全國(guó)版高考數(shù)學(xué)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.3函數(shù)的奇偶性與周期性課件理.pptx

1、第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性,【知識(shí)梳理】 1.函數(shù)的奇偶性,f(-x)=f(x),y軸,f(-x)=-f(x),原點(diǎn),2.周期性 (1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù) T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有_, 那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周 期.,f(x+T)=f(x),(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中 _的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x) 的最小正周期.,存在一個(gè)最小,【特別提醒】 1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論 (1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|). (2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函

2、數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. (3)在公共定義內(nèi)有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,2.函數(shù)周期性常用結(jié)論 對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x (1)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a(a0). (2)若f(x+a)= 則T=2a(a0). (3)若f(x+a)= 則T=2a(a0).,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(必修1P39A組T6改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的 奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)= 則f(-1)等于( ) A-2 B0 C1 D2 【解析】選A.f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.,2.(必修1P39A組T6改編)已知f(

3、x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)5的解集是.,【解析】方法一:當(dāng)x0時(shí),-x0,f(-x)=(-x)2-4(-x) =x2+4x,又f(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=x2+4x,當(dāng) x-2,+)時(shí),x+20,f(x+2)=(x+2)2-4(x+2)5, 解得:-3x3,所以-2x3; 當(dāng)x(-,-2)時(shí),x+20,f(x+2)=(x+2)2+4(x+2)5, 解得-7x-1,所以-7x-2. 綜上可得-7x3,故f(x+2)5的解集是x|-7x3.,方法二:如圖所示,可知f(x)5的解集為x|-5x5, 所以-5x+25,即-7x3,

4、 故f(x+2)5的解集為x|-7x3. 答案:x|-7x3,感悟考題試一試 3.(2015北京高考)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是() A.y=x2sinx B.y=x2cosx C.y=|lnx| D.y=2-x,【解析】選B.根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(-x) =f(x)且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,A選項(xiàng)為奇函數(shù),B選項(xiàng)為偶函數(shù),C選項(xiàng)定義域?yàn)?0,+),不具有奇偶性,D選項(xiàng)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).,4.(2014全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是() A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C.f

5、(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù),【解析】選C.設(shè)H(x)=f(x)|g(x)|, 則H(-x)=f(-x)|g(-x)|, 因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù), 所以H(-x)=-f(x)|g(x)|=-H(x), 故H(x)是奇函數(shù).,考向一函數(shù)奇偶性的判斷 【典例1】(1)(2015福建高考)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是() A.y= B.y=|sinx| C.y=cosx D.y=ex-e-x,(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性: f(x)= f(x)=3x-3-x； f(x)= f(x)=,【解題導(dǎo)引】(1)奇函數(shù)滿足函數(shù)關(guān)系式f(-x)=-f(x).當(dāng)在原點(diǎn)處有定義

6、時(shí),f(0)=0. (2)先求出定義域,看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在定義域內(nèi),解析式帶絕對(duì)值號(hào)的先化簡(jiǎn),計(jì)算f(-x),再判斷f(-x)與f(x)之間的關(guān)系.,【規(guī)范解答】(1)選D.函數(shù)y= 是非奇非偶函數(shù)；y=|sin x|和y=cos x是偶函數(shù)；y=ex-e-x是奇函數(shù) (2)因?yàn)橛?得x=1， 所以f(x)的定義域?yàn)?1,1 又f(1)+f(-1)=0，f(1)-f(-1)=0，即f(x)=f(-x) 所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);,因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽， 所以f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x)， 所以f(x)為奇函數(shù); 因?yàn)橛?得-2x2且x0. 所以

7、f(x)的定義域?yàn)?2,0)(0,2， 所以f(x)=,所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù); 已知f(x)的定義域?yàn)?-1,1)， 其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 因?yàn)閒(x)= 所以f(-x)= =f(x). 即f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函數(shù).,【易錯(cuò)警示】解答本題(2)會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤:(1)忽視函數(shù)的定義域.(2)對(duì)函數(shù)奇偶性概念把握不準(zhǔn).(3)存在既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)的情形,對(duì)不知如何判斷.,【規(guī)律方法】判斷函數(shù)奇偶性的兩種重要方法 (1)定義法:,(2)圖象法:,易錯(cuò)提醒:對(duì)函數(shù)奇偶性的判斷,不能用特殊值法,如存在x0使f(-x0)=-f(x0),不能判斷函數(shù)f(x

