高等代數(shù)課件(北大三版)--第七章 線性變換.ppt

1、第七章 線性變換,7.1 線性映射 7.2線性變換的運算 7.3 線性變換和矩陣,7.4 不變子空間 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以對角化矩陣,課外學(xué)習(xí)8：一類特殊矩陣的特征值,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,當(dāng)代數(shù)和幾何結(jié)合成伴侶時，他們就相互吸取對方的新鮮活力，并迅速地趨于完美。 -拉格朗日（Lagrange,1736-1813） 數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。 數(shù)缺形時少知覺，形少數(shù)時難入微。 -華羅庚（19101985）,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.1 線性映射,一、內(nèi)容分布 7.1.1 線性映射的定義、例. 7.1.2 線性變換的象與核. 二、 教學(xué)目的: 1準(zhǔn)確線性變換（線性映射）的定義，判

2、斷給定的法則是否是一個線性變換（線性映射） 2正確理解線性變換的象與核的概念及相互間的聯(lián)系，并能求給定線性變換的象與核 三、 重點難點: 判斷給定的法則是否是一個線性變換（線性映射），求給定線性變換的象與核,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.1.1 線性映射的定義、例,設(shè)F是一個數(shù)域，V和W是F上向量空間.,定義1 設(shè)是V 到W 的一個映射. 如果下列條件被滿足，就稱是V 到W 的一個線性映射： 對于任意 對于任意 容易證明上面的兩個條件等價于下面一個條件： 對于任意 和任意,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,在中取 ，對進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納，可以得到： （1） （2）,例1 對于 的每一向量 定義 是 到 的一個映射，我們證明，是

3、一個線性映射.,例2 令H是 中經(jīng)過原點的一個平面.對于 的每一向量，令 表示向量在平面H上的正射影.根據(jù)射影的性質(zhì)， 是 到 的一個線性映射.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例4 令V 和W是數(shù)域F 上向量空間.對于V 的每一向量令W 的零向量0與它對應(yīng)，容易看出這是V 到W的一個線性映射，叫做零映射.,例5 令V是數(shù)域F上一個向量空間，取定F的一個數(shù)k，對于任意 定義 容易驗證，是V 到自身的一個線性映射，這樣一個線性映射叫做V 的一個位似. 特別，取k = 1，那么對于每一 都有 這時就是V到V的恒等映射，或者叫做V的單位映射，如果取k = 0，那么就是V 到V的零映射.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)

4、系,例6 取定F的一個n元數(shù)列 對于 的每一向量 規(guī)定 容易驗證，是 到F的一個線性映射，這個線性映射也叫做F上一個n元線性函數(shù)或 上一個線性型.,例7 對于Fx 的每一多項式 f（x），令它的導(dǎo)數(shù) 與它對應(yīng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)，這樣定義的映射是Fx到自身的一個線性映射.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例8 令Ca, b是定義在a, b上一切連續(xù)實函數(shù)所成的R上向量空間，對于每一 規(guī)定 仍是a, b上一個連續(xù)實函數(shù)，根據(jù)積分的基本性質(zhì)，是Ca, b到自身的一個線性映射.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.1.2 線性變換的象與核,定義2 設(shè)是向量空間V到W的一個線性映射, (1) 如果 那么 叫做 在之下的象. (2)

5、設(shè) 那么 叫做 在 之下的原象.,定理7.1.1 設(shè)V 和W 是數(shù)域F 上向量空間，而 是一個線性映射，那么V 的任意子空間在之下的象是W 的一個子空間，而W 的任意子空間在之下的原象是V 的一個子空間.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,特別，向量空間V 在之下的象是W 的一個子空間，叫做的象, 記為 即 另外，W 的零子空間 0 在之下的原象是V 的一個子空間，叫做的核， 記為 即,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,定理7.1.2 設(shè)V和W是數(shù)域F向量空間，而是一個線性映射，那么 (i) 是滿射 (ii) 是單射 證明 論斷(i)是顯然的,我們只證論斷(ii) 如果是單射,那么ker()只能是含有唯一的零向量.反過來設(shè)ker

