計(jì)算方法 偏微分方程數(shù)值解.ppt

1、第五章偏微分方程的數(shù)值方法，5.1偏微分方程簡(jiǎn)介，5.2離散公式，5.3幾種常見偏微分方程的離散計(jì)算，5.4吸附床傳熱傳質(zhì)模型中偏微分方程的求解，本章要求，教學(xué)目的說(shuō)明：偏微分方程的離散格式和求解的一般過(guò)程教學(xué)要求記憶一階和二階偏微分方程的離散格式；擅長(zhǎng)用EXCEL迭代求解偏微分方程；通過(guò)使用兩個(gè)數(shù)組交替更新來(lái)探索編程解決方案；該擴(kuò)展試圖模擬化學(xué)反應(yīng)工程中的物理場(chǎng)。教學(xué)重點(diǎn)是各種偏微分方程的離散和求解。教學(xué)難點(diǎn)是特殊邊界條件的引入和應(yīng)用。5.1偏微分方程導(dǎo)論。如果多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)在微分方程中，或者如果未知函數(shù)與幾個(gè)變量相關(guān)并且它們的導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)在方程中，則偏微分方程是偏微分方程。在化學(xué)工程或化

2、學(xué)動(dòng)力學(xué)模擬方程中，一個(gè)自變量是時(shí)間，另一個(gè)自變量是空間位置。如果只考慮一維空間，那么只有兩個(gè)獨(dú)立變量；如果考慮二維空間，有三個(gè)獨(dú)立變量。許多化學(xué)過(guò)程是通過(guò)求解偏微分方程或數(shù)值模擬來(lái)確定的。5.1偏微分方程導(dǎo)論，偏微分方程分類，線性微分方程線性偏微分方程擬線性偏微分方程非線性微分方程非線性偏微分方程，5.1偏微分方程導(dǎo)論，數(shù)學(xué)分類：橢圓方程橢圓拋物雙曲方程物理實(shí)際問(wèn)題分類：波動(dòng)方程(雙曲型)一維弦振動(dòng)模型：熱傳導(dǎo)方程(拋物型)一維線性熱傳導(dǎo)方程拉普拉斯方程(橢圓型)穩(wěn)態(tài)靜電場(chǎng)或穩(wěn)態(tài)溫度分布場(chǎng))， 5.1微分方程的求解思路，求解微分方程數(shù)值解的一般步驟：步驟1:按照一定的規(guī)則將整個(gè)區(qū)域分成若干小

3、塊； 第二步：離散微分方程；為離散點(diǎn)或切片構(gòu)造遞歸公式或方程；步驟3:離散初始值或邊界條件；根據(jù)遞歸公式，離散化初始值或邊值，補(bǔ)充方程，開始遞歸運(yùn)算步驟4數(shù)值解計(jì)算：求解離散系統(tǒng)問(wèn)題，微分方程的定解問(wèn)題，求解離散系統(tǒng)問(wèn)題，5.2離散化公式，在一定的時(shí)間和空間間隔內(nèi)離散化自變量，然后因變量成為這些離散變量的函數(shù)。一階偏導(dǎo)數(shù)的離散化公式一般用歐拉公式表示。有時(shí)，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，時(shí)差往往用倒向公式表示，5.2離散化公式。對(duì)于二階偏導(dǎo)數(shù)，我們可以通過(guò)泰勒展開處理技術(shù)得到以下離散化計(jì)算公式：5.2離散化公式的推導(dǎo)，根據(jù)英國(guó)的二階泰勒公式展開uk 1；根據(jù)英國(guó)的二階泰勒公式展開uk-1:兩個(gè)公式相加

4、，5.3幾種常見偏微分方程的離散計(jì)算，1。波動(dòng)方程，其中：初始條件是邊界條件。當(dāng)波動(dòng)方程只提供初始條件時(shí)，稱為波動(dòng)方程的初值問(wèn)題，當(dāng)兩者都提供時(shí)，稱為波動(dòng)方程的混合問(wèn)題。5 . 3 . 1波動(dòng)方程解，對(duì)于初值問(wèn)題，已知當(dāng)t=0時(shí)，u和x相關(guān)的函數(shù)形式，以求解不同位置和不同時(shí)間的u值。u在二元函數(shù)中定義，即上半平面的函數(shù)。對(duì)于混合問(wèn)題，除了初始值，還有邊界值。當(dāng)初始值已知且x=0和x=1時(shí)，u依賴于t，求解不同位置x和不同時(shí)間的u值。此時(shí)，u是定義在帶狀區(qū)域上的二元函數(shù)。5.3.1波動(dòng)方程解，方程離散化，整理可：邊界條件初始條件離散化，5.3.1波動(dòng)方程解，例5.1333如果套管長(zhǎng)度或傳熱系數(shù)改

