高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.3第3課時函數(shù)的最大小值與導數(shù)學案新人教A版選修

1、1.3第三課時 函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù)一、課前準備1課時目標（1）了解函數(shù)最值的意義，了解最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系.（2）會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值和最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.2基礎(chǔ)預探(1) 函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在上 最大值與最小值(2) 利用導數(shù)求函數(shù)的最值的基本步驟 設(shè)函數(shù)在在（a,b）內(nèi)可導，在閉區(qū)間上圖象是 的，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內(nèi)的 ；將的各極值與 比較，得出函數(shù)在上的最值，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.二、學習引領(lǐng)對于函數(shù)的最值問題，應該注意以下幾點：1. 依據(jù)最值的含義,在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)

2、，在上,既有最大值又有最小值2. 在開區(qū)間內(nèi)圖象連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值.3. 函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；而函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的4. 函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件如函數(shù)在上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其圖象卻不是連續(xù)不斷的,如圖所示.5. 函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能一個沒有.6. 若函數(shù)f(x)只有一個極值，則必為最值.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上遞增，則，；若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b

3、上遞減，則，.三、典例導析題型一 用導數(shù)求函數(shù)的最值例1 已知a為實數(shù)，,若，求在2,2 上的最大值和最小值.思路導析：先求導,再由求實數(shù)a.令,求極值點和極值,最后比較大小求最值.解: 由原式得由 得,此時有.由得或x=1 .當變化時，的變化如下表-遞增極大值遞減極小值遞增所以f(x)在2,2上的最大值為最小值為規(guī)律總結(jié)：事實上,用導數(shù)求一些非基本初等函數(shù)的最值問題,是求函數(shù)極值的進一步深入.當求得函數(shù)在一個閉區(qū)間上的極值后,再與區(qū)間端點的函數(shù)值進行大小比較,即可求得最值,所以其關(guān)鍵步驟,還是求函數(shù)極值.變式訓練1設(shè)函數(shù).試求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.題型二 由函數(shù)最值求參數(shù)的取值或取值范圍例2

4、 已知函數(shù)，其中若函數(shù)在處取得最大值，求實數(shù)的取值范圍思路導析:求實數(shù)的取值范圍,一般需要找到關(guān)于的等價不等式,通過解不等式,得到的范圍.依據(jù)函數(shù)的特點,判斷函數(shù)取得最值的可能時刻,并求出可能的表達式,最后依據(jù)最值的意義得不等式,解不等式得解.解:由題意知,. 則.令，即. 由于 ，可設(shè)方程的兩個根為，由得.由于所以，不妨設(shè)，當時,為極小值,所以在區(qū)間上,在或處取得最大值；當時，由于在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為.綜上，函數(shù)只能在或處取得最大值又已知在處取得最大值，所以,即，解得，又因為，所以（規(guī)律總結(jié):上述問題中,判斷取得最值的時刻,用參數(shù)a表示可能的最值，是解決該類問題的關(guān)鍵.等價轉(zhuǎn)

5、化是主要解題過程.變式訓練2已知函數(shù)在內(nèi)有最小值.(1)求的取值范圍;(2)函數(shù)在內(nèi)能否有最大值？若能,求出的取值范圍,若沒有,說明理由.題型三 實際問題中的函數(shù)最值例3 為倡導環(huán)保低碳生活,同時增加企業(yè)利潤,某低碳科技企業(yè)擬投入適當?shù)膹V告費對產(chǎn)品進行促銷,在2016年內(nèi),預計年銷量(萬件)與廣告費 (萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為,已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投人為3萬元，每生產(chǎn)l萬件此產(chǎn)品需再投入32萬元若每件售價為“年平均每件成本的150”與“年平均每件所占廣告費的50”之和.年利潤=年收入年成本年廣告費.(1)試將年利潤(萬元)表示為年廣告費 (萬元)的函數(shù).(2)當年廣告費投入多少萬元時,企業(yè)年利

6、潤最大?思路導析:依據(jù)題設(shè)要求, 將年利潤(萬元)表示為年廣告費 (萬元)的函數(shù),判斷該函數(shù)的極值,并求最值,回答實際問題.解：(1)由題意，每年產(chǎn)銷萬件,共計成本為萬元,銷售收入是.故所求的函數(shù)關(guān)系式為. (2)由(1)可得：,令，則或(舍去).又，又在上只有一個極值點，所以每年廣告費投入7萬元時,企業(yè)年利潤最大規(guī)律總結(jié):依題意建立目標函數(shù),是解決該類問題的關(guān)鍵步驟.當該目標函數(shù)為簡單非基本初等函數(shù)時,一般通過求導研究該函數(shù)的性質(zhì),判斷取得最值的時刻,求得最值.在實際問題中,若只有一個極值點,則該極值點為最值點.變式練習3 制作一個圓柱形鍋爐,容積為兩個底面的材料每單位面積的價格為元，側(cè)面的