6、() = 0. 如果 那么 從而 所以 即是單射.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,如果線性映射 有逆映射 ，那么是W 到V 的一個線性映射. 建議同學(xué)給出證明.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.2 線性變換的運算,一、內(nèi)容分布 7.2.1 加法和數(shù)乘 7.2.2線性變換的積 7.2. 3線性變換的多項式 二、 教學(xué)目的: 掌握線性映射的加法、數(shù)乘和積定義，會做運算. 掌握線性變換的多項式, 能夠求出給定線性變換的多項式. 三、 重點難點: 會做運算.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.2.1 加法和數(shù)乘,令V是數(shù)域F上一個向量空間，V到自身的一個線性映射叫做V 的一個線性變換. 我們用L（V）表示向量空間和一切線性變換所成的集合，設(shè)

7、 定義: 加法: 數(shù)乘: , 那么是V的一個線性變換. 可以證明: 和 都是V 的一個線性變換.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,所以 是V的一個線性變換,令 ，那么對于任意 和任意,所以k是V的一個線性變換.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,線性變換的加法滿足變換律和結(jié)合律,容易證明,對于任意 ,以下等式成立:,(1),(2),令表示V到自身的零映射,稱為V的零變換,它顯然具有以下性質(zhì)：對任意 有：,(3),設(shè) 的負(fù)變換指的是V到V的映射 容易驗證，也是V的線性變換，并且,（4）,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,線性變換的數(shù)乘滿足下列算律：,這里k,l是F中任意數(shù)，,是V的任意線性變換.,定理7.2.1 L（V）對于加法和數(shù)乘來說作成數(shù)域

8、F上一個向量空間.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.2.2線性變換的積,設(shè) 容易證明合成映射 也是V上的線性變換，即 我們也把合成映射 叫做與的積，并且簡記作 。除上面的性質(zhì)外，還有：,對于任意 成立。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,證明 我們驗證一下等式（9）其余等式可以類似地驗證。設(shè) 我們有,因而（9）成立。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.2.3 線性變換的多項式,線性變換的乘法滿足結(jié)合律：對于任意 都有,因此,我們可以合理地定義一個線性變換的n次冪,這里n是正整數(shù)。,我們再定義,這里表示V到V的單位映射，稱為V的單位變換。這樣一來，一個線性變換的任意非負(fù)整數(shù)冪有意義。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,這個線性變換叫做當(dāng) 時f (x)的值，

9、并且記作,（1）因為對于任意 我們也可將 簡記作 ，這時可以寫,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,（2）帶入法：如果 并且,那么根據(jù)L(V )中運算所滿足的性質(zhì),我們有,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.3 線性變換和矩陣,一、內(nèi)容分布 7.3.1 線性變換的矩陣 7.3.2 坐標(biāo)變換 7.3.3 矩陣唯一確定線性變換 7.3.4 線性變換在不同基下的矩陣相似矩陣 二、教學(xué)目的: 1熟練地求出線性變換關(guān)于給定基的矩陣，以及給定n 階矩陣和基，求出關(guān)于這個基矩陣為的線性變換 2由向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)，求出()關(guān)于這個基的坐標(biāo) 3已知線性變換關(guān)于某個基的矩陣，熟練地求出關(guān)于另一個基的矩陣。 三、重點難點: 線性變換和矩陣之間的相

10、互轉(zhuǎn)換, 坐標(biāo)變換, 相似矩陣。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.3.1 線性變換的矩陣,現(xiàn)在設(shè)V是數(shù)域F上一個n維向量空間，令是V的一個線性變換，取定V的一個基 令,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,設(shè),N 階矩陣A 叫做線性變換關(guān)于基 的矩陣. 上面的表達(dá)常常寫出更方便的形式:,(1),惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.3.2 坐標(biāo)變換,設(shè)V是數(shù)域F上一個n 維向量空間, 是它的一個基, 關(guān)于這個基的坐標(biāo)是 而()的坐標(biāo)是 問: 和 之間有什么關(guān)系?,設(shè),惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,因為是線性變換，所以,（2）,將（1）代入（2）得,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,最后，等式表明， 的坐標(biāo)所組成的列是,綜合上面所述, 我們得到坐標(biāo)變換公式：,定理7.3.1 令

11、V是數(shù)域F上一個n 維向量空間，是V的一個線性變換，而關(guān)于V的一個基 的矩陣是,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,如果V中向量關(guān)于這個基的坐標(biāo)是 ，而()的坐標(biāo)是 ，,那么,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例1 在空間 內(nèi)取從原點引出的兩個彼此正交的單位向量 作為 的基.令是將 的每一向量旋轉(zhuǎn)角的一個旋轉(zhuǎn). 是 的一個線性變換.我們有,所以關(guān)于基 的矩陣是,設(shè) ，它關(guān)于基 的坐標(biāo)是 ,而 的坐標(biāo)是 .那么,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.3.3 矩陣唯一確定線性變換,引理7.3.2 設(shè)V是數(shù)域F上一個n 維向量空間， 是V的一個基，那么對于V 中任意n個向量 ，有且僅有 V 的一個線性變換，使得:,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,我們證明，是V的一個線性

