結構力學第五版 李廉錕版 5靜定平面桁架.ppt

1、第五章 靜定平面桁架,桁架是由桿件相互連接組成的格構狀體系，它的結點均為完全鉸結的結點，它受力合理用料省，在建筑工程中得到廣泛的應用。,1、桁架的計算簡圖(truss structure),武漢長江大橋所采用的桁架型式,屋架,計算簡圖,5-1 平面桁架的計算簡圖,空間桁架荷載傳遞途徑：,荷載傳遞: 軌枕- 縱梁- 結點橫梁- 主桁架,5-1 平面桁架的計算簡圖,經(jīng)抽象簡化后，桿軸交于一點，且“只受結點荷 載作用的直桿、鉸結體系”的工程結構桁架,桁架各部分名稱：,5-1 平面桁架的計算簡圖,桁架計算簡圖假定：,(1) 各桿在兩端用絕對光滑而無摩擦的鉸（理想鉸）相互聯(lián)結。,(2) 各桿的軸線都是直

2、線,而且處在同一平面內，并且通過鉸的幾何中心。,(3) 荷載和支座反力都作用在結點上,其作用線都在桁架平面內。,思考: 實際桁架是否完全符合上述假定?,主內力: 按理想桁架算出的內力，各桿只有軸力。,實際桁架不完全符合上述假定, 但次內力的影響是次要的。,5-1 平面桁架的計算簡圖,次內力：實際桁架與理想桁架之間的差異引起的桿件彎曲，由此引起的內力。,2、桁架的分類,一、根據(jù)維數(shù)分類 1）. 平面（二維）桁架（plane truss） 所有組成桁架的桿件以及荷載的作用線都在同一平面內,5-1 平面桁架的計算簡圖,2）. 空間（三維）桁架（space truss） 組成桁架的桿件不都在同一平面內

3、,5-1 平面桁架的計算簡圖,二、按外型分類,1. 平行弦桁架,2. 三角形桁架,3. 拋物線桁架,5-1 平面桁架的計算簡圖,三、按幾何組成分類,2. 聯(lián)合桁架 （combined truss）,3. 復雜桁架（complicated truss）,5-1 平面桁架的計算簡圖,四、按受力特點分類,2. 拱式桁架,豎向荷載下將產(chǎn)生水平反力,1. 梁式桁架,5-1 平面桁架的計算簡圖,二、桁架的內力計算,1. 結點法和截面法,結點法最適用于計算簡單桁架。,取結點為隔離體，建立（匯交力系）平衡方程求解。原則上應使每一結點只有兩根未知內力的桿件。,通常假定未知的軸力為拉力，計算結果得負值表示軸力為壓

4、力。,5-2 結點法,例5-1 試用結點法求三角形桁架各桿軸力。,解: (1) 求支座反力。,(),(),(2) 依次截取結點A，G，E，C，畫出受力圖，由平衡條件求其未知軸力。,5-2 結點法,取A點為隔離體，由,（拉）,所以,5-2 結點法,取G點為隔離體,5-2 結點法,取E點為隔離體，由,5-2 結點法,取C點為隔離體，由,得,，,，,5-2 結點法,可以看出，桁架在對稱軸右邊各桿的內力與左邊是對稱相等的。,結論：對稱結構，荷載也對稱，則內力也是對稱的。,5-2 結點法,以結點作為平衡對象，結點承受匯交力系作用。 按與“組成順序相反”的原則，逐次建立各結點的平衡方程，則桁架各結點未知內

5、力數(shù)目一定不超過獨立平衡方程數(shù)。 由結點平衡方程可求得桁架各桿內力。,小結:,5-2 結點法,1. 對于一些特殊的結點，可以應用平衡條件直 接判斷該結點的某些桿件的內力為零。 零桿,(1) 兩桿交于一點，若結點無荷載，則兩桿的內力都 為零。,5-2 結點法,結點法計算簡化的途徑：,(2) 三桿交于一點，其中兩桿共線，若結點無荷載，則 第三桿是零桿，而在直線上的兩桿內力大小相等，且性質相 同（同為拉力或壓力）。,5-2 結點法,(3) 四桿交于一點，其中兩兩共線，若結點無荷載，則 在同一直線上的兩桿內力大小相等，且性質相同。,推論，若將其中一桿換成外力F，則與F 在同一直 線上的桿的內力大小為F

