計數(shù)原理zst.ppt

1、計數(shù)原理,要點梳理 1.分類加法計數(shù)原理 完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N= 種不同的方法.,m1+m2+mn,2.分步乘法計數(shù)原理 完成一件事情需要分成n個不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N= 種不同的方法.,m1m2mn,24人去借三本不同的書(全部借完)，所有借法的種數(shù)是,4有8本書其中有2本相同的數(shù)學(xué)書，3本相同的語文書，其余3本為不同的書籍，一人去借，且至少借一本的借法有_種,

2、38名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3、4名，大師賽共有_場比賽,14封不同的信投入三個不同的信箱中，所有投法的種數(shù)是,5如圖所示三組平行線分別有m、n、k條，在此圖中 (1)共有多少個三角形？ (2)共有多少個平行四邊形？,【例1】方程 表示焦點在y軸上的橢圓，其中m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，那么這樣的橢圓有多少個？,變式遷移 1三邊長為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形有多少個？,【例2】(1)定義集合A與B的運算A*B如下：A*B(x，y)

3、|xA，yB，若Aa，b，c，Ba，c，d，e，則集合A*B的元素個數(shù)為() A34 B43 C12 D以上都不對,(2)使集合A1,0,1，B2,3,4,5,6，映射f：AB，使得對任意xA，都有xf(x)xf(x)是奇數(shù)，這樣的映射f的個數(shù)是() A12 B50 C15 D55,變式遷移 2乘積(a1a2a3)(b1b2b3b4)(c1c2c3c4c5)的展開式中有多少項？,【例3】如圖，花壇內(nèi)有5個花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內(nèi)只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案最多有 A180種 B240種 C360種 D420種,變式遷移 3有一個圓被兩相交弦分成四塊

4、，現(xiàn)在用5種不同顏料給這4塊涂色，要求共邊兩塊顏色互異，每塊只涂一色，共有多少種涂色辦法？,解析：本題中區(qū)域2,3,4,5地位相同(都與其他四個區(qū)域中的3個區(qū)域相鄰)，故應(yīng)先涂區(qū)域1，有5種涂法，再涂區(qū)域2，有4種涂法，接著涂區(qū)域3，有3種涂法，涂區(qū)域4時注意：區(qū)域2與4同色時區(qū)域4有1種涂法，此時區(qū)域5有3種涂法，區(qū)域2與4不同色時區(qū)域4有2種涂法，此時區(qū)域5有2種涂法，故共有543(322)420種栽種方案，故選D. 答案：D,涂色問題的實質(zhì)是分類與分步，一般是整體分步，分步過程中若出現(xiàn)某一步需分情況說明時還要進行分類涂色問題，一般不涉及排列數(shù)和組合數(shù)的應(yīng)用，是計數(shù)原理應(yīng)用的典型問題由于涂

5、色本身就是策略的一個運用過程，能較好地考查考生的思維連貫性與敏捷性，加之涂色問題的趣味性，自然成為高考考試命題的熱點.,變式遷移 3有一個圓被兩相交弦分成四塊，現(xiàn)在用5種不同顏料給這4塊涂色，要求共邊兩塊顏色互異，每塊只涂一色，共有多少種涂色辦法？,14封不同的信投入三個不同的信箱中，所有投法的種數(shù)是() A34B43 解析：第n封信有3種投法(n1,2,3,4)，根據(jù)分步計數(shù)原理4封不同的信投入三個不同的信箱共有333334種投法 答案：A,24人去借三本不同的書(全部借完)，所有借法的種數(shù)是() A34 B43 解析：第n本書有4種借法(n1,2,3)，根據(jù)分步計數(shù)原理4人去借三本不同的書

6、(全部借完)共有44443種借法 答案：B,3有8本書其中有2本相同的數(shù)學(xué)書，3本相同的語文書，其余3本為不同的書籍，一人去借，且至少借一本的借法有_種 解析：數(shù)學(xué)書的本數(shù)可以是0,1,2三種；語文書的本數(shù)可以是0,1,2,3四種，其余3本書每本都有兩種取法，由分步計數(shù)原理共有34222195種借法 答案：95,48名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3、4名，大師賽共有_場比賽,答案：16,5如圖所示三組平行線分別有m、n、k條，在此圖中 (1)共有多少個三角形？ (

7、2)共有多少個平行四邊形？,【例1】方程 表示焦點在y軸上的橢圓，其中m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，那么這樣的橢圓有多少個？ 思路分析：要確定一個橢圓必須確定兩個數(shù)，一個是m，一個是n，因此一個橢圓就和在兩個集合中分別取一個數(shù)的取法對應(yīng)，有幾個橢圓就有幾種取法，分類必須唯一，這樣才不會出現(xiàn)重復(fù)、遺漏等,解：以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分為五類第一類：m1時，使nm，n有6種選擇；第二類：m2時，使nm，n有5種選擇；第三類：m3時，使nm，n有4種選擇；第四類：m4時，使nm，n有3種選擇；第五類：m5時，使nm，n有2種選擇 共有6543220(種)方法，即有20個符合題意的橢