7、材料每單位面積價格為元,當造價最低時,鍋爐底面半徑與鍋爐高的比是（ ）A. B. C. D. 四、隨堂練習1下列說法中正確的是（ ）A.函數(shù)若在定義域內(nèi)有最值和極值,則其極大值便是最大值,極小值便是最小值B.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值,也一定有極值C.若函數(shù)在其定義域上有最值,則一定有極值;反之,若有極值,則一定有最值D.若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值,則最多有一個最大值,一個最小值,但若有極值,則可能有多個極值2在區(qū)間上的最大值為，則=（ ）A.B. C. D. 或3. 已知函數(shù)(為常數(shù)）在有最大值，那么此函數(shù)在 上的最小值是（ ）A. B. C. D.以上都不對4. 函數(shù)的最大值是 .5. 函

8、數(shù)的值域為 .6. 已知函數(shù)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；五、課后作業(yè)1已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值,則函數(shù)在區(qū)間上一定（ ） A有最小值B有最大值C是減函數(shù) D是增函數(shù)2電動自行車已逐漸成為重要的交通工具之一.電動自行車的耗電量y與速度(公里)之間有如下關(guān)系：,為使耗電量最小,則速度應定為每小時 ( )公里?A.10 B.15 C.20 D.253. 設(shè)函數(shù),則在區(qū)間的最小值為 4. 將8分為兩數(shù)之和,使兩個數(shù)的立方和為最小,則分成的兩數(shù)為 . A.2和6 B.4和4 C.3和5 D.以上都不對5. 將一段長為100 cm的鐵絲截成兩段,一段彎成圓,一段變成正方形問如何截法使正方形與圓面積之和最小,并

9、求出最小面積6. 已知函數(shù).（）求的最小值；（）若對所有都有，求實數(shù)的取值范圍.1.3第三課時 函數(shù)的最大(小)值答案及解析一、2. 基礎(chǔ)預探(1) 必有;(2) 連續(xù)不斷; 極值; 、.三、變式練習1.解:函數(shù)的定義域為.對函數(shù)求導得:，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時,函數(shù)取得最大值 ,. 2. 解:.令在內(nèi)有解,即.(1) 由題意知,即,而且當時, 時,所以當時, 在內(nèi)取極小值且唯一,故為最小值,因此的取值范圍為.(2)由(1)可知,如果在內(nèi)有解,只可能是,而且在 兩側(cè)的符號只能是左負右正,不具備取極大值的條件,所以函數(shù)在內(nèi)沒有最大值.3. 答案:C. 解析：設(shè)鍋爐底面半徑和高分別為,

10、則,總造價,得即時取極大值,即最大值.故選C.四、隨堂練習1答案:D. 解析：根據(jù)函數(shù)極值和最值的定義知, 函數(shù)在給定區(qū)間上有最值,最多有一個最大值和一個最小值,但極值可以有多個,故選D.2. 答案:C.解析：在上的最大值為，且在時，解之或（舍去），選C3. 答案：A.解析:,解得或(舍去)，為極大值點且唯一,為最大值點.所以.,故最小值為.故選A.4. 答案:.解析：,因此,當時,.5.答案: .解析:,解得,可判斷為極大值點,當 時,所以值域為.6. 解：由，可得當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又,所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為五、課后作業(yè)1.答案D.解析:由題設(shè)知,因為，又,所以在遞增.2. 答案:C.解析:,解得,此時取極小值且唯一,即最小值,所以電動自行車的速度應定為公里/小時.3. 答案:.解析：,可以判斷為極小值點且唯一,即最小值點.最小值為.4.答案: 4和4.解析：設(shè)其中一數(shù)為，則另一數(shù)為,兩數(shù)的立方和為.,當時,取極小值且唯一,即最小值,所以分成的兩數(shù)為4和4.5. 解：設(shè)彎成圓的一段長為cm,另一段長為cm，設(shè)正方形與圓的面積之和為，則所以，令得( cm)