12、變換。設(shè),那么,于是,設(shè) 那么,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,這就證明了是V的一個線性變換。線性變換顯然滿足定理所要求的條件：,如果是V的一個線性變換，且,那么對于任意,從而 ,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,定理7.3.3 設(shè)V 是數(shù)域 F 上一個n 維向量空間， 是V 的一個基，對于V 的每一個線性變換，令關(guān)于基 的矩陣A與它對應(yīng)，這樣就得到V 的全體線性變換所成的集合 L（V）到F上全體n 階矩陣所成的集合 的一個雙射，并且如果 ,而 ， 則 (3) (4),證 設(shè)線性變換關(guān)于基 的矩陣是A。那么 是 的一個映射。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,是F上任意一個n階矩陣。令,由引理7.3.2，存在唯一的 使,反過來，設(shè),顯然關(guān)于基

13、的矩陣就是A. 這就證明了如上建立的映射是 的雙射.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,設(shè) 我們有,由于是線性變換, 所以,因此,所以關(guān)于基 的矩陣就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是顯然的。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,推論7.3.4 設(shè)數(shù)域F上n 維向量空間V 的一個線性變換關(guān)于V 的一個取定的基的矩陣是A，那么可逆必要且只要A可逆，并且 關(guān)于這個基的矩陣就是 .,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,我們需要對上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意義加以說明:,1. 取定n 維向量空間V的一個基之后, 在映射: 之下, (作為線性空間),惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,研究一個抽象的線性變換, 就可以轉(zhuǎn)化為研究一個具體的矩陣. 也就是說,

14、線性變換就是矩陣.以后,可以通過矩陣來研究線性變換,也可以通過線性變換來研究矩陣.,2. 我們知道, 數(shù)域F上一個n 維向量空間V 同構(gòu)于 , V上的線性變換,轉(zhuǎn)化為 上一個具體的變換:,也就是說, 線性變換都具有上述形式.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.3.4 線性變換在不同基下的矩陣 相似矩陣,定義：設(shè) A，B 是數(shù)域 F 上兩個 n 階矩陣. 如果存在F上一個 n 階可逆矩陣 T 使等式成立，那么就說B與A相似，記作： .,n階矩陣的相似關(guān)系具有下列性質(zhì)：,1. 自反性：每一個n階矩陣A都與它自己相似，因為 2. 對稱性：如果 ，那么 ；因為由,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,事實上，由 得,設(shè)線性變換關(guān)于基 的

15、矩陣是 A , 關(guān)于基 的矩陣是 B , 由基 到基 的過渡矩陣T, 即:,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.4 不變子空間,一、內(nèi)容分布 7.4.1 定義與基本例子 7.4.2 不變子空間和線性變換的矩陣化簡 7.4.3 進(jìn)一步的例子 二、教學(xué)目的 1掌握不變子空間的定義及驗證一個子空間是否某線性變換的不變子空間方法 2會求給定線性變換的一些不變子空間 三、重點難點 驗證一個子空間是否某線性變換的不變子空間、會求給定線性變換的一些不變子空間。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.4.1 定義與基本例子,令V是數(shù)域F上一個向量空間,是V的一個線性變換.,定義 V的一個子空間W說是在線性變換之下不變, 如果

16、. 如果子空間W在之下不變，那么W就叫做的一個不變子空間.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例1 V本身和零空間0顯然在任意線性變換之下不變. 例2 令是V的一個線性變換，那么的核Ker()的像Im()之下不變. 例3 V的任意子空間在任意位似變換之下不變. 例4 令是 中以某一過原點的直線L為軸，旋轉(zhuǎn)一個角的旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)軸L是的一個一維不變子空間，而過原點與L垂直的平面H是的一個二維不變子空間.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例5 令F x是數(shù)域F上一切一元多項式所成的向量空間， 是求導(dǎo)數(shù)運對于每一自然數(shù)n，令 表示一切次數(shù)不超過n的多項式連同零多項式所成的子空間. 那么 在不變.,設(shè)W是線性變換的一個不變子空間.只考

