熱學(xué)-第三章 氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率和能量分布.ppt

1、第三章 氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率和能量分布 3.1氣體分子的速率分布律 3.2用分子射線實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證麥克斯韋速度分布 3.3珀?duì)柶澛植悸?重力場中微粒按高度的分布 3.4能量按自由度均分定理,第一章我們引入了平衡態(tài)和溫度的概念，但在熱力學(xué)范圍內(nèi)不能得到深刻的認(rèn)識。第二章以分子運(yùn)動(dòng)論為基礎(chǔ)，認(rèn)識了壓強(qiáng)和溫度的微觀本質(zhì)，對平衡態(tài)下分子熱運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有了初步認(rèn)識，我們有一個(gè)基本的統(tǒng)計(jì)公理（假設(shè)）。這個(gè)公理只解決了分子熱運(yùn)動(dòng)速度方向的幾率問題，并沒有涉及分子熱運(yùn)動(dòng)速率大小取值的概率，無法作進(jìn)一步的定量分析。分子熱運(yùn)動(dòng)情況是分子物理的重要研究對象，我們必須討論速率大小取值的概率問題。由于分子數(shù)目如此巨大，速率的取

2、值從0到，這個(gè)取值區(qū)間非常大，分子在任何一個(gè)微小速率范圍內(nèi)的取值其概率都不會(huì)大，但到底有多小卻不易判斷。所以，這是一個(gè)大數(shù)量偶然微觀運(yùn)動(dòng)的集體效應(yīng)的問題，既統(tǒng)計(jì)的問題，對應(yīng)的規(guī)律就是一個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律。一般地研究這個(gè)問題比較復(fù)雜，我們以理想氣體為基礎(chǔ)來開展討論。,31 麥克斯韋氣體速率分布律,對于由大量分子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)從微觀上加以研究時(shí)，必須用統(tǒng)計(jì)的方法 .,小球在伽爾頓板中的分布規(guī)律 .,統(tǒng)計(jì)規(guī)律 當(dāng)小球數(shù) N 足夠大時(shí)小球的分布具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律.,設(shè) 為第 格中的粒子數(shù) .,概率 粒子在第 格中出現(xiàn)的可能性大小 .,歸一化條件,粒子總數(shù),引言： 氣體分子處于無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)之中，由于碰撞，每個(gè)分子

3、的速度都在不斷地改變，所以在某一時(shí)刻，對某個(gè)分子來說，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律氣體速率分布律。,氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律最早是由麥克斯韋于1859年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，1877年玻耳茲曼由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中導(dǎo)出，1920年斯特恩從實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,麥克斯韋（James Clerk Maxwell 18311879),19世紀(jì)偉大的英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電磁理論的奠基人，氣體動(dòng)理論的創(chuàng)始人之一。,他提出了有旋電場和位移電流概念，建立了經(jīng)典電磁理論，預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在。

4、1873年，他的電磁學(xué)通論問世，這是一本劃時(shí)代巨著，它與牛頓時(shí)代的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理并駕齊驅(qū)，它是人類探索電磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。 在氣體動(dòng)理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,分子運(yùn)動(dòng)論從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，研究大量分子組成的系統(tǒng)的熱性質(zhì)。其中個(gè)別分子的運(yùn)動(dòng)（在動(dòng)力學(xué)支配下）是無規(guī)則的，存在著極大的偶然性。但是，總體上卻存在著確定的規(guī)律性。（例：理想氣體壓強(qiáng)）,人們把這種支配大量粒子綜合性質(zhì)和集體行為的規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,速度取向的概率問題。速度是矢量，必須解決有關(guān)大小取值的概率問題。首先我們?nèi)菀紫氲竭@樣兩個(gè)事實(shí)：1。由于分子受到頻繁的碰撞，每個(gè)分子熱運(yùn)動(dòng)的速率是變化的