6、 ，性質與F 相同。,5-2 結點法,(4) 四桿交于一點，其中兩兩共線，若結點無荷載，則 在同一直線上的兩桿內力大小相等，且性質相同。,5-2 結點法,值得注意：若事先把零桿剔出后再進行計算，可使計算大為簡化。,5-2 結點法,零桿: 軸力為零的桿,練習: 試指出零桿,受力分析時可以去掉零桿, 是否說該桿在結構中是可 有可無的?,5-2 結點法,5-2 結點法,練習: 試指出零桿,5-2 結點法,練習: 試指出零桿,下圖示對稱結構在正對稱荷載作用下，若A 點無外荷載，則位于對稱軸上的桿1、2都是零桿。,練習: 試指出零桿,5-2 結點法,為什么?,結點法計算簡化的途徑：,2.對稱結構受對稱荷

7、載作用, 內力和反力均為對稱: 受反對稱荷載作用, 內力和反力均為反對稱。,E 點無荷載,紅色桿不受力,垂直對稱軸的桿不受力,對稱軸處的桿不受力,5-2 結點法,應用范圍 1、求指定桿件的內力； 2、計算聯(lián)合桁架。,截面法定義: 作一截面將桁架分成兩部分，然后任取一部分為隔離體 (隔離體包含一個以上的結點)，根據(jù)平衡條件來計算所截桿件的內力。,聯(lián)合桁架(聯(lián)合桿件),指定桿件(如斜桿),5-3 截面法,截面法計算步驟,2. 作截面(用平截面，也可用曲截面)截斷桁架，取隔離體；,3. (1)選取矩心，列力矩平衡方程(力矩法)(2)列投影方程(投影法)；,4. 解方程。,1. 求反力(同靜定梁)；,

8、注意事項,1、盡量使所截斷的桿件不超過三根(隔離體上未知力不超過三個)， 可一次性求出全部內力；,2、選擇適宜的平衡方程，最好使每個方程中只包含一個未知力， 避免求解聯(lián)立方程。,3、若所作截面截斷了三根以上的桿件，但只要在被截各桿中， 除一桿外，其余均匯交于一點(力矩法)或均平行(投影法)，則該桿 內力仍可首先求得。,分類 力矩法和投影法,5-3 截面法,示例1：試求圖示桁架中桿EF、ED，CD，DG的內力。,截面如何選擇？,5-3 截面法,解: (1) 求出支座反力FA和FB。,(2) 求下弦桿CD內力，利用I-I截面 ，力矩法,FAd-F1d-F20-FNCDh=0,FNCD=(FAd-F

9、1d-F20)/h,與等代梁比較，得出：FNCD=M0E/h （自己總結）,當荷載向下時，M0E為正，F(xiàn)NCD為拉力，即簡支桁架下弦桿受拉。,取EF和ED桿的交點E為矩心， CD桿內力臂為豎桿 高h，由力矩平衡方程ME=0，可求CD桿內力。,5-3 截面法,(3) 求上弦桿EF內力,FA2d-F12d-F2d+FxEFH=0,FxEF=-(FA2d-F12d-F2d)/H,與等代梁比較，得出： FxEF=-M0D/H， 再由比例關系求FNEF。,當荷載向下時，M0D為正，F(xiàn)NEF為壓力，即簡支桁架上弦桿受壓。,取ED和CD桿的交點D為矩心，由力矩平衡方程MD=0，先求EF桿的水平分力FxEF，

10、此時力臂即為桁高H。,5-3 截面法,(4) 斜桿ED,-FAa+F1a+F2(a+d)+FyED (a+2d) =0,FyED=(FAa-F1a-F2(a+d)/ (a+2d),再由比例關系求FNED，其拉或壓需視上式右端分子 為正或為負而定。,取EF和CD桿的延長線交點O為矩心，并將FNED在D點分解為水平和豎向分力FxED和 FyED，由力矩平衡方程MO=0，先求ED桿的豎向分力FyED，此時力臂即為a+2d。,(5) DG桿如何求？,利用II-II截面 ，投影法,5-3 截面法,示例2：試求圖示桁架a 桿的內力。,解 (1) 求支座反力。,(2)直接求出a 桿的位置困難。首先作截面-，