17、慮在W上的作用，就得到子空間E本身的一個線性變換，稱為在W上的限制，并且記作 這樣，對于任意 然而如果 那么 沒有意義。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.4.2 不變子空間和線性變換的矩陣化簡,設(shè)V是數(shù)域F上一個n維向量空間，是V的一個線性變換。假設(shè)有一個非平凡不變子空間W，那么取W的一個基 再補充成V的一個基 由于W在之下不變，所以 仍在W內(nèi)，因而可以由W的基 線性表示。我們有：,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,因此，關(guān)于這個基的矩陣有形狀,而A中左下方的O表示一個 零矩陣.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,由此可見，如果線性變換有一個非平凡不變子空間，那么適當(dāng)選取V的基，可以使與對應(yīng)的矩陣中有一些元素是零。特別，如果V可以寫成兩個非

18、平凡子空間的 直和： 那么選取 的一個基 和 的一個基 湊成V的一個基 當(dāng) 都在之下不變時，容易看出，關(guān)于這樣選取的基的矩陣是,這里 是一個r階矩陣,它是 關(guān)于基,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,一般地，如果向量空間V可以寫成s個子空間 的直和，并且每一子空間都在線性變換之下不變，那么在每一子空間中取一個基，湊成V的一個基，關(guān)于這個基的矩陣就有形狀,這里 關(guān)于所取的 的基的矩陣.,的矩陣，而 是 nr階矩陣，它是 關(guān)于基 的矩陣。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例6 令 是例4所給出的 的線性變換. 顯然 是一維子空間L與二維子空間H的直和，而L與H在 之下不變. 取L的一個非零向量 ，取 H 的兩個彼此正交的單位長度向量

19、 那么 是 的一個基，而關(guān)于這個基的矩陣是,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.4.3 進(jìn)一步的例子,例7 如果 ，那么,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例8 如果 ，那么對任何,證： ，那么,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例10 是V上一個線性變換，W 是 生成的子空間： . 則.,證：,必要性：W中不變子空間，,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,（2）對任何包含的不變子空間W， 故 ， 即 包含W的一個最小子空間.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,解 算 的坐標(biāo)為（用“( )”表示取坐標(biāo)）,中線性無關(guān),惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,的坐標(biāo)排成的行列式為：,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,注意到 與 是等價向量組，因此,一.內(nèi)容分布 7.5.1 引例 7.5.2 矩陣

20、特征值和特征向量的定義 7.5.3 特征值和特征向量的計算方法 7.5.4 矩陣特征值和特征向量的性質(zhì) 小結(jié) 二.教學(xué)目的 1.理解特征值和特征向量的概念 2.熟練掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法 3.掌握特征值與特征向量的一些常用性質(zhì) 三.重點難點 矩陣的特征值和特征向量的求法及性質(zhì),惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.5.1 引例,在經(jīng)濟管理的許多定量分析模型中，經(jīng)常會遇到矩陣的特征值和特征向量的問題.,它們之間的關(guān)系為,寫成矩陣形式，就是,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,記,，,，,，,即(2)式可寫成,由上例我們發(fā)現(xiàn)，矩陣A乘以向量 恰好等于 的4倍，倍數(shù)4及向量 即是我們本節(jié)要討論的矩陣的特征值和特征向量.,惠州

21、學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.5.2 特征值和特征向量的定義,定義1：設(shè)A是一個n階矩陣，是 F 中的一個數(shù)，如果存在 V 中非零向量 ，使得,那么稱為矩陣A的一個特征值，稱為A屬于特征值的特征向量.,例,又,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,(1) 如果向量 是矩陣 的特征向量， 則k = _,2,B.,C.,D.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.5.3 特征值和特征向量的計算方法,有非零解,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,定義2：,稱為A的特征矩陣。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,解： A的特征多項式為,A的特征值為,對于 解,由于 得基礎(chǔ)解系,A的對應(yīng)于 的全部特征向量為,即,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,對于 解,即,由于,得基礎(chǔ)解系,A的對應(yīng)于 的全部特征向量為,惠州學(xué)