5、，要某一分子具有多大的運(yùn)動(dòng)速率沒有意義，所以只能估計(jì)在某個(gè)速率間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率；2。哪怕是相同的速率間隔，例如都是100ms-1，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200 ms-1和500-600 ms-1有相同的速率間隔，但第一個(gè)間隔總的來說速率較低，第二個(gè)間隔總的來說速率較大，其概率是不等的。比如，速率接近為0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，而居中速率的可能性則較大。根據(jù)這個(gè)兩個(gè)事實(shí)，我們自然要問，在不同速率間隔取值的概率有沒有規(guī)律？肯定是有的，這個(gè)規(guī)律能用一個(gè)函數(shù)定量表示出來。為此，我們引入速率分布函數(shù)來描述分子熱運(yùn)動(dòng)在不同速率間隔取值的概率規(guī)律。,1、氣體分子的

6、速率分布律,速率分布函數(shù)的定義： 一定量的氣體分子總數(shù)為N，dN表示速率分布在某區(qū)間 vv+dv內(nèi)的分子數(shù)， dN/N表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。 實(shí)驗(yàn)規(guī)律： 在不同的速率附近，給定的速率間隔dv內(nèi)，比值dN/N是不同的。容易想見，速率間隔越大， dN/N？ dN/N 是 v 的函數(shù)； 當(dāng)速率區(qū)間足夠小時(shí)（宏觀小，微觀大）， dN/N還應(yīng)與區(qū)間大小成正比。,1、速率分布函數(shù),為此，規(guī)定以單位速率間隔為比較標(biāo)準(zhǔn)，即 ，這樣，比值 就反映出了隨速率v的改變而改變。為此我們規(guī)定 ；,速率分布函數(shù),定義：處于一定溫度下的氣體，分布在速率v附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比只

7、是速率v的函數(shù)，稱為速率分布函數(shù)。,理解分布函數(shù)的幾個(gè)要點(diǎn)： 1.條件：一定溫度（平衡態(tài)）和確定的氣體系統(tǒng)，T和m是一定的； 2.范圍：（速率v附近的）單位速率間隔，所以要除以dv； 3.數(shù)學(xué)形式：（分子數(shù)的）比例，局域分子數(shù)與總分子數(shù)之比。,物理意義： 速率在 v 附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率，或概率密度。,表示速率分布在vv+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率,表示速率分布在v1v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率,歸一化條件,應(yīng)注意的問題: 分布函數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，以上各種討論都是建立在眾多分子微觀運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上的，分子的數(shù)目越大，結(jié)論越正確。所以： 1）少數(shù)分子談不上概率分布 偶然事件

8、少了，或分子數(shù)少了，就不能表現(xiàn)出穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)特性。 例如，拋兩分的硬幣，拋的次數(shù)越多，幣制和國徽朝上的次數(shù)才更加接近相等，否者將有很大差異。 2）統(tǒng)計(jì)規(guī)律表現(xiàn)出漲落 所謂漲落就是對穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的偏差，統(tǒng)計(jì)規(guī)律必然伴隨著漲落。例如，在某一速率v附近dv間隔內(nèi)求出的比值dN/N是0.06，表示有6%的分子，它們的速率取值分布在（v，v+dv）內(nèi)，但并不是說，每時(shí)每刻就一定是0.06，也有可能是0.05998，0.0601，等等，但長時(shí)間的平均值仍是0.06。,3）“具有某一速率的分子有多少”是不恰當(dāng)?shù)恼f法 f (v)是針對v附近單位速率間隔的，離開速率間隔來談分子數(shù)有多少就沒有意義了。 4）氣體由

9、非平衡到平衡的過程是通過分子間的碰撞來實(shí)現(xiàn)的。 因此，分子間的碰撞是使分子熱運(yùn)動(dòng)達(dá)到并保持確定分布的決定因素。,課堂練習(xí)1速率分布函數(shù) 的物理意義為： （）具有速率 的分子占總分子數(shù)的百分比 （）速率分布在 附近的單位速率間隔中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比 （）具有速率 的分子數(shù) （）速率分布在 附近的單位速率間隔中的分子數(shù),（）,練習(xí)2、下列各式的物理意義分別為:,(1),(2),(3),(4),速率在v-v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比,速率在v-v+dv內(nèi)的分子數(shù),速率在v1v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比,速率在v1v2內(nèi)的分子數(shù),練習(xí)3在平衡狀態(tài)下，已知理想氣體分子的麥克斯韋速率分