11、求出FNEC ，然后取結點E 就可求出a 桿的軸力。,作截面-，取截面左側部份為隔離體，由,故,5-3 截面法,(3) 取結點E 為隔離體，由,思考：是否還有不同的途徑可以求出FN？,5-3 截面法,截面單桿: 用截面切開后，通過一個方程 可求出內力的桿.,截面上被切斷的未知軸力的 桿件只有三個,三桿均為單桿.,截面上被切斷的未知軸力的 桿件除一個外交于一點,該桿 為單桿.,截面上被切斷的未知軸力的 桿件除一個均平行, 該桿為單 桿.,截面法技巧：,5-3 截面法,a為截面單桿,5-3 截面法,b為截面單桿,5-3 截面法,練習:求圖示桁架指定桿件內力(只需指出所選截面即可),5-3 截面法,

12、5-3 截面法,5-3 截面法,5-3 截面法,在桁架的計算中，結點法和截面法一般結合起來使用。 尤其當（）只求某幾個桿力時； （）聯(lián)合桁架或復雜桁架的計算。,例5-1 試求圖示 K 式桁架中a 桿和b桿的內力。,如何合理選擇截面？,桿件數(shù)大于3,5.4 截面法與結點法的聯(lián)合應用,截取結點K為隔離體， 由K形結點的特性可知(結點法),FNa=-FNc 或 Fya=-Fyc,由截面I-I(截面法)根據(jù)Fy=0有 3F-F/2-F-F+Fya-Fyc=0,即 F/2+2Fya=0 得Fya=-F/4,由比例關系得 FNa=-F/45/3=-F/12,截面法不能直接求解,5.4 截面法與結點法的聯(lián)合

13、應用,由截面I-I(截面法)根據(jù)MC=0即可求得FNb，,FNb=-(3F8-F/28-F4)/6=-8F/3,也可作截面II-II(曲截面)并取左半邊為隔離體，(更簡捷),由MD=0,FNb6+3F8-F/28-F4=0,5.4 截面法與結點法的聯(lián)合應用,例5-2 試求圖示桁架HC 桿的內力。,支座反力如圖。,取截面I-I以左為隔離體，由MF=0可得 FNDE=905/4=112.5kN(拉)(截面法-力矩法),由結點E的平衡得 FNEC=FNED=112.5kN (拉),5.4 截面法與結點法的聯(lián)合應用,再取截面II-II以右為隔離體，由MG=0并將FNHC在C點分解為水平和豎向分力，可得

14、 FxHC=(3015-112.56)/6=-37.5kN(拉),FyHC過鉸G，不產(chǎn)生力矩，先求FxHC(截面法-力矩法),由幾何關系 FNHC=-40.4kN,5.4 截面法與結點法的聯(lián)合應用,對稱結構:幾何形狀和支座對某軸對稱的結構.,對稱荷載:作用在對稱結構對稱軸兩側,大小相等,方向和作 用點對稱的荷載,反對稱荷載:作用在對稱結構對稱軸兩側,大小相等,作用點 對稱,方向反對稱的荷載,對稱性的利用,對稱結構的受力特點:在對稱荷載作用下內力是對稱的, 在反對稱荷載作用下內力是反對稱的.,對稱性的利用,例:試求圖示桁架A支座反力.,C,0,對稱性的利用,例:試求圖示桁架各桿內力.,對稱性的利

15、用,(a),例 3 : 試對圖(a)所示桁架，1)分析并確定求解整個桁架內力的路徑；2)尋找只計算桿a軸力時的簡捷方法，并求出桿a軸力,5.4 截面法與結點法的聯(lián)合應用,(b),解：先求出支座反力，見圖(b),(c),由圖(c)所示截面左側隔離體求出截面截斷的三根桿的軸力后，即可依次按結點法求出所有桿的軸力。,利用截面II截開兩簡單桁架的連接處，取截面任一側為隔離體，見圖(c),5.4 截面法與結點法的聯(lián)合應用,見圖(d) ，由結點H的結點單桿EH上的軸力，再由結點E（當桿EH軸力已知時，桿a既是結點E上的結點單桿）可求出桿a的軸力。,方法1：,5.4 截面法與結點法的聯(lián)合應用,(d),取截面

16、IIII下為隔離體，見圖(e),(e),方法2：,5.4 截面法與結點法的聯(lián)合應用,該隔離體上有5根被截斷的桿件，但有4根是交于一點A的，因此利用以鉸A為矩心的力矩方程，可直接求出桿a的軸力。,將桿a軸力在B點分解，由,5.4 截面法與結點法的聯(lián)合應用,(a),例4,5.4 截面法與結點法的聯(lián)合應用,解：由上部結構的整體平衡條件，求的支座反力如圖(b)所示。,(b),取截面II右，可求該截面上的單桿AK的軸力（當不利用結構的對稱性時，這一步是解題的關鍵）。計算如下：,5.4 截面法與結點法的聯(lián)合應用,一、桁架的外形對內力的影響,桁架的外形對桁架內力的分布有比較大的影響，在設計時應根據(jù)這些影響來

