熱學-第三章 氣體分子熱運動速率和能量分布.ppt

1、第三章 氣體分子熱運動速率和能量分布 3.1氣體分子的速率分布律 3.2用分子射線實驗驗證麥克斯韋速度分布 3.3珀爾茲曼分布率 重力場中微粒按高度的分布 3.4能量按自由度均分定理,第一章我們引入了平衡態(tài)和溫度的概念，但在熱力學范圍內不能得到深刻的認識。第二章以分子運動論為基礎，認識了壓強和溫度的微觀本質，對平衡態(tài)下分子熱運動的規(guī)律有了初步認識，我們有一個基本的統(tǒng)計公理（假設）。這個公理只解決了分子熱運動速度方向的幾率問題，并沒有涉及分子熱運動速率大小取值的概率，無法作進一步的定量分析。分子熱運動情況是分子物理的重要研究對象，我們必須討論速率大小取值的概率問題。由于分子數(shù)目如此巨大，速率的取

2、值從0到，這個取值區(qū)間非常大，分子在任何一個微小速率范圍內的取值其概率都不會大，但到底有多小卻不易判斷。所以，這是一個大數(shù)量偶然微觀運動的集體效應的問題，既統(tǒng)計的問題，對應的規(guī)律就是一個統(tǒng)計規(guī)律。一般地研究這個問題比較復雜，我們以理想氣體為基礎來開展討論。,31 麥克斯韋氣體速率分布律,對于由大量分子組成的熱力學系統(tǒng)從微觀上加以研究時，必須用統(tǒng)計的方法 .,小球在伽爾頓板中的分布規(guī)律 .,統(tǒng)計規(guī)律 當小球數(shù) N 足夠大時小球的分布具有統(tǒng)計規(guī)律.,設 為第 格中的粒子數(shù) .,概率 粒子在第 格中出現(xiàn)的可能性大小 .,歸一化條件,粒子總數(shù),引言： 氣體分子處于無規(guī)則的熱運動之中，由于碰撞，每個分子

3、的速度都在不斷地改變，所以在某一時刻，對某個分子來說，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守一定的統(tǒng)計規(guī)律氣體速率分布律。,氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律最早是由麥克斯韋于1859年在概率論的基礎上導出的，1877年玻耳茲曼由經典統(tǒng)計力學中導出，1920年斯特恩從實驗中證實了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律。,麥克斯韋（James Clerk Maxwell 18311879),19世紀偉大的英國物理學家、數(shù)學家。經典電磁理論的奠基人，氣體動理論的創(chuàng)始人之一。,他提出了有旋電場和位移電流概念，建立了經典電磁理論，預言了以光速傳播的電磁波的存在。

4、1873年，他的電磁學通論問世，這是一本劃時代巨著，它與牛頓時代的自然哲學的數(shù)學原理并駕齊驅，它是人類探索電磁規(guī)律的一個里程碑。 在氣體動理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律。,統(tǒng)計規(guī)律性,分子運動論從物質微觀結構出發(fā)，研究大量分子組成的系統(tǒng)的熱性質。其中個別分子的運動（在動力學支配下）是無規(guī)則的，存在著極大的偶然性。但是，總體上卻存在著確定的規(guī)律性。（例：理想氣體壓強）,人們把這種支配大量粒子綜合性質和集體行為的規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性,速度取向的概率問題。速度是矢量，必須解決有關大小取值的概率問題。首先我們容易想到這樣兩個事實：1。由于分子受到頻繁的碰撞，每個分子熱運動的速率是變化的

5、，要某一分子具有多大的運動速率沒有意義，所以只能估計在某個速率間隔內出現(xiàn)的概率；2。哪怕是相同的速率間隔，例如都是100ms-1，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200 ms-1和500-600 ms-1有相同的速率間隔，但第一個間隔總的來說速率較低，第二個間隔總的來說速率較大，其概率是不等的。比如，速率接近為0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，而居中速率的可能性則較大。根據(jù)這個兩個事實，我們自然要問，在不同速率間隔取值的概率有沒有規(guī)律？肯定是有的，這個規(guī)律能用一個函數(shù)定量表示出來。為此，我們引入速率分布函數(shù)來描述分子熱運動在不同速率間隔取值的概率規(guī)律。,1、氣體分子的

6、速率分布律,速率分布函數(shù)的定義： 一定量的氣體分子總數(shù)為N，dN表示速率分布在某區(qū)間 vv+dv內的分子數(shù)， dN/N表示分布在此區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。 實驗規(guī)律： 在不同的速率附近，給定的速率間隔dv內，比值dN/N是不同的。容易想見，速率間隔越大， dN/N？ dN/N 是 v 的函數(shù)； 當速率區(qū)間足夠小時（宏觀小，微觀大）， dN/N還應與區(qū)間大小成正比。,1、速率分布函數(shù),為此，規(guī)定以單位速率間隔為比較標準，即 ，這樣，比值 就反映出了隨速率v的改變而改變。為此我們規(guī)定 ；,速率分布函數(shù),定義：處于一定溫度下的氣體，分布在速率v附近的單位速率間隔內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比只

