一階變分 變分法復(fù)習(xí)進(jìn)程.ppt

1、dL,1.變分法1.1 泛函與變分定義1.1.1 泛函的概念引例1： 平面兩點(diǎn) A (x0, y0)、B (x1,y1)，求連接A、B兩點(diǎn)的最短弧線。解：設(shè)A、B 兩點(diǎn)間函數(shù)為y=y(x) 則由弧長(zhǎng)微分公式 L 隨函數(shù)y =y(x) 的選取而變，它是一個(gè)泛函。用間接法確定使L最短的函數(shù)曲線即泛函有極值的自變函數(shù)曲線為 y =c1x+c2 ,1階導(dǎo)數(shù)2個(gè)待定常數(shù)其中常數(shù) c1 、c2可由邊界點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（即邊界條件）確定。,引例2：求通過兩點(diǎn)A (x0, y0)、B (x1, y1)且長(zhǎng)度l 為一定值的函數(shù)曲線y=y(x)，使圖中曲邊梯形ABCD的面積AS達(dá)到最大。,（1.2） AS依y的選取

2、而定，它也是一個(gè)泛函，約束條件為AB長(zhǎng)度 （1.3） 這是帶約束條件的泛函極值由間接 變分法，泛函As的極值曲線為 其中常數(shù)c1,c2, r 可由條件 來確定。,引例3：由最小勢(shì)能原理，變形全能隨所選取的三個(gè)位移函數(shù)ui(i=1,2,3)而變，u也是一個(gè)泛函。而ui必須滿足的體積不變條件,L、As、都是依賴于可變化的函數(shù)。稱其為自變函數(shù)，隨自變函數(shù)而變的量稱為泛函。用符號(hào)、J 表示，記作y(x)或(y)等。 變分法就是研究求泛函極大值和極小值的方法。,1.1.2 泛函自變函數(shù)的變分,函數(shù)y=y(x) ,自變量為x ，增量 x, 稱dx為自變量x微分。 泛函y(x),自變函數(shù)為y(x)，當(dāng)y(x

3、) 變化無限小時(shí)，稱為自變函數(shù)的變分，表為y(x) ，y y是指函數(shù)y(x) 和跟它相接近的另一函數(shù)y1(x) 的微差。,零階接近度：對(duì)任何x值， 一階接近度:不僅縱坐標(biāo)值很接近. y1(x) 和y2(x)的差都很小， y = y2(x) y1(x) y = y2(x) y1(x)很小 . y= y(x)y1(x)也很小n階接近度：,dy和y的區(qū)別,dy : 是針對(duì)一條曲線 y =y(x) ，當(dāng)x= dx 時(shí) 函數(shù)值增量的線 性主部是 dy 。 dy一般不等于零。？ y： 是在x不變時(shí)，針對(duì)兩條接近 的函數(shù)曲線 y(x) 和 y1(x) 的微差 y 。 y 是x 的函數(shù)。 y 在邊界點(diǎn)一定為零

4、。,y,1.1.3 泛函的變分,微分一般定義 ：y=y(x+x)-y(x) A(x)x + (x,x)x 拉氏定義：微分也等于y(x+x)對(duì)導(dǎo)數(shù)在=0時(shí)的值。,(1.5),泛函變分定義,一般定義：,是泛函增量的 線性主部,拉格朗日定義,即證明了拉格朗日的泛函變分的定義：,例：簡(jiǎn)單泛函 一階變分。,泛函二階變分及增量為：,1.2變分運(yùn)算與泛函極值條件,1,2 變分號(hào)可由積分號(hào)外進(jìn)入積分號(hào)內(nèi),1.2.1 運(yùn)算規(guī)則,1.2.2 泛函極值的條件 泛函極值條件與函數(shù)極值條件具有相似的定義。如果,泛函取極小值 ,泛函取極大值 (1.17),1.3 變分基本引理與歐拉方程,1.3.1 變分基本引理 設(shè)F(x

5、)在x0,x1上連續(xù)，( x)是一類任意的連續(xù)函數(shù)， 一階或若干階可微；在線段（x0，x1)端點(diǎn)為零； 若下列積分為零,則在 x0,x1 上就有F(x)0.,證明用反證法,1.3.2 歐拉方程,端點(diǎn)固定條件,由基本引理式(1.18),注意到F（x,y,y)是對(duì)x的全導(dǎo)數(shù),代人式(1.20),上述歐拉方程為二階偏微分方程 。解此方程可 求出使泛函(y)達(dá)到極值的y(x) ，稱間接解法. 其它歐拉方程形式為：,1.4泛函的條件極值變分法,表1.1第四行：,構(gòu)成新的泛函,新泛函歐拉方程組,共k+n個(gè)方程，k+n個(gè)未知數(shù)：,邊界條件：2n?個(gè)積分常數(shù),1.5 泛函極值的直接解法,以求解歐拉方程求極值函

6、數(shù)（解析解），叫泛函變分的間接解法 ，用近似方法直接求極端函數(shù)，叫直接解法，包括：有限差分法，里茲法，康托羅維齊法，有限元法，搜索法等，直接解法簡(jiǎn)單，得到近似解。,1.5.2 里茲法 設(shè)y是泛函(y)取極值m的極端函數(shù)，若 （試驗(yàn)函數(shù)）,滿足給定的邊界條件，且使泛函 之值接近于m, 則就是該問題的近似解. 步驟：,為n個(gè)任意的待定常數(shù)，wi 彼此線性無關(guān) ,經(jīng)先微分后積分,( i=1,2, ,n )，解上述方程組來確定ai ,代回原式即可，,1.5.3 康托羅維奇法化偏微分為常微分方程組,依賴多自變量的單自變函數(shù)的泛函,選取 以權(quán)重自變量xn為自變量的Ai(xn)待定函數(shù) ；以其余自變量構(gòu)成選取函數(shù) i(x1,x.xn-1)；要 滿足給定邊界條件。,經(jīng)微積分運(yùn)算化掉 x1,x2.xn-1 ，得到以,為自變函數(shù)新泛函（多自變函數(shù)單變量）,代人原式即得到近似解 。,泛函解法綜合例,例：求泛函 極值函數(shù) 1.間接法：,2.直接法Ritz法 滿足邊界條件函數(shù),離散化成4單元5節(jié)點(diǎn)；i=0,1,2,3,4; 建立插值關(guān)系，寫成矩陣形式； 計(jì)算單元泛函與總泛函； 總泛函求導(dǎo)建立聯(lián)立方程組求