17、選擇合適的桁架外型。,平行弦桁架,三角形桁架,梯形桁架,拋物線形桁架,5.5 各式桁架比較,1. 桁架的外形對弦桿內力的影響,等代梁,平行弦桁架，由截面-截斷桁架，取左側部份為隔離體, 對結點7 取力矩求得,5.5 各式桁架比較,FN68的分子相當于此桁架的等代梁上與結點7對應處截面的彎矩M70，分母h則為FN68對矩心的力臂。上式可寫為:,M 0為等代梁上對應截面的彎矩。下弦桿受拉，取正號；上弦受壓，取負號。,同理，其他弦桿的力可以表示成類似的公式,5.5 各式桁架比較,等代梁,平行弦桁架,h 為常數(shù)，弦桿的內力與M 0成比例變化。弦桿內力分的規(guī)律是：中間弦桿的內力較大而靠近支座處的弦桿內力

18、較小。,結論：,5.5 各式桁架比較,三角形桁架，力臂h 值由兩端向中間按直線規(guī)律遞增，而各結點對應的M 0值按拋物線規(guī)律變化。力臂的增長比彎矩的增大來得快。弦桿內力變化的是：靠近支座處弦桿的內力較大而逐漸向跨中遞減。,梯形桁架，其形狀介于平行弦桁架和三角形桁架之間，其內力相對比較均勻。,拋物線桁架，當計算下弦桿的內力時，M 0和h 均按拋物線變化。下弦桿的內力為一常數(shù)。上弦桿內力的水平分力也相等。整個桁架的上下弦桿的內力分布比較均勻。,5.5 各式桁架比較,2.桁架的外形對腹桿（豎桿或斜桿）內力的影響,豎桿6-5(或斜桿6-7)的內力可由截面-(或-)以左部份平衡條件Y=0 求得。,豎桿的內

19、力和斜桿內力的豎向分力,分別等于代梁對應結間處的剪力FS0 ，即,5.5 各式桁架比較,由 可見：,腹桿的內力可正可負，其數(shù)值與代梁的剪力有關。,靠近支座外腹桿的內力較大，跨中的腹桿內力較小。,桁架的弦桿主要是承擔彎矩而腹桿則主要承擔剪力。,問：拋物線形桁架其腹桿的內力為零嗎？,對于拋物線形桁架由于各結間的下弦桿內力均相等，故可判斷其腹桿的內力均為零。,上述幾種類型的桁架中，拋物線形桁架的內力最為均勻，但構造復雜。在大跨度的結構中采用拋物線型桁架是一種比較合理的選擇。,5.5 各式桁架比較,二、桁架的應用,（1）平行弦桁架有利于標準化，便于制作和施工拼裝；適用于輕型桁架，采用一致截面的弦桿而不

20、至于有很大的浪費。,（2）三角形桁架符合屋頂構造需要，常在屋架中采用，其端結點構造布置較為困難。,（3）拋物線形桁架內力分布均勻，材料使用較為經(jīng)濟，但結點構造復雜，適合于跨度較大的橋梁和屋架。,5.5 各式桁架比較,如何 計算？,比較內力,組合結構定義：,鏈桿只受軸力，受彎桿件同時受有彎矩和剪力。,受力特點：,組合結構是指由鏈桿和受彎桿件混合組成的結構。,5.6 組合結構的計算,分析步驟：,先求反力，然后計算各鏈桿軸力，最后分析受彎桿件。,選擇恰當方法解決關鍵桿內力計算 選擇截面時，必須注意區(qū)分兩類桿,求解的關鍵點:,求解此類結構的方法應與求解梁的方法和求解桁架的方法結合應用。,5.6 組合結

21、構的計算,例5-3 試分析圖示組合結構的內力。,1）首先求出反力,2）一般情況下應先計算鏈桿的軸力,取隔離體時宜盡量避免截斷受彎桿件,-6,12,-6,M圖(kN.m),FN圖(kN),5.6 組合結構的計算,作截面I-I拆開鉸C并截斷拉桿DE，取右邊為隔離體，由MC=0 有,3kN8m-FNDE2=0 得FNDE=12kN(拉力),分別取結點D、E = FNFD 、 FNAD 、FNEG 、 FNEB,3）分析受彎桿件,取AC桿為隔離體，考慮其平衡可得,FCH=12kN()， FCV=3kN(),繪制內力圖,5.6 組合結構的計算,例5-4 組合結構如圖示，試求AC 桿的內力圖。,解: AC

