高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1兩角和與差的正弦余弦和正切公式3.1.1兩角差的余弦公式知識巧解學(xué)案新人教A版必修

1、3.1.1 兩角差的余弦公式皰工巧解牛知識巧學(xué)一、兩角差的余弦公式1.推導(dǎo)方法1(向量法)：把cos(-)看成是兩個向量夾角的余弦，可以考慮利用兩個向量的數(shù)量積來研究.如圖3-1-2，設(shè)、的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)P1(cos,sin),P2(cos,sin)，由于余弦函數(shù)是周期為2的偶函數(shù)，所以我們只需考慮0-的情況.圖3-1-2 設(shè)向量a=(cos,sin)，b=(cos,sin)，則ab=|a|b|cos(-)=cos(-);另一方面，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有ab=coscos+sinsin，所以cos(-)=coscos+sinsin.于是對于任意的、都有上述式子成立.圖3-1-3 推導(dǎo)

2、方法2(三角函數(shù)線法)：設(shè)、-都是銳角，如圖3-1-3，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1,POP1=,則POx=-；過點(diǎn)P作PMx軸于M，則OM即為-的余弦線.在這里，我們想法用、的三角函數(shù)線來表示OM；過點(diǎn)P作PAOP1于A，過點(diǎn)A作ABx軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)P作PCAB于點(diǎn)C，則OA表示cos，AP表示sin，并且PAC=P1Ox=,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcos+APsin=coscos+sinsin,即cos(-)=coscos+sinsin.2.公式的結(jié)構(gòu)特征記憶要訣 公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)之積，連接符號與左邊的連接符號相反.3.兩角差的余弦公式C-的應(yīng)用(1)若所求角能

3、表示成兩個特殊角的差的形式，則所求角的三角函數(shù)值可用兩個特殊角的三角函數(shù)值表示出來.(2)已知角、的弦函數(shù)值，求cos(-)的值. 由cos(-)的展開式可知要求cos(-)的值，只需求得、的正弦值與余弦值即可.其中sin、cos，sin、cos都是同角的三角函數(shù)關(guān)系.(3)利用兩角差的余弦公式證明三角恒等式.(4)利用兩角差的余弦公式化簡三角函數(shù)式.學(xué)法一得 公式使用時(shí)不僅要會正用，還要能夠逆用，在很多時(shí)候，逆用更能簡潔地處理問題.如由cos50cos20+sin50sin20能迅速地想到cos50cos20+sin50sin20=cos(50-20)=cos 30=.誤區(qū)警示 和差角的余弦

4、公式不能按分配律展開，即cos()coscos.典題熱題知識點(diǎn)一 已知角、的三角函數(shù)值，求cos(-)的值例1 已知sin=，(,),求cos(-)的值.思路分析：由于是特殊角，根據(jù)cos(-)的展開式，只需求出cos的值即可.解：sin=,(,)，cos=.cos(-)=coscos+sinsin=.例2 已知sin=，cos=，、均為第二象限角，求cos(-).思路分析：由cos(-)的展開式可知要求cos(-)的值，還需求出cos、sin.解：由sin=，為第二象限角，cos=.又由cos=，為第二象限角，sin=.cos(-)=coscos+sinsin=.方法歸納 若所求角能用已知角

5、表示出來，則所求角的三角函數(shù)值可用已知角的三角函數(shù)值表示出來，因此合理進(jìn)行角的變換是解題的關(guān)鍵.例3 求函數(shù)y=cosx+sinx的周期、最值及取得最值時(shí)x的集合.思路分析：利用三角恒等變換，先把函數(shù)式化簡，再求相應(yīng)的值.解：y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2(cosxcos+sinxsin)=2cos(x-).所以所求周期為2.當(dāng)x-=2k,kZ，即x|x=+2k,kZ時(shí)，ymax=2；同理,可知當(dāng)x|x=-+2k,kZ時(shí)，ymin=-2.例4 已知cos+cos=,sin+sin=，求cos(-)的值.思路分析：由于兩角和、差的余弦公式與同名的兩個三角函數(shù)的積有關(guān)，根據(jù)條

