三重積分的概念與計(jì)算

1、第三節(jié),一、三重積分的概念,二、三重積分的計(jì)算,三重積分的概念與計(jì)算；,第九章,一、三重積分的概念,類似二重積分解決問題的思想, 采用,引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的,物質(zhì),求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的,可得,“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”,解決方法:,質(zhì)量 M .,密度函數(shù)為,定義. 設(shè),存在,稱為體積元素,若對(duì) 作任意分割:,任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù),在上的三重積分.,在直角坐標(biāo)系下常寫作,下列“乘,積和式” 極限；,性質(zhì)：三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.,例如:當(dāng) 時(shí), 為立體 的體積。,又如：中值定理：,在有界閉域 上連續(xù), V 為 的體積,則存在 使得,二、三重積

2、分的計(jì)算,1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),方法3 . 三次積分法,先假設(shè)連續(xù)函數(shù),并將它看作某物體,通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算,最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算.,的密度函數(shù) ,方法:,方法1. 投影法 (“先一后二” ) ；,方法2. 截面法 (“先二后一”),為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為,該物體的質(zhì)量為,面密度,投影法,方法3. 三次積分法；,設(shè)區(qū)域,利用投影法結(jié)果 ,把二重積分化成二次積分即得:,小結(jié): 三重積分的計(jì)算方法,方法1. “先一后二”,方法2. “先二后一”,方法3. “三次積分”

3、,具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù),三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.,例1.化 為三次積分， 由曲面,及平面 圍成.,解：如圖；,所以,其中 為三個(gè)坐標(biāo),例3. 計(jì)算三重積分,所圍成的閉區(qū)域 .,解:如圖， ：,面及平面,為 面上 軸，,軸和 圍成的等腰直角三角形.,所以,注：此題亦可嘗試用投影法求解三重積分.,例4. 計(jì)算三重積分,，其中,是上半橢球體,解：,則,而,原式,2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分,就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:,坐標(biāo)面分別為,圓柱面,半平面,平面,如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為；,因此,其中,適用范圍:,1) 積分域表面用柱

4、面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單 ;,2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.,例2.計(jì)算 , 其中 由錐面,平面 圍成.,用投影法.,例5. 計(jì)算三重積分,解: 在柱面坐標(biāo)系下,所圍成 .,與平面,其中由拋物面,原式 =,3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分,就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,坐標(biāo)面分別為,如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為；,因此有,其中,適用范圍:,1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;,2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.,例6. 如圖，求立體 的體積，,為 在 軸的交點(diǎn).,上曲面球心在,半徑為,下錐面半頂角為 .,解： 邊界曲面方程為,在球坐標(biāo)系下方程為,可表示為,所以,則,例7. 計(jì)算三重積分,解: 在球面坐標(biāo)系下,所圍立體.,其中,與球面,內(nèi)容小結(jié),積分區(qū)域多由坐標(biāo)面,被積函數(shù)形式簡潔, 或,* 說明:,三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:,對(duì)應(yīng)雅可比行列式為,變量可分離.,圍成 ;,1. 將,用三次積分表示,其中由,所,提示:,思考與練習(xí)；,六個(gè)平面,圍成 ,2. 設(shè),計(jì)算,提示: 利用對(duì)稱性,原式 =,奇函數(shù),3. 設(shè)由錐面,和球面,所圍成 , 計(jì)