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1、dL,1.變分法1.1 泛函與變分定義1.1.1 泛函的概念引例1: 平面兩點(diǎn) A (x0, y0)、B (x1,y1),求連接A、B兩點(diǎn)的最短弧線。解:設(shè)A、B 兩點(diǎn)間函數(shù)為y=y(x) 則由弧長(zhǎng)微分公式 L 隨函數(shù)y =y(x) 的選取而變,它是一個(gè)泛函。用間接法確定使L最短的函數(shù)曲線即泛函有極值的自變函數(shù)曲線為 y =c1x+c2 ,1階導(dǎo)數(shù)2個(gè)待定常數(shù)其中常數(shù) c1 、c2可由邊界點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(即邊界條件)確定。,引例2:求通過兩點(diǎn)A (x0, y0)、B (x1, y1)且長(zhǎng)度l 為一定值的函數(shù)曲線y=y(x),使圖中曲邊梯形ABCD的面積AS達(dá)到最大。,(1.2) AS依y的選取
2、而定,它也是一個(gè)泛函,約束條件為AB長(zhǎng)度 (1.3) 這是帶約束條件的泛函極值由間接 變分法,泛函As的極值曲線為 其中常數(shù)c1,c2, r 可由條件 來確定。,引例3:由最小勢(shì)能原理,變形全能隨所選取的三個(gè)位移函數(shù)ui(i=1,2,3)而變,u也是一個(gè)泛函。而ui必須滿足的體積不變條件,L、As、都是依賴于可變化的函數(shù)。稱其為自變函數(shù),隨自變函數(shù)而變的量稱為泛函。用符號(hào)、J 表示,記作y(x)或(y)等。 變分法就是研究求泛函極大值和極小值的方法。,1.1.2 泛函自變函數(shù)的變分,函數(shù)y=y(x) ,自變量為x ,增量 x, 稱dx為自變量x微分。 泛函y(x),自變函數(shù)為y(x),當(dāng)y(x
3、) 變化無限小時(shí),稱為自變函數(shù)的變分,表為y(x) ,y y是指函數(shù)y(x) 和跟它相接近的另一函數(shù)y1(x) 的微差。,零階接近度:對(duì)任何x值, 一階接近度:不僅縱坐標(biāo)值很接近. y1(x) 和y2(x)的差都很小, y = y2(x) y1(x) y = y2(x) y1(x)很小 . y= y(x)y1(x)也很小n階接近度:,dy和y的區(qū)別,dy : 是針對(duì)一條曲線 y =y(x) ,當(dāng)x= dx 時(shí) 函數(shù)值增量的線 性主部是 dy 。 dy一般不等于零。? y: 是在x不變時(shí),針對(duì)兩條接近 的函數(shù)曲線 y(x) 和 y1(x) 的微差 y 。 y 是x 的函數(shù)。 y 在邊界點(diǎn)一定為零
4、。,y,1.1.3 泛函的變分,微分一般定義 :y=y(x+x)-y(x) A(x)x + (x,x)x 拉氏定義:微分也等于y(x+x)對(duì)導(dǎo)數(shù)在=0時(shí)的值。,(1.5),泛函變分定義,一般定義:,是泛函增量的 線性主部,拉格朗日定義,即證明了拉格朗日的泛函變分的定義:,例:簡(jiǎn)單泛函 一階變分。,泛函二階變分及增量為:,1.2變分運(yùn)算與泛函極值條件,1,2 變分號(hào)可由積分號(hào)外進(jìn)入積分號(hào)內(nèi),1.2.1 運(yùn)算規(guī)則,1.2.2 泛函極值的條件 泛函極值條件與函數(shù)極值條件具有相似的定義。如果,泛函取極小值 ,泛函取極大值 (1.17),1.3 變分基本引理與歐拉方程,1.3.1 變分基本引理 設(shè)F(x
5、)在x0,x1上連續(xù),( x)是一類任意的連續(xù)函數(shù), 一階或若干階可微;在線段(x0,x1)端點(diǎn)為零; 若下列積分為零,則在 x0,x1 上就有F(x)0.,證明用反證法,1.3.2 歐拉方程,端點(diǎn)固定條件,由基本引理式(1.18),注意到F(x,y,y)是對(duì)x的全導(dǎo)數(shù),代人式(1.20),上述歐拉方程為二階偏微分方程 。解此方程可 求出使泛函(y)達(dá)到極值的y(x) ,稱間接解法. 其它歐拉方程形式為:,1.4泛函的條件極值變分法,表1.1第四行:,構(gòu)成新的泛函,新泛函歐拉方程組,共k+n個(gè)方程,k+n個(gè)未知數(shù):,邊界條件:2n?個(gè)積分常數(shù),1.5 泛函極值的直接解法,以求解歐拉方程求極值函
6、數(shù)(解析解),叫泛函變分的間接解法 ,用近似方法直接求極端函數(shù),叫直接解法,包括:有限差分法,里茲法,康托羅維齊法,有限元法,搜索法等,直接解法簡(jiǎn)單,得到近似解。,1.5.2 里茲法 設(shè)y是泛函(y)取極值m的極端函數(shù),若 (試驗(yàn)函數(shù)),滿足給定的邊界條件,且使泛函 之值接近于m, 則就是該問題的近似解. 步驟:,為n個(gè)任意的待定常數(shù),wi 彼此線性無關(guān) ,經(jīng)先微分后積分,( i=1,2, ,n ),解上述方程組來確定ai ,代回原式即可,,1.5.3 康托羅維奇法化偏微分為常微分方程組,依賴多自變量的單自變函數(shù)的泛函,選取 以權(quán)重自變量xn為自變量的Ai(xn)待定函數(shù) ;以其余自變量構(gòu)成選取函數(shù) i(x1,x.xn-1);要 滿足給定邊界條件。,經(jīng)微積分運(yùn)算化掉 x1,x2.xn-1 ,得到以,為自變函數(shù)新泛函(多自變函數(shù)單變量),代人原式即得到近似解 。,泛函解法綜合例,例:求泛函 極值函數(shù) 1.間接法:,2.直接法Ritz法 滿足邊界條件函數(shù),離散化成4單元5節(jié)點(diǎn);i=0,1,2,3,4; 建立插值關(guān)系,寫成矩陣形式; 計(jì)算單元泛函與總泛函; 總泛函求導(dǎo)建立聯(lián)立方程組求
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