二面角的平面角探求

1、二面角的平面角探求貴州省晴隆民族中學(xué) 劉玉峰二面角是空間幾何中的一個(gè)重要概念，是空間圖形的一個(gè)突出的量化指標(biāo)，也是空間圖形位置關(guān)系的具體體現(xiàn)，它以高頻率的姿態(tài)出現(xiàn)在歷屆高考試題中。高三同學(xué)在復(fù)習(xí)二面角時(shí)，往往對(duì)于二面角的平面角感到茫然，二面角的平面角的作法是空間幾何的難點(diǎn)之一，如何在變化多樣的題型中抓住問題的實(shí)質(zhì)呢？筆者將在教學(xué)中對(duì)二面角的思想方法總結(jié)如下，以供讀者參考。二面角可以看作一個(gè)半平面繞其邊界（直線）旋轉(zhuǎn)而成的圖形，其大小是二面角的平面角這一概念，主要從二個(gè)方面來理解：（1）角的頂點(diǎn)在棱形上，（2）角的兩邊分別在兩個(gè)半平面上，（3）角的兩邊要與棱垂直，根據(jù)研究的需要，其取值范圍為。二

2、面角的平面角的作法及求法：1、定義法：在二面角棱上取一點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩射線所成的角便是二面角的平面角。2、垂面法：作二面角棱的垂面，垂面與兩半平面的兩條交線所成的角即為二面角的平面角。3、利用三垂線定理（或逆定理）：在二面角的一個(gè)半平面內(nèi)取異于棱的一點(diǎn)，過該點(diǎn)向棱和另一半平面引垂線，連接兩個(gè)垂足，作出二面角的平面角，當(dāng)涉及的問題中有二面角的一半平面的垂線（或需要作出此垂線）常用此方法。4、特殊圖形作法：如將菱形沿對(duì)角線折成二面角后，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，以及折前折后的不變性，易作出二面角的平面角。5、公式法：（1）利用公式，其中為相應(yīng)二面角的平面角，為銳角，為

3、一半平面內(nèi)的平面圖形面積，為該平面圖形在另一半平面上的射影圖形面積。（2）利用公式，其中為側(cè)面與底面所成角。（3）利用公式，其中為側(cè)面與下底面所成的角。（4）利用異面直線上兩點(diǎn)的距離公式，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作出垂直于棱的兩異面直線，則這兩異面直線所成角（或其補(bǔ)角）即為所求二面角的平面角。（5）利用公式，其中為二面角的平面角，為直線到的角，。（6）利用公式，其中為二面角的平面角，為在內(nèi)且是的一斜線與的所成角，為該斜線與棱的所成角。（7）利用公式，其中為二面角的平面角或補(bǔ)角，、分別為、的法向量，多面體中“無(wú)棱”二面角的平面角求解常用此法。例1：已知射線每?jī)蓷l的夾角為60，求二面角的平面角。分析：由

4、課本習(xí)題結(jié)論可知在面內(nèi)的射影為的角平分線，如圖，由知，。設(shè)二面角的平面角為，則，。例2：已知為銳角二面角內(nèi)一點(diǎn)，于，于，于，且，求二面角的平面角。分析：如圖所示，依題意易證四點(diǎn)共面且為四邊形的外接圓直徑，由正弦定理知，由題意可證為二面角的平面角，其大小與到角相等，即所求二面角為。例3：在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平面，分別為的中點(diǎn)，求平面與平面所成的二面角的大小。分析1：如圖取的中點(diǎn)為，連接，易證兩兩相互垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，。設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即，取，則，又為平面的一個(gè)法向量，。故所求二面角的大小為或。分析2：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，易證為在面內(nèi)的射影。由分析1可知：，設(shè)所求二面角的大小為（為銳角）或，則故所求二面角的大小為或。不同的題目解決問題的方法策略不盡相同，有時(shí)需要較強(qiáng)的技巧性，若是能結(jié)合以上諸方法，在解決問題時(shí)就會(huì)