10、布函數(shù)為 、分子質(zhì)量為 、最可幾速率為 ，試說明下列各式的物理意義：,（） 表示_；,（） 表示_,分子平動(dòng)動(dòng)能的平均值,分布在速率區(qū)間 的分子數(shù)在總分子數(shù)中占的百分率,練習(xí)4已知分子總數(shù)為 ，它們的速率分布函數(shù)為 ，則速率分布在區(qū)間 內(nèi)的分子的平均速率為,（A）,（C）,（B）,（D）,（B）,2.麥克斯韋速度分布律,在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在速度區(qū)間 的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為,麥克斯韋速度分布律,3.麥克斯韋速率分布律,在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在速度區(qū)間 也就是分布在vxvx+dvx/vyvy+dvy/vzvz+dvz的分子數(shù)占總分子數(shù)

11、的比率為:,這個(gè)區(qū)間內(nèi)的分子，它們的速度矢量的端點(diǎn)都在一定的體積元ddvxdvydvz內(nèi),也就是滿足這個(gè)條件的速度矢量的端點(diǎn)都落在半徑為v，厚度為dv的球殼層內(nèi)。這個(gè)球殼層的體積等于其內(nèi)壁的面積4v2乘以厚度dv ： d 4v2dv,將ddvxdvydvz代入,麥克斯韋 速率分布 分布律,麥克斯韋速率分布律,且：,得：得,記憶這個(gè)公式分三部分： 第一部分，4pv2dv是“球殼”的體積，而“球殼”全方位的高度對稱性正是分子熱運(yùn)動(dòng)想各個(gè)方向幾率均等的生動(dòng)表現(xiàn)；,第二部分 , 正是分子熱運(yùn)動(dòng)速率取值不等幾率的表現(xiàn)，值得注意，這個(gè)指數(shù)衰減律的結(jié)果沒有單位，mv2/2是分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，kT既有能量的量

12、綱，所以指數(shù)衰減的指數(shù)部分是熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能與體系能量狀態(tài)特征量之比，對于大的速率，指數(shù)衰減的速度比v2增加的速度快得多，二者共同影響的結(jié)果，分布函數(shù)值必然較小。,第三部分， 是歸一化因子，這里也有一個(gè)值得注意的問題，指數(shù)衰減部分沒有單位，4pv2dv具有速度立方的單位，分布律只是分子數(shù)的比值，也沒有單位，所以歸一化因子必須具有速度負(fù)立方的單位。即 應(yīng)該具有速度的量綱，的確如此，正是一個(gè)具有統(tǒng)計(jì)特性的速率，后面知道，叫最可幾速率。,麥克斯韋 速率分布函數(shù),m分子的質(zhì)量 T熱力學(xué)溫度 k玻耳茲曼常量,曲線下面寬度為 dv 的小窄條面積等于分布在此速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率dN/N 。.,麥克

13、斯韋速率分布曲線,在f(v)v整個(gè)曲線下的面積為 1 - 歸一化條件。,最概然速率,平均速率,方均根速率,分子速率的三個(gè)統(tǒng)計(jì)值,最概然速率(the most probable speed),物理意義：若把整個(gè)速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在 vP所在區(qū)間的分子數(shù)比率最大。,令,解得,vp 隨 T 升高而增大，隨 m 增大而減小,注：,定義：與 f(v)極大值相對應(yīng)的速率，稱為最概然速率。,同一氣體，不同溫度,vP與溫度T的關(guān)系:,T 1,T 2,曲線的峰值右移,由于曲線下面積為1不變，所以峰值降低。,不同氣體，同一溫度,vP與分子質(zhì)量m的關(guān)系:,曲線的峰值左移,由于曲線下面積為1不變，