6、件，將其平方后即可構(gòu)造出同名的三角函數(shù)之積的形式.解：將cos+cos=,sin+sin=的兩邊分別平方并整理，得cos2+cos2+2coscos=,sin2+sin2+2sinsin=.把上述兩式的兩邊分別相加，得2+2(coscos+sinsin)=1,即cos(-)=.方法歸納 要牢記C-的展開式的特點(diǎn)，著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換是解好本題的關(guān)鍵.知識點(diǎn)二 利用兩角差的余弦公式證明三角恒等式例5 利用差角余弦公式證明下列等式：(1)cos(-)=-cos；(2)cos(-)=-sin.思路分析：直接利用差角余弦公式展開，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡證明.證明：(1)cos(-)=cosco

7、s+sinsin=-cos+0sin=-cos;(2)cos(-)=coscos+sinsin=0cos-1sin=-sin.例6 證明cos+sin=2cos(-).思路分析：由于右邊是我們熟悉的兩角差的余弦形式，所以可從展開右邊入手，把復(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩單角的三角函數(shù)的形式.證明：右邊=2(coscos+sinsin)=cos+sin=左邊，原式成立.知識點(diǎn)三 逆用兩角差的余弦公式化簡三角函數(shù)式例7 化簡下列各式：(1)cos(+)cos+sin(+)sin；(2)cos50cos20+cos40sin20.思路分析：逆用兩角差的余弦公式化簡的關(guān)鍵是觀察題目的特點(diǎn)，從整體出發(fā)，利用誘導(dǎo)

8、公式，轉(zhuǎn)化成兩角差的形式.逆用公式求值是一種常見思路.解：(1)原式=cos(+)-=cos；(2)原式=cos50cos20+sin50sin20=cos(50-20)=cos30=.方法歸納 通過對變換對象和變換目標(biāo)進(jìn)行對比、分析，逐步學(xué)會如何根據(jù)題設(shè)與結(jié)論的特點(diǎn)選擇公式、變形公式，從而找到兩者間的聯(lián)系是我們學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，為此可從角的角度、函數(shù)名稱的角度及式子結(jié)構(gòu)形式的角度入手去分析解決問題.問題探究思想方法探究問題 在三角恒等變換中，角的變換是解決問題的有效手段，在本節(jié)當(dāng)中，角有哪些變換方法？在解題中如何應(yīng)用？探究過程:角的代換的實(shí)質(zhì)是根據(jù)解題的需要靈活處理角的形式，也就是將單角、倍角的形

9、式變成幾個角的和或差，而這些角的和或差在題目中已知，如：若、均為銳角，且cos=,cos(+)=，求cos的值.如果展開cos(+)進(jìn)行運(yùn)算則煩瑣難解，但若利用=(+)-代換，也就是cos=cos(+)-，則解法十分簡便，大大降低問題的難度.探究結(jié)論:本節(jié)涉及角的以下幾種變換，在以后解題中常常見到，請你多加注意.常見的角的代換關(guān)系有：=(+)-；=-(-)；=(+)-；2=(+)+(-)；2=(+)-(-)等.方案設(shè)計(jì)探究問題 在自然界中，存在著大量的周期函數(shù)，研究這些周期函數(shù)有利于我們在科學(xué)技術(shù)中加以應(yīng)用.兩個周期函數(shù)合成后，是否還是周期函數(shù)？如果是周期函數(shù)，那么函數(shù)的類型是否發(fā)生了改變?比

10、如兩個正弦電流i1=sin(100t+)和i2=sin(100t-)合成后是否仍是正弦電流呢？類似地，兩個聲波和光波合成后又是怎樣的？探究思路:利用現(xiàn)代信息技術(shù)作一研究，可以按下面的程序進(jìn)行操作，也可以設(shè)計(jì)其他的研究方案.1.上網(wǎng)搜尋并安裝繪圖軟件；2.分別選取不同的函數(shù)y=asinx+bcosx，猜想你所選取的y=asinx+bcosx的化簡后的類型，再利用繪圖工具繪制出其圖象，并與y=asinx+bcosx的圖象