維隨機(jī)向量的分布(課件).ppt

1、Ch3 隨機(jī)向量,例1,描述了任一個(gè)人的體形特征.,例2,可確定炮彈的彈著點(diǎn).,任選一個(gè)人,設(shè)X表示其身高，,設(shè)任一炮彈彈著點(diǎn),縱坐標(biāo)為Y,為X,Y表示其體重,的橫坐標(biāo),例3,設(shè) 分別表示,任一鋼塊的長(zhǎng)、寬、高,描述了任一,鋼塊的形狀.,在概率論中,如果試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果,都對(duì)應(yīng)三個(gè)有序?qū)崝?shù),則稱為三維隨機(jī)向量;,一般地,如果試驗(yàn)的,都對(duì),應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù),則為一維隨機(jī)變量;,都對(duì)應(yīng)一對(duì)有序?qū)崝?shù),則稱為二維隨機(jī)向量;,如果試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果,如果試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果,都對(duì)應(yīng) 個(gè),則稱為 維隨機(jī)向量.,有序?qū)崝?shù),每一個(gè)基本結(jié)果,3.1 隨機(jī)向量的分布,定義3.1,例如,則,是三維隨機(jī)向量.,任一考生的語(yǔ)

2、、數(shù)、外,一、隨機(jī)向量及其分布,是定義在概率空間,維隨機(jī)向量.,一個(gè)人的身高和體重,是二維隨機(jī)向量.,設(shè) 分別表示,則,設(shè) 分別表示,任一鋼塊的長(zhǎng)、寬、高,設(shè) 分別表示,及綜合的考試分?jǐn)?shù),是四維隨機(jī)向量.,設(shè),上的n個(gè)隨機(jī)變量，,則稱,是,上的一個(gè),定義3.2,稱為隨機(jī)向量,設(shè),是n維隨機(jī)向量,語(yǔ)、數(shù)、英及綜合,的聯(lián)合分布函數(shù).,n元函數(shù),的分布函數(shù).,或,n個(gè)隨機(jī)變量,例如,任一考生的,設(shè) 分別表示,的考試分?jǐn)?shù),是四維隨機(jī)向量.,例如,當(dāng) 時(shí),二維隨機(jī)向量,的分布函數(shù)為,定義3.2,稱為隨機(jī)向量,設(shè),是n維隨機(jī)向量,n元函數(shù),的分布函數(shù).,聯(lián)合分布函數(shù),具有性質(zhì)：,（1）,（2）,關(guān)于,均單

3、調(diào)不減.,對(duì)任意固定的,當(dāng) 時(shí)，,有,對(duì)任意固定的,當(dāng) 時(shí)，,有,（3）,關(guān)于,均右連續(xù).,即對(duì)任意實(shí)數(shù),（4）,記,記,記,記,對(duì)任意固定的,當(dāng) 時(shí)，,有,證,當(dāng) 時(shí)，,關(guān)于y單調(diào)不減.,如果 的分布函數(shù),已知，,則,隨機(jī)變量,隨機(jī)變量,稱為分布函數(shù),關(guān)于X的邊緣分布函數(shù).,稱為分布函數(shù),關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).,的分布函數(shù)為：,的分布函數(shù)為：,二、離散型隨機(jī)向量,定義3.3,的全部取值,如果二維隨機(jī)向量,或至多可列個(gè),為,則隨機(jī)向量,為有限個(gè),的概率分布,離散型的.,例,任取4個(gè),袋中裝有1個(gè)紅球,2個(gè)白球,3個(gè)黑球.,從中任,和 分別表示4球中,紅球及白球的個(gè)數(shù).,取4個(gè),的分布為:,Y的

4、分布為:,稱為關(guān)于Y的,稱為關(guān)于 的邊緣分布.,邊緣分布.,任取4個(gè),1. 聯(lián)合分布,定義3.4,取這些值的概率為,聯(lián)合分布常用表格表示:,聯(lián)合分布具有性質(zhì):,設(shè),是二維離散型隨機(jī)向量,的取值為,聯(lián)合概率分布.,稱上式為隨機(jī)向量,可能,的概率分布，,或X和Y的,非負(fù)性,歸一性,2. 邊緣分布,的概率分布為:,設(shè),隨機(jī)變量X的分布為:,記為,記為,隨機(jī)變量X的分布為:,記為,記為,記為,隨機(jī)變量X的分布為:,記為,記為,記為,稱為關(guān)于X的邊緣概率分布.,記為,隨機(jī)變量Y的分布為:,記為,隨機(jī)變量Y的分布為:,記為,隨機(jī)變量Y的分布為:,記為,稱為關(guān)于Y的邊緣概率分布.,例,六個(gè)乒乓球中,有4個(gè)是