22、桿、CB桿是承受彎曲的桿件。,(1) 求支座反力, ,5.6 組合結構的計算,(2) 作截面-，考慮左半部分平衡。,由 ， ， 得,由,得,由 ， ，得,5.6 組合結構的計算,由 ， ，得,(3) 取鉸E為隔離體,由 ， ， 得,5.6 組合結構的計算,(4) 作AC 桿的內力圖。,考慮截面-右側部分平衡，可以作用類似方法和步驟求得CB 桿的內力圖。,5.6 組合結構的計算,思考：取隔離體時,可否用截面-將結構截斷？,注意：準確判斷哪些桿件是梁式桿，哪些桿件是鏈桿，是計算的關鍵。,5.6 組合結構的計算,例,可不求出反力，直接作出受彎桿M圖，再由此M圖及對稱性、結點法求出所有二力桿軸力。,5

23、.6 組合結構的計算,5.7 靜 定 結 構 總 論,A Summary of Statically Determinate Structure,基本要求：了解靜定結構受力分析的方法及簡化計算 方法；掌握 靜定結構的一般性質；理解 梁、 拱、剛架和桁架的受力特點。 教學內容：靜定結構受力分析方法 靜定結構的一般性質 各種結構型式的受力特點,5.7 靜定結構總論,對靜定結構來說，所能建立的獨立的平衡方程的數(shù)目=所含的未知力的數(shù)目。為了避免解聯(lián)立方程應按一定的順序截取單元，盡量使一個方程中只含一個未知量。,靜定結構的受力分析，主要是利用平衡方程確定支座反力和內力，作出內力圖。,1 靜定結構受力分析

24、的方法,結點：桁架的結點法、剛架計算中已知Q求N時取結點為單元。 桿件：靜定梁的計算、剛架計算中已知M求Q時取桿件為單元。 桿件體系：桁架、剛架計算的截面法取桿件體系為單元。,一、單元的形式及未知力,1 靜定結構受力分析的方法,二、平衡方程的數(shù)目,單元平衡方程的數(shù)目=單元的自由度數(shù)，不一定等于單元上未知力的數(shù)目。,1 靜定結構受力分析的方法,計算簡化的原則：避免解聯(lián)立方程，盡量使一個方程中只含一個未知量。 a)根據(jù)結構的內力分布規(guī)律來簡化計算 在桁架計算中先找出零桿,?？墒购喕嬎? 對稱結構在對稱荷載作用下,內力和反力也是對稱的; 對稱結構在反對稱荷載作用下,內力和反力也是反對稱的。 b)分

25、析幾何組成,合理地選擇截取單元的次序 主從結構,先算附屬部分,后算基本部分; 簡單桁架,按去除二元體的次序截取結點; 聯(lián)合桁架,先用截面法求出連接桿的軸力,再計算其它桿。,三、計算的簡化與截取單元的次序,1 靜定結構受力分析的方法,一、溫度改變、支座移動和制造誤差等因素在靜定結構 中不引起內力,靜定結構是無多余約束的幾何不變體系；其全部內力和反力可由平衡方程唯一確定。,2 靜定結構的一般性質,二、靜定結構的局部平衡特性 在荷載作用下，如果靜定結構中的某一局部可以與荷載平 衡，則其余部分的內力必為零。,局部平衡部分也可以是幾何可變的 只要在特定荷載作用下可以維持平衡,2 靜定結構的一般性質,+,荷載分布不同，但合力相同,當靜定結構的一個幾何不 變部分上的荷載作等效變換時， 其余部分的內力不變。,三、靜定結構的荷載等效特性,僅AB桿受力，其余桿內力為零,除AB桿內力不同，其 余部分的內力相同。,結論：桁架在非結點荷載 作用下的內力，等于桁架在等效 荷載作用下的內力，再疊加上在 局部平衡荷載作用下所產(chǎn)生的局 部內力（M、Q、N）。,2 靜定結構的一般性質,四、靜定結構的構造變換特性,+,+,當靜定結構的一個內部幾何不變部分作構造變換時, 其余部分的內力不變。,2 靜定結構的一般性質,幾種典型結