14、所以峰值升高。,練習(xí)5.圖為同一種氣體，處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線，試問（1）哪一條曲線對應(yīng)的溫度高？（2)如果這兩條曲線分別對應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對應(yīng)的是氧氣，哪條對應(yīng)的是氫氣？,解：,(1) T1 T2,(2)紅：氧 白：氫,f(v),v,T1,T2,平均速率(the average speed),由于,則,有,方均根速率,最概然速率,平均速率,方均根速率,三種速率的比較,三種速率統(tǒng)計(jì)值有不同的應(yīng)用：,在討論速率分布時(shí)，要用到最可幾速率；在計(jì)算分子運(yùn)動(dòng)的平均距離時(shí)，要用到平均速率；在計(jì)算分子的平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)，要用到方均根速率。,補(bǔ)充:氣體分子按平動(dòng)動(dòng)能的分

15、布規(guī)律,麥克斯韋速率分布定律,上式表明理想氣體在平衡態(tài)下，分子動(dòng)能在 + 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。,意義：,代入上式得,思考,最概然平動(dòng)動(dòng)能是否等于最概然速率所對應(yīng)的平動(dòng)動(dòng)能?,兩邊微分,氦氣的速率分布曲線如圖所示.,解,例1,求,(2) 氫氣在該溫度時(shí)的最概然速率和方均根速率,(1) 試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，,(2),f(v),v,有N 個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為,(1) 作速率分布曲線并求常數(shù) a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子數(shù),解,例2,求,(1) 由歸一化條件得,O,(2) 因?yàn)樗俾史植记€下的面積代表一定速率區(qū)間內(nèi)的分子與總分子數(shù)的比率

16、，所以,因此， vv0 的分子數(shù)為 ( 2N/3 ),同理 vv0 的分子數(shù)為 ( N/3 ),的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為,根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均值 。,根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為,解,例3,根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率 vpvp+v 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度 成反比( 設(shè)v 很小),將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有,例4,證,解,例5,求,該電子氣的平均速率,因?yàn)閮H在（0 ，vm）區(qū)間分布有電子，所以,例7.試計(jì)算27下的氧氣分子的三種速率.,解:,Mmol=0.032kg/mol,T=273+27=300K,可見在相同溫度下:,例題8.

17、有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為:,1、作速率分布曲線。 2、由N和vo求常數(shù)C。 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。,vo,v,o,解：,二、驗(yàn)證麥克斯韋速度分布律,1、實(shí)驗(yàn)裝置,O蒸汽源 S 分子束射出方向孔 R 長為 l 、刻有螺旋形細(xì)槽的鋁鋼滾筒 D 檢測器，測定通過細(xì)槽的分子射線強(qiáng)度,2、實(shí)驗(yàn)原理,當(dāng)圓盤以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，每轉(zhuǎn)動(dòng)一周，分子射線通過圓盤一次，由于分子的速率不一樣，分子通過圓盤的時(shí)間不一樣，只有速率滿足下式的分子才能通過S達(dá)到D,3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果,分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的大小有關(guān)； 速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常??； 在某一速率附近的分子數(shù)

18、的比率最大； 改變氣體的種類或氣體的溫度時(shí)，上述分布情況有所差別，但都具有上述特點(diǎn)。,麥克斯韋速度分布函數(shù),三、玻爾茲曼能量分布律 等溫氣壓公式,一、玻爾茲曼能量分布律,問題：對于更一般的情形，如在外力場中的氣體分子的分布將如何？,其指數(shù)僅包含分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能,分子按速度的分布不受力場的影響，按空間位置的分布卻是不均勻的，依賴于分子所在力場的性質(zhì)。,玻爾茲曼的推廣,用k+p 代替k，用x、y、z、 vx、 vy、 vz 為軸構(gòu)成的六維空間中的體積元 xdydzdvxdvydvz 代替速度空間的體積元dvxdvydvz,玻爾茲曼能量分布律,當(dāng)系統(tǒng)在力場中處于平衡態(tài)時(shí)，其中坐標(biāo)介于區(qū)間xx+dx、yy+dy、zz+dz內(nèi)，同時(shí)速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz內(nèi)的分子數(shù)為,單位體積分子數(shù)n,n0為在p=0處，單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。,玻爾茲曼分子按能量分布律,對所有可能的速度積分,分子在坐標(biāo)間隔xx+dx,yy+dy,zz+dz內(nèi)的分子數(shù)密度為：,分子按勢能分布律,重