8 離散控制系統(tǒng)的數字校正,2020年8月11日,如何設計出一個能滿足給定性能指標要求的控制器，是系統(tǒng)的綜合與設計問題。系統(tǒng)滿足三個常規(guī)的性能指標要求：快速性、準確性、穩(wěn)定性。在離散控制過程中，一個采樣周期稱為一拍。最少拍系統(tǒng)設計方法是離散系統(tǒng)校正和設計中一種比較簡便實用的方法，即是在典型輸入信號的作用下，經過最少采樣周期，系統(tǒng)采樣誤差信號減少到零，實現完全跟蹤。 最

41、少拍系統(tǒng)屬于離散系統(tǒng)獨具的一種特性，因為連續(xù)系統(tǒng)的過渡過程從理論上講只有當t才能真正結束，而離散系統(tǒng)卻有可能在有限的時間內完成，從而實現時間最佳控制系統(tǒng)。,2020年8月11日,根據對離散系統(tǒng)性能指標的要求，確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(z)和誤差脈沖傳遞函數e(z)，便可以確定出控制器的脈沖傳遞函數D(z)。,8.8.1 數字控制器的脈沖傳遞函數 脈沖傳遞函數 D（z）的求法,系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數和誤差傳遞函數分別為：,圖中， D（z）為數字控制器（數字校正裝置）的脈沖傳遞函數，,2020年8月11日,以上設計出的數字控制器只是理論上的結果，而要設計出具有實用價值的D（z）應滿足以下兩點條件： （1

42、）D（z）是穩(wěn)定的，即極點均在z平面單位圓內； （2）D（z）是可實現的，即極點數r要大于或等于零點數l。,2. D（z）的穩(wěn)定性及其實現,2020年8月11日,8.8.2 最少拍系統(tǒng)設計 1. 最少拍系統(tǒng)的概念 (1)無窮大穩(wěn)定度的控制系統(tǒng),所謂系統(tǒng)的穩(wěn)定度是指系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，按照s平面與z平面的映射關系：,2020年8月11日,值越大，極點在左半s平面離虛軸越遠，穩(wěn)定度越高。這時，在z平面上的極點離原點越近。若極點在左半s平面離虛軸無窮遠，則在z平面上極點集中在原點處。即,就稱該系統(tǒng)具有無窮大穩(wěn)定度。 由以上分析可得如下結論：若離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數的極點全部在z平面的原點（即z特征方程的

43、根全部為零），則系統(tǒng)具有無窮大穩(wěn)定度。,2020年8月11日,（2）最少拍系統(tǒng)的時間最優(yōu)概念 在采樣過程中，通常把一個采樣周期稱為一拍。所謂最少拍系統(tǒng)，是指在典型輸入作用下，能夠以有限拍結束響應過程，且在采樣時刻上無穩(wěn)態(tài)誤差的離散系統(tǒng)。 可以證明，具有無窮大穩(wěn)定度的離散系統(tǒng)，是瞬態(tài)過程最快的系統(tǒng)，也就是時間最優(yōu)的最少拍系統(tǒng)。,2020年8月11日,最少拍系統(tǒng)系統(tǒng)的脈沖響應可求得為：,具有有限個脈沖。由此可見，具有無窮大穩(wěn)定度的離散系統(tǒng)，在單位脈沖作用下，其瞬態(tài)過程在有限的時間nT內結束。 這里，n為脈沖傳遞函數的極點個數，若無零、極點對消，n也就是系統(tǒng)的階次?？梢?，具有無窮大穩(wěn)定度的系統(tǒng)階次，

44、直接決定了過渡過程的節(jié)拍。,2020年8月11日,2. 最少拍系統(tǒng)的設計 從上面分析可知，具有無窮大穩(wěn)定度的離散控制系統(tǒng)是瞬態(tài)過程最快的系統(tǒng)，也是時間最優(yōu)系統(tǒng)，又稱最拍系統(tǒng)。 利用改變系統(tǒng)的參數，使系統(tǒng)成為最少拍系統(tǒng)。綜合的任務就是要確定校正裝置脈沖傳遞函數D(z)，保證系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數的極點均在Z平面的原點上。,2020年8月11日,最少拍系統(tǒng)的設計，是針對典型輸入作用進行的。常見的典型輸入，有單位階躍函數、單位速度函數和單位加速度函數，其z變換分別為:,因此，典型輸入可以表示為一般形式,2020年8月11日,最少拍系統(tǒng)的設計原則是：若系統(tǒng)廣義被控對象G（z）無延遲且在z平面單位圓上及單位圓外無零極點，要求選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數（z），使系統(tǒng)在典型輸入作用下，經最少采樣周期后能使輸出序列在各采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零，達到完全跟蹤的目的，從而確定所需要的數字控制器的脈沖傳遞函數D（z）。,2020年8月11日,最少拍系統(tǒng)要求上