7、是速率v的函數(shù)，稱為速率分布函數(shù)。,理解分布函數(shù)的幾個要點： 1.條件：一定溫度（平衡態(tài)）和確定的氣體系統(tǒng)，T和m是一定的； 2.范圍：（速率v附近的）單位速率間隔，所以要除以dv； 3.數(shù)學形式：（分子數(shù)的）比例，局域分子數(shù)與總分子數(shù)之比。,物理意義： 速率在 v 附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率，或概率密度。,表示速率分布在vv+dv內的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率,表示速率分布在v1v2內的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率,歸一化條件,應注意的問題: 分布函數(shù)是一個統(tǒng)計結果，以上各種討論都是建立在眾多分子微觀運動基礎上的，分子的數(shù)目越大，結論越正確。所以： 1）少數(shù)分子談不上概率分布 偶然事件

8、少了，或分子數(shù)少了，就不能表現(xiàn)出穩(wěn)定的統(tǒng)計特性。 例如，拋兩分的硬幣，拋的次數(shù)越多，幣制和國徽朝上的次數(shù)才更加接近相等，否者將有很大差異。 2）統(tǒng)計規(guī)律表現(xiàn)出漲落 所謂漲落就是對穩(wěn)定的統(tǒng)計結果的偏差，統(tǒng)計規(guī)律必然伴隨著漲落。例如，在某一速率v附近dv間隔內求出的比值dN/N是0.06，表示有6%的分子，它們的速率取值分布在（v，v+dv）內，但并不是說，每時每刻就一定是0.06，也有可能是0.05998，0.0601，等等，但長時間的平均值仍是0.06。,3）“具有某一速率的分子有多少”是不恰當?shù)恼f法 f (v)是針對v附近單位速率間隔的，離開速率間隔來談分子數(shù)有多少就沒有意義了。 4）氣體由

9、非平衡到平衡的過程是通過分子間的碰撞來實現(xiàn)的。 因此，分子間的碰撞是使分子熱運動達到并保持確定分布的決定因素。,課堂練習1速率分布函數(shù) 的物理意義為： （）具有速率 的分子占總分子數(shù)的百分比 （）速率分布在 附近的單位速率間隔中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比 （）具有速率 的分子數(shù) （）速率分布在 附近的單位速率間隔中的分子數(shù),（）,練習2、下列各式的物理意義分別為:,(1),(2),(3),(4),速率在v-v+dv內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比,速率在v-v+dv內的分子數(shù),速率在v1v2內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比,速率在v1v2內的分子數(shù),練習3在平衡狀態(tài)下，已知理想氣體分子的麥克斯韋速率分

10、布函數(shù)為 、分子質量為 、最可幾速率為 ，試說明下列各式的物理意義：,（） 表示_；,（） 表示_,分子平動動能的平均值,分布在速率區(qū)間 的分子數(shù)在總分子數(shù)中占的百分率,練習4已知分子總數(shù)為 ，它們的速率分布函數(shù)為 ，則速率分布在區(qū)間 內的分子的平均速率為,（A）,（C）,（B）,（D）,（B）,2.麥克斯韋速度分布律,在平衡態(tài)下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在速度區(qū)間 的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為,麥克斯韋速度分布律,3.麥克斯韋速率分布律,在平衡態(tài)下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在速度區(qū)間 也就是分布在vxvx+dvx/vyvy+dvy/vzvz+dvz的分子數(shù)占總分子數(shù)

11、的比率為:,這個區(qū)間內的分子，它們的速度矢量的端點都在一定的體積元ddvxdvydvz內,也就是滿足這個條件的速度矢量的端點都落在半徑為v，厚度為dv的球殼層內。這個球殼層的體積等于其內壁的面積4v2乘以厚度dv ： d 4v2dv,將ddvxdvydvz代入,麥克斯韋 速率分布 分布律,麥克斯韋速率分布律,且：,得：得,記憶這個公式分三部分： 第一部分，4pv2dv是“球殼”的體積，而“球殼”全方位的高度對稱性正是分子熱運動想各個方向幾率均等的生動表現(xiàn)；,第二部分 , 正是分子熱運動速率取值不等幾率的表現(xiàn)，值得注意，這個指數(shù)衰減律的結果沒有單位，mv2/2是分子熱運動的動能，kT既有能量的量

12、綱，所以指數(shù)衰減的指數(shù)部分是熱運動的動能與體系能量狀態(tài)特征量之比，對于大的速率，指數(shù)衰減的速度比v2增加的速度快得多，二者共同影響的結果，分布函數(shù)值必然較小。,第三部分， 是歸一化因子，這里也有一個值得注意的問題，指數(shù)衰減部分沒有單位，4pv2dv具有速度立方的單位，分布律只是分子數(shù)的比值，也沒有單位，所以歸一化因子必須具有速度負立方的單位。即 應該具有速度的量綱，的確如此，正是一個具有統(tǒng)計特性的速率，后面知道，叫最可幾速率。,麥克斯韋 速率分布函數(shù),m分子的質量 T熱力學溫度 k玻耳茲曼常量,曲線下面寬度為 dv 的小窄條面積等于分布在此速率區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率dN/N 。.,麥克