8、圓,“分類”的基本原則是不重復(fù)、不遺漏，如何合理地進行分類是用好加法原理的關(guān)鍵首先要將事件分幾大類，再合理地將大類分為若干小類，最終用加法原理計算.,變式遷移 1三邊長為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形有多少個？ 解：另兩邊長用x、y表示，且不妨設(shè)1xy11.要構(gòu)成三角形，必須xy12.當(dāng)y取11時，x1,2,3，11，可有11個；當(dāng)y取10時，x2,3,4，10，可有9個；當(dāng)y取6時，x6，只有1個由分類計數(shù)原理，所求三角形個數(shù)為119753136(個),【例2】(1)定義集合A與B的運算A*B如下：A*B(x，y)|xA，yB，若Aa，b，c，Ba，c，d，e，則集合A*B的元素個數(shù)為()

9、A34 B43 C12 D以上都不對,(2)使集合A1,0,1，B2,3,4,5,6，映射f：AB，使得對任意xA，都有xf(x)xf(x)是奇數(shù)，這樣的映射f的個數(shù)是() A12 B50 C15 D55 解析：(1)顯然(a，a)、(a，c)等均為A*B中的元素，確定A*B中的元素是由A中取一個元素來確定x，B中取一個元素來確定y，由分步計數(shù)原理可知A*B中有3412個元素故選C.,(2)A中任一元素在B中有惟一元素和它對應(yīng)，由xf(x)xf(x)(x1)(f(x)1)1知，x為奇數(shù)時都滿足，x為偶數(shù)時，必須f(x)為奇數(shù)，當(dāng)x1或1時，f(x)可取B中任一元素，各有5種；當(dāng)x0時，f(x)

10、只能取3或5，有2種根據(jù)分步計數(shù)原理，共有52550個映射故選B. 答案：(1)C(2)B,變式遷移 2乘積(a1a2a3)(b1b2b3b4)(c1c2c3c4c5)的展開式中有多少項？ 解：首先應(yīng)明確所完成的事情，即從三個因式中各取一個字母相乘之積作為展開式中的一項然后再分析如何完成，從第一個因式中選一個字母，從第二個因式中選一個字母，從第三個因式中選一個字母，只有這三步都做完，事情才完成，因而用乘法原理結(jié)果為34560項,【例3】如圖，花壇內(nèi)有5個花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內(nèi)只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案最多有 () A180種 B240種 C36

11、0種 D420種,解析：本題中區(qū)域2,3,4,5地位相同(都與其他四個區(qū)域中的3個區(qū)域相鄰)，故應(yīng)先涂區(qū)域1，有5種涂法，再涂區(qū)域2，有4種涂法，接著涂區(qū)域3，有3種涂法，涂區(qū)域4時注意：區(qū)域2與4同色時區(qū)域4有1種涂法，此時區(qū)域5有3種涂法，區(qū)域2與4不同色時區(qū)域4有2種涂法，此時區(qū)域5有2種涂法，故共有543(322)420種栽種方案，故選D. 答案：D,涂色問題的實質(zhì)是分類與分步，一般是整體分步，分步過程中若出現(xiàn)某一步需分情況說明時還要進行分類涂色問題，一般不涉及排列數(shù)和組合數(shù)的應(yīng)用，是計數(shù)原理應(yīng)用的典型問題由于涂色本身就是策略的一個運用過程，能較好地考查考生的思維連貫性與敏捷性，加之涂

12、色問題的趣味性，自然成為高考考試命題的熱點.,變式遷移 3有一個圓被兩相交弦分成四塊，現(xiàn)在用5種不同顏料給這4塊涂色，要求共邊兩塊顏色互異，每塊只涂一色，共有多少種涂色辦法？,【例4】一圓周上有9個點，以這9個點為頂點作三個三角形，當(dāng)這三個三角形的邊互不相交時，我們把它稱為一種構(gòu)圖則滿足這樣條件的構(gòu)圖共有 () A3種 B6種 C9種 D12種,(1)旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖：9個點每相鄰三點為一組構(gòu)成一個三角形，此時共有3種構(gòu)圖； (2)平行構(gòu)圖：任取相鄰兩點為一邊，再左、右分別跳過3個點后，得到其對邊的頂點，組成一個三角形，另外兩組隔開的三個點構(gòu)成兩個三角形，此時共有9種構(gòu)圖 由分類加法計數(shù)原理，得滿足條

13、件的構(gòu)圖共有3912種，正確答案選D. 答案：D,由于計數(shù)原理的特殊地位與作用，在新課標(biāo)高考中，如何設(shè)計背景新穎、公平合理而又不脫離考生學(xué)習(xí)生活實際的試題，是命題者的立意所在通過計數(shù)原理可以設(shè)計一些優(yōu)秀的應(yīng)用問題，較好地突出能力立意，強調(diào)基本方法，注重知識的理解與聯(lián)系，著重考查學(xué)生的閱讀理解能力與應(yīng)用能力.,變式遷移 4如圖A、B、C、D為四個村莊，要修筑三條公路，將這四個村莊連接起來，則不同的修筑方案共有() A8種 B12種 C16種 D20種,答案：C,1兩個原理是處理排列、組合問題的理論依據(jù)，它們都是把一個事件分解成若干個事件來完成，其區(qū)別在于分類計數(shù)原理中各類辦法是相互獨立的，而分步計數(shù)原理中各個步驟是相互依存的 2在加法原理的內(nèi)涵中突出反映了分類思想，合理分類能更有效地提高