22、院數(shù)學(xué)系,注4：A的特征向量有無窮多個，分為兩大類：,一類為 一類為,問題1：同類的兩個特征向量的線性相關(guān)性如何？ 問題2：不同類的任兩個特征向量的線性相關(guān)性如何？,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,求A的全部特征值和特征向量的方法：,1. 計算特征多項式,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,解 A的特征多項式,得基礎(chǔ)解系:,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,A的屬于特征值1的全部特征向量為,得基礎(chǔ)解為,A的屬于特征值 1 的全部特征向量為,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.5.4 特征向量和特征值的性質(zhì),只須證,注意到,性質(zhì)2 A的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,注意到,（*）,（*）,在（*）和（*）中令 = 0,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院

23、數(shù)學(xué)系,小結(jié),4、求A的全部特征值和特征向量的方法：,5、3個性質(zhì)。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,作業(yè)：P296 1、（i）（iii）,思考題：矩陣A的特征值由特征向量唯一確定嗎？為什么？,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.6 可以對角化矩陣,一、內(nèi)容分布 7.6.1 什么是可對角化 7.6.2 本征向量的線性關(guān)系 7.6.3 可對角化的判定 7.6.4 矩陣對角化的方法及步驟 二、 教學(xué)目的 1掌握可對角化的定義與判斷 2熟練掌握矩陣對角化的方法步驟 三、重點難點 可對角化的判斷與計算。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.6.1 什么是可對角化,設(shè)A是數(shù)域F上一個n階矩陣，如果存在F上一個n階逆矩陣T，使得 具有對角形式（1）,則

24、說矩陣A可以對角化.,我們知道, 可以通過矩陣來研究線性變換, 也可以通過線性變換來研究矩陣，本節(jié)更多的通過線性變換來研究矩陣. 矩陣A可以對角化對應(yīng)到線性變換就是:,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,設(shè)是數(shù)域F上 維向量空間V的一個線性變換，如果存在V的一個基，使得關(guān)于這個基的矩陣具有對角形式(1), 那么說，可以對角化.,很容易證明, 可以對角化的充分必要條件是有 n個線性無關(guān)的本征向量. 這n個線性無關(guān)的本征向量顯然構(gòu)成V的基. 因此， 我們需要進(jìn)一步研究本征向量的線性關(guān)系，需要研究在什么條件下有 n個線性無關(guān)的本征向量.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.6.2 本征向量的線性關(guān)系,定理7.6.1 令是數(shù)域F上向量空

25、間V的一個線性變換.如果 分別是的屬于互不相同的特征根 的特征向量，那么 線性無關(guān).,證 我們對n用數(shù)學(xué)歸納法來證明這個定理 當(dāng)n = 1時，定理成立。因為本征向量不等于零。設(shè)n 1并且假設(shè)對于n1來說定理成立。現(xiàn)在設(shè) 是的兩兩不同的本征值， 是屬于本征值 的本征向量：,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,如果等式,成立，那么以 乘（3）的兩端得,另一方面，對（3）式兩端施行線性變換，注意到等式（2），我們有,（5）式減（4）式得,根據(jù)歸納法假設(shè)， 線性無關(guān)，所以,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,但 兩兩不同，所以 代入（3），因為 所以 這就證明了 線性無關(guān)。,推論7.6.2 設(shè)是數(shù)域F上向量空間V的一個線性變換， 是的互不相

26、同的本征值。又設(shè) 是屬于本征值 的線性無關(guān)的本征向量, 那么向量 線性無關(guān).,證 先注意這樣一個事實：的屬于同一本征值的本征向量的非零線性組合仍是的屬于的一個本征向量。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,由上面所說的事實，如果某一 ，則 是的屬于本征值 的本征向量。因為 互不相同，所以由定理7.6.1，必須所有 即,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.6.3 可對角化的判定,定理7.6.3 令是數(shù)域F上n維向量空間V的一個線性變換，如果的特征多項式 在F內(nèi)有n個單根，那么存在V的一個基，使就關(guān)于這個基的矩陣是對角形式.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,將上面的定理轉(zhuǎn)化成矩陣的語言, 就是:,定理7.6.4 令A(yù)是數(shù)域F上一個n階矩陣，如果A的特征多項式 在F內(nèi)有n個單根，那么存在一個n階可逆矩陣T， 使,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,注意：推論7.6.4的條件只是一個n階矩陣可以對角化的充分條件，但不是必要條件。,下面將給出一個n 階矩陣對角化的充分必要條件。,定義：設(shè)是數(shù)域F上向量空間V的一個線性變換，是的一個特征根，令 則有 因而是V的一個子空間. 這個子空間叫做的屬于特征根的特征子空間.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,現(xiàn)在令V是數(shù)域F上一個n維向量空間，而是V的一個線性