13、斯韋速率分布曲線,在f(v)v整個曲線下的面積為 1 - 歸一化條件。,最概然速率,平均速率,方均根速率,分子速率的三個統(tǒng)計值,最概然速率(the most probable speed),物理意義：若把整個速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在 vP所在區(qū)間的分子數(shù)比率最大。,令,解得,vp 隨 T 升高而增大，隨 m 增大而減小,注：,定義：與 f(v)極大值相對應的速率，稱為最概然速率。,同一氣體，不同溫度,vP與溫度T的關系:,T 1,T 2,曲線的峰值右移,由于曲線下面積為1不變，所以峰值降低。,不同氣體，同一溫度,vP與分子質量m的關系:,曲線的峰值左移,由于曲線下面積為1不變，

14、所以峰值升高。,練習5.圖為同一種氣體，處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線，試問（1）哪一條曲線對應的溫度高？（2)如果這兩條曲線分別對應的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對應的是氧氣，哪條對應的是氫氣？,解：,(1) T1 T2,(2)紅：氧 白：氫,f(v),v,T1,T2,平均速率(the average speed),由于,則,有,方均根速率,最概然速率,平均速率,方均根速率,三種速率的比較,三種速率統(tǒng)計值有不同的應用：,在討論速率分布時，要用到最可幾速率；在計算分子運動的平均距離時，要用到平均速率；在計算分子的平均平動動能時，要用到方均根速率。,補充:氣體分子按平動動能的分

15、布規(guī)律,麥克斯韋速率分布定律,上式表明理想氣體在平衡態(tài)下，分子動能在 + 區(qū)間內的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。,意義：,代入上式得,思考,最概然平動動能是否等于最概然速率所對應的平動動能?,兩邊微分,氦氣的速率分布曲線如圖所示.,解,例1,求,(2) 氫氣在該溫度時的最概然速率和方均根速率,(1) 試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，,(2),f(v),v,有N 個粒子，其速率分布函數(shù)為,(1) 作速率分布曲線并求常數(shù) a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子數(shù),解,例2,求,(1) 由歸一化條件得,O,(2) 因為速率分布曲線下的面積代表一定速率區(qū)間內的分子與總分子數(shù)的比率

16、，所以,因此， vv0 的分子數(shù)為 ( 2N/3 ),同理 vv0 的分子數(shù)為 ( N/3 ),的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為,根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均值 。,根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為,解,例3,根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率 vpvp+v 區(qū)間內的分子數(shù)與溫度 成反比( 設v 很小),將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有,例4,證,解,例5,求,該電子氣的平均速率,因為僅在（0 ，vm）區(qū)間分布有電子，所以,例7.試計算27下的氧氣分子的三種速率.,解:,Mmol=0.032kg/mol,T=273+27=300K,可見在相同溫度下:,例題8.

17、有N個粒子，其速率分布函數(shù)為:,1、作速率分布曲線。 2、由N和vo求常數(shù)C。 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。,vo,v,o,解：,二、驗證麥克斯韋速度分布律,1、實驗裝置,O蒸汽源 S 分子束射出方向孔 R 長為 l 、刻有螺旋形細槽的鋁鋼滾筒 D 檢測器，測定通過細槽的分子射線強度,2、實驗原理,當圓盤以角速度轉動時，每轉動一周，分子射線通過圓盤一次，由于分子的速率不一樣，分子通過圓盤的時間不一樣，只有速率滿足下式的分子才能通過S達到D,3、實驗結果,分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的大小有關； 速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常小； 在某一速率附近的分子數(shù)

18、的比率最大； 改變氣體的種類或氣體的溫度時，上述分布情況有所差別，但都具有上述特點。,麥克斯韋速度分布函數(shù),三、玻爾茲曼能量分布律 等溫氣壓公式,一、玻爾茲曼能量分布律,問題：對于更一般的情形，如在外力場中的氣體分子的分布將如何？,其指數(shù)僅包含分子運動動能,分子按速度的分布不受力場的影響，按空間位置的分布卻是不均勻的，依賴于分子所在力場的性質。,玻爾茲曼的推廣,用k+p 代替k，用x、y、z、 vx、 vy、 vz 為軸構成的六維空間中的體積元 xdydzdvxdvydvz 代替速度空間的體積元dvxdvydvz,玻爾茲曼能量分布律,當系統(tǒng)在力場中處于平衡態(tài)時，其中坐標介于區(qū)間xx+dx、yy+dy、zz+dz內，同時速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz內的分子數(shù)為,單位體積分子數(shù)n,n0為在p=0處，單位體積內具有各種速度的分子總數(shù)。,玻爾茲曼分子按能量分布律,對所有可能的速度積分,分子在坐標間隔xx+dx,yy+dy,zz+dz內的分子數(shù)密度為：,分子按勢能分布律,重