8、)是奇函數(shù).,【變式訓(xùn)練】(2015廣東高考)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是( ) A.y=x+ex B. C.y= D.,【解析】選A.函數(shù)y=x+ex的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì) 稱，因?yàn)閒(1)=1+e,f(-1)= 所以函數(shù)y=x+ex既 不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)； 函數(shù) 的定義域?yàn)閤|x0，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因?yàn)?所以函數(shù) 是奇函 數(shù)；,函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?f(-x)= =f(x), 所以函數(shù)f(x)= 是偶函數(shù)； 函數(shù)y= 的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?所以函數(shù) 是偶函數(shù).,【加固訓(xùn)練】 1.設(shè)Q為有理數(shù)集，函數(shù)f(x)= g(x)= 則函數(shù)h

9、(x)=f(x)g(x)( ) A.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) B.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) C.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D.既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù),【解析】選A.因?yàn)楫?dāng)xQ時(shí)，-xQ， 所以f(-x)=f(x)=1；當(dāng)x 時(shí)， 所以f(-x)=f(x)=-1. 綜上，對(duì)任意xR，都有f(-x)=f(x)， 故函數(shù)f(x)為偶函數(shù). 因?yàn)間(-x)=,所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù). 所以h(-x)=f(-x)g(-x) =f(x)-g(x) =-f(x)g(x)=-h(x)， 所以函數(shù)h(x)=f(x)g(x)是奇函數(shù). 所以h(1)=f(1)g(1)=,h(-1)=f(-1)g(-1)= h(-1)h(1

10、)， 所以函數(shù)h(x)不是偶函數(shù).,2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù),則()A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函數(shù),【解析】選D.f(x+1)是奇函數(shù),則有f(-x+1)=-f(x+1); f(x-1)是奇函數(shù),則有f(-x-1)=-f(x-1); 在式中用x+1代替x,則有f(-(x+1)+1)=-f(x+1)+1),即f(-x)=-f(x+2);,在式中用x-1代替x,則有f(-(x-1)-1)=-f(x-1)-1),即f(-x)=-f(x-2), 則f(x-2)=f(x+2),可知周期為4, 則f

11、(x-1)=f(x+3),f(-x-1)=f(-x+3). 由式:f(-x-1)=-f(x-1),可得f(-x+3)=-f(x+3),所以f(x+3)是奇函數(shù).,3.下列函數(shù) f(x)=x2-|x|+1,x-1,4； f(x)= f(x)= (a0，且a1)；,f(x)= 其中是奇函數(shù)的為_(只填序號(hào)),【解析】由于f(x)=x2-|x|+1，x-1,4的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，因此，f(x)是非奇非偶函數(shù); f(x)的定義域?yàn)?-2,2); 所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閤|xR，且x0，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且有 f(-x)= 即f(-x)=-f(x)，所以f(x

12、)為奇函數(shù);,f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 當(dāng)x0時(shí)，f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x)；當(dāng)x0時(shí)，f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x)；當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=0，也滿足f(-x)=-f(x)故該函數(shù)為奇函數(shù) 答案:,考向二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 【典例2】(1)(2016唐山模擬)設(shè)f(x)是定義在R上 的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x-1,1)時(shí)，f(x)= 則 =_.,(2)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x+4)=f(x)當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)=2x-x2. 則f(2 017)=_,【解題導(dǎo)引】(1)利用周期為2得 再求值

13、即可. (2)先求出函數(shù)的周期，然后利用周期的性質(zhì)代入求解. 【規(guī)范解答】(1) 答案:1,(2)因?yàn)閒(x+4)=f(x)，所以周期T=4. 又f(1)=1， 所以f(2 017)=f(1+4504)=f(1)=1. 答案:1,【母題變式】 1.若本例題(2)的條件“f(x+4)=f(x)”變?yōu)椤癴(x+2) =-f(x)”,求f(0)+f(1)+f(2)+f(2015)的值.,【解析】因?yàn)閒(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x). 所以f(x)的最小正周期為4. f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.,又因?yàn)閒(x

14、)是周期為4的周期函數(shù), 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2015)=0.,2.若本例題(2)的條件不變,求f(x)(x2,4)的解析式. 【解析】當(dāng)x-2,0時(shí),-x0,2, 由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2. 所以f(x)=x2+2x.,又當(dāng)x2,4時(shí),x-4-2,0, 所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期為4的周期函