5、變，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間也會(huì)改變。一維流動(dòng)傳熱方程類似于波動(dòng)方程。用差商近似代替偏商，可以得到一維流動(dòng)傳熱方程混合問(wèn)題的差分方程，其解作為流動(dòng)傳熱方程的近似解。2。一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程的混合問(wèn)題，彌散，可以通過(guò)處理上述公式得到：它是一個(gè)顯式格式。只要公式中的每個(gè)系數(shù)都大于零，它通常是穩(wěn)定的，并且可以獲得穩(wěn)定的解。通過(guò)分析上述公式，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)為了提高數(shù)值精度而適當(dāng)?shù)販p小X時(shí)，最有可能小于零的系數(shù)是uin的系數(shù)。為了確保該系數(shù)大于零，此時(shí)t必須相應(yīng)地更小，這將導(dǎo)致計(jì)算量的大幅增加。這是顯式方案的缺點(diǎn)。為了克服這一缺點(diǎn)，本文提出了一種隱式格式：將偏微分方程在點(diǎn)上離散化，對(duì)于時(shí)間的偏微分，利用逆向歐拉公式

6、5.3.2得到原偏微分方程的離散化公式：一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程。從圖5-3可以看出，從初始值和邊界條件逐行向上推是不可能的。必須同時(shí)求解線性方程和添加兩個(gè)邊界條件：同時(shí)正好有m 2個(gè)方程和m 2個(gè)變量，這樣就可以求解n 1行上每個(gè)點(diǎn)的值。這樣，每次求解一個(gè)線性方程組時(shí)，一行點(diǎn)的U值就可以向上計(jì)算。雖然引入了方程組的解，但是可以增加計(jì)算量。然而，由于隱式格式是無(wú)條件穩(wěn)定的，取T的方法與X無(wú)關(guān)，多行節(jié)點(diǎn)的U值可以計(jì)算得更少。與顯式方案相比，最終節(jié)省了計(jì)算量。5.3.2一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程，例5.2考慮縱向熱傳導(dǎo)換熱器內(nèi)管各點(diǎn)溫度分布的微分方程：解：首先，根據(jù)以前的知識(shí)，將方程離散化：將其代入微分方程并簡(jiǎn)

7、化。通過(guò)分析上述公式，我們可以知道，如果我們一次知道每個(gè)點(diǎn)T，(j=0，1，2.10，11)，我們就可以在下一次找到每個(gè)點(diǎn)。現(xiàn)在我們知道了零時(shí)刻管內(nèi)各點(diǎn)的溫度分布和入口任意時(shí)刻的溫度。如果我們想找到下一次的溫度，我們需要根據(jù)上面的離散化公式知道j=11時(shí)的溫度，這個(gè)公式可以用給定的邊界條件離散化。有了上述方程，就可以求解上述微分方程。5.3.2一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程，EXCEL，5.3.3穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)/擴(kuò)散方程，3穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)/擴(kuò)散方程在化學(xué)熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散過(guò)程中，沒(méi)有物質(zhì)流動(dòng)，只有熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散才能傳遞熱量和質(zhì)量。如果系統(tǒng)此時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，也就是說(shuō)，系統(tǒng)中每個(gè)控制單元的屬性(如溫度和濃度)不會(huì)隨時(shí)間而改變

8、，系統(tǒng)中的屬性只與其位置相關(guān)。利用化學(xué)知識(shí)，我們可以得到以下二維和三維熱傳導(dǎo)或擴(kuò)散的穩(wěn)態(tài)偏微分方程：2D: 3D: 2D熱傳導(dǎo)或擴(kuò)散的穩(wěn)態(tài)偏微分方程也稱為調(diào)和方程。通常有三種邊界條件：第一種邊界條件：第二種邊界條件：第三種邊界條件：離散化公式：取，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化：將外節(jié)點(diǎn)(邊界節(jié)點(diǎn))和內(nèi)節(jié)點(diǎn)的求解方法劃分為網(wǎng)格，迭代求解節(jié)點(diǎn)的離散方程(或稀疏方程)，求解5.3.3穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程，求解5.3.3穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程。常用的迭代格式有三種：(1)同步迭代；(2)異步迭代；(3)過(guò)松弛迭代：當(dāng)計(jì)算范圍r是一個(gè)矩陣區(qū)域，在x方向上分為m，在y方向上分為n，最佳松弛因子是：根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，上述所有偏微分方程，