5、新球，,第一次取出兩個(gè),X，Y分別表示,寫出(X,Y)的分布.,解,用完后放回，,第二次再取出兩個(gè),第一次和第二次,取到的新球數(shù)目.,關(guān)于X和Y的邊緣分布:,可統(tǒng)一表示為,求以下概率：,例,把一枚硬幣連擲三次，,X表示三次中正面出現(xiàn),的次數(shù)，,Y表示三次中,出現(xiàn)正面的次數(shù),的次數(shù)之差的絕對(duì)值，,求(X，Y)的聯(lián)合概率分布.,解,時(shí),必有,時(shí),必有,時(shí),必有,時(shí),必有,與出現(xiàn)反面,三、連續(xù)型隨機(jī)向量,1.密度函數(shù),的概率密度函數(shù),定義3.5,設(shè),是二維隨機(jī)向量,其分布函數(shù),為,如果存在非負(fù)可積的,二元函數(shù),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì),有,則稱(X,Y)為,稱為(X，Y)的,或X與Y 的聯(lián)合密度函數(shù).,簡(jiǎn)

6、稱,密度函數(shù).,記為,二維連續(xù)型隨機(jī)向量,概率密度函數(shù),定義3.5,設(shè),是二維隨機(jī)向量,其分布函數(shù),為,如果存在非負(fù)可積的,二元函數(shù),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì),有,則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)向量,稱為(X，Y)的概率密度函數(shù),或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù).,簡(jiǎn)稱,密度函數(shù).,記為,密度函數(shù)具有性質(zhì):,對(duì)平面上任意,有,特殊地,對(duì)平面上的任一矩形區(qū)域,有,（非負(fù)性）,（歸一性）,可度量的區(qū)域D,例,解,其中 為平面上的,一個(gè)可度量的有界區(qū)域,其,所以,確定C的值.,面積為S(G),設(shè)二維隨機(jī)向量,定義,如果二維隨機(jī)向量,的概率密度為,其中G為平面上的,一個(gè)可度量的有界區(qū)域,G的面積,則稱隨機(jī)向量,此時(shí)對(duì)

7、平面上任意,可度量的區(qū)域D,均勻分布,對(duì)應(yīng)幾何概率.,是,服從G上的均勻分布.,G,例,設(shè)隨機(jī)向量,的密度函數(shù)為,其它,（1）求k；,解,例,其它,（2）求概率,解,例,求(1),的聯(lián)合分布函數(shù);,解,隨機(jī)向量,解,例,求(2),隨機(jī)向量（X，Y）,落入以點(diǎn),為頂點(diǎn)的正方形,設(shè)隨機(jī)向量,區(qū)域的概率.,2.邊緣密度函數(shù),設(shè)連續(xù)型隨機(jī)向量,的聯(lián)合密度為,則,是連續(xù)型隨機(jī)變量，,其密度函數(shù)為,證,由密度函數(shù)的定義，,另一方面，,稱為密度函數(shù),關(guān)于X的邊緣密度函數(shù),由聯(lián)合密度函數(shù)的定義,例,求邊緣密度.,設(shè)隨機(jī)向量,服從,上的均勻分布,即,其它,例 設(shè),求邊緣密度.,所以,其它,解,其它,X服從0,2

8、上的均勻分布.,例,求邊緣密度.,所以,其它,解,其它,Y服從0,2上的均勻分布.,例,設(shè)隨機(jī)向量,服從,上的,即,其它,求邊緣密度.,均勻分布,例,其它,解,其它,X不服從均勻分布.,求邊緣密度.,求邊緣密度.,解,其它,Y不服從均勻分布.,其它,四、二維正態(tài)分布,定義,則稱(X,Y)服從,其中參數(shù),設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)向量,如果其概率密度,函數(shù)為,的二維正態(tài),記為,均為常數(shù),且,參數(shù)為,分布,定理,二維正態(tài)分布,的邊緣分布,為一維正態(tài)分布.,即若,則,即,二維正態(tài)分布中的參數(shù),分別是X和Y的,分別是X和Y的方差.,數(shù)學(xué)期望；,定理,若二維正態(tài)分布,中,則( X,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為,兩個(gè)邊緣密度函數(shù)的,乘積.,證,=0時(shí)，,結(jié)論:,1.二維正態(tài)分布,的邊緣分布,是一維正態(tài)分布.,即若,則,不同的二維正態(tài)分布,可以有相同的邊緣分布.,如,(X,Y)和(,),是兩個(gè)不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布:,相同.,故由邊緣分布,不能唯一確定聯(lián)合分布.,