15、數(shù),所以f(x)=f(x-4) =(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 故x2,4時(shí),f(x)=x2-6x+8.,【規(guī)律方法】函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用 (1)判定:判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x+T)=f(x) (T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T. (2)應(yīng)用:根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì),在解決具體問題時(shí),要注意結(jié)論:若T是函數(shù)的周期,則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期.,【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0 x1 時(shí)，f(x)=2x(1-x)，則 等于( ) 【解析】選A.因?yàn)閒(x)是周期為2的奇函數(shù)， 所以,【加固訓(xùn)練】 1.函數(shù)f(

16、x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x0,2時(shí)， f(x)=x-1，則不等式xf(x)0在-1,3上的解集 為( ) A(1,3) B(-1,1) C(-1,0)(1,3) D(-1,0)(0,1),【解析】選C.f(x)的圖象如圖.,當(dāng)x(-1,0)時(shí),由xf(x)0得x(-1,0);當(dāng)x(0,1)時(shí),由xf(x)0得x(1,3).故x(-1,0)(1,3).,2.(2016鄭州模擬)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)0 x2時(shí),f(x)=x3-x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.6 B.7 C.8 D.9,【解析】選B.因?yàn)楫?dāng)0 x2時(shí),f(x)=x3-

17、x,又f(x)是R 上最小正周期為2的周期函數(shù),且f(0)=0,所以f(6)= f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0,所以f(3)=f(5)=0.故函 數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為7.,3.設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間 -1，1上，f(x)= 其中a，bR. 若 則a+3b的值為_,【解析】因?yàn)閒(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)， 所以f(-1)=f(1)，即-a+1= 又因?yàn)?所以 聯(lián)立，解得a=2，b=-4，所以a+3b=-10. 答案:-10,4.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= 且 f(1)=3，則f(2 017)=_.

18、,【解析】因?yàn)閒(x)= 所以f(x+3)= 所以f(x)是以3為周期的周期函數(shù) 則f(2 017)=f(6723+1)=f(1)=3. 答案:3,考向三函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:單調(diào)性與奇偶性結(jié)合 【典例3】(2014全國(guó)卷)已知 偶函數(shù)f(x)在0,+)上單調(diào)遞減， f(2)=0.若f(x-1)0，則x的取值范圍是_. (本題源自A版必修1P39B組T3),【解題導(dǎo)引】利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(|x|)解題. 【規(guī)范解答】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù), 所以f(-x)=f(x)=f(|x|), 故不等式f(x-1)0可化為f(|x-1|)0. 因?yàn)閒(x)在0,

19、+)上單調(diào)遞減,且f(2)=0, 所以|x-1|2.,即-2x-12,解得-1x3. 所以x的取值范圍是(-1,3). 答案:(-1,3),【一題多解】解答本題,你知道有幾種解法? 解答本題還有以下解法: 因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),且f(2)=0,所以f(-2)=0, 作出f(x)的大致圖象,由圖象可知,當(dāng)-20,所以x的取值范圍是(-1,3).答案:(-1,3),命題方向2：周期性與奇偶性結(jié)合 【典例4】(2016石家莊模擬)已知f(x)是定義在R上 的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)1，f(5)= 則實(shí) 數(shù)a的取值范圍為( ) A.(-1,4) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(-1,2

20、),【解題導(dǎo)引】利用函數(shù)的周期性和奇偶性將問題轉(zhuǎn)化為f(5)=f(1)1,進(jìn)而確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.,【規(guī)范解答】選A.因?yàn)閒(x)是定義在R上的周期為3的 偶函數(shù)，所以f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1)，因?yàn)閒(1) 1，f(5)= 所以 即 解得-1a4.,命題方向3：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù) 【典例5】(2015全國(guó)卷) 若函數(shù)f(x)= 為偶函數(shù)，則a=_. (本題源自A版必修1P83B組T3),【解題導(dǎo)引】f(x)= 為偶函數(shù)，即y= 是奇函數(shù)，利用 =0確定a的值.,【規(guī)范解答】由題意知y= 是奇函數(shù)， 所以 解得a=1. 答案：1,【一題多解】解答本題還有以下解法： 因?yàn)閥=x是奇函數(shù)，要使f(x)為偶函數(shù)，只需g(x)= 為奇函數(shù)，則有g(shù)(0)= =0，