9、緊湊迭代，5.3.3穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)/擴(kuò)散方程的解，例5.3:在熱傳導(dǎo)平衡狀態(tài)下的一定保溫，假設(shè)其形狀為長(zhǎng)方體，在x和y方向上熱傳導(dǎo)，導(dǎo)熱系數(shù)相等，已知的邊界溫度分布如下圖所示：解：取某個(gè)微元進(jìn)行能量平衡計(jì)算，由于它已經(jīng)達(dá)到熱傳導(dǎo)平衡狀態(tài)，可以得到如下結(jié)果：來(lái)熱-出熱=5.3.3要求解穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)/擴(kuò)散方程，參照中的循環(huán)在“工具”菜單上，單擊“選項(xiàng)”，然后單擊“重新計(jì)算”選項(xiàng)卡。選中迭代復(fù)選框。若要設(shè)置Microsoft Excel重新計(jì)算的最大次數(shù)，請(qǐng)?jiān)凇白畲蟮螖?shù)”框中鍵入迭代次數(shù)。迭代次數(shù)越多，Excel計(jì)算工作表的時(shí)間就越長(zhǎng)。要設(shè)置迭代結(jié)果之間的最大可接受誤差，請(qǐng)?jiān)凇白畲笳`差”框中鍵入所需的

10、值。數(shù)值越小，結(jié)果越準(zhǔn)確，計(jì)算工作表的時(shí)間也越長(zhǎng)。5.4吸附床傳熱傳質(zhì)模型中偏微分方程的求解實(shí)例，5.4.1基本設(shè)置和假設(shè)1。吸附器結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)置上圖顯示了套筒吸附器，其有效長(zhǎng)度為l，有效內(nèi)徑為d，環(huán)形間隙寬度為B，吸附器壁厚為B.導(dǎo)熱流體通過(guò)環(huán)形空間將熱量傳入或傳出吸附器，吸附質(zhì)通過(guò)吸附器上端的小管進(jìn)入或離開吸附器。5.4.1基本設(shè)置和假設(shè)，2。吸附床外流體傳熱的一些基本假設(shè)：1)忽略流體在環(huán)形間隙寬度上的溫度梯度；2)忽略熱量損失；3)忽略吸附器壁厚B上的溫度梯度，吸附器壁溫采用集總參數(shù)法計(jì)算。吸附床傳熱傳質(zhì)的一些基本假設(shè)：1)吸附床中的吸附氣體處于氣體停滯狀態(tài)；2)。忽略蒸發(fā)器、冷凝器和

11、吸附床之間的壓差；3)。吸附平衡在吸附床中的每個(gè)計(jì)算的微量元素中實(shí)現(xiàn)。吸附容量可通過(guò)回歸方程計(jì)算；4.利用差分吸附熱，吸附熱隨吸附量和吸附溫度的變化而變化；比熱采用有效比熱，有效比熱也隨溫度而變化，但在微元計(jì)算中可以視為常數(shù)；5.活性炭在床層中的導(dǎo)熱系數(shù)采用等效導(dǎo)熱系數(shù)，這可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到。5.4.2建立流體傳熱模型，取軸向環(huán)形單元，進(jìn)行能量分析如下：1 .流入環(huán)形元件的流體能量是2。流出環(huán)形元件的流體能量是3。將流體在X處的熱傳導(dǎo)熱引入7個(gè)總能量平衡方程，其中：F為流體密度，F(xiàn)為環(huán)空流體速度，Sf為環(huán)空截面積，Cpf為流體比熱。4。流體在x5時(shí)的傳熱。微量元素向吸附床qt 6的傳熱。微量元素的能量變化率是流體的截面積，5.4.3吸附劑在吸附床中的傳熱傳質(zhì)模型的建立，傳熱傳質(zhì)發(fā)生在吸附床中，但傳質(zhì)是以傳熱為基礎(chǔ)的，所以只要建立傳熱方程，就可以根據(jù)平衡吸附容量方程計(jì)算出各個(gè)地方的吸附容量。吸附床的傳熱主要是熱傳導(dǎo)，包括經(jīng)向熱傳導(dǎo)和軸向熱傳導(dǎo)。為了便于建模和分析，選擇圖中所示的吸附床微量元素進(jìn)行平衡計(jì)算：1。軸向熱引入：2。軸向熱量導(dǎo)出3。徑向熱引入4。徑向熱量導(dǎo)出5。微量元素的能量變化率是吸附床的有效比熱。6.總能量平衡方程，5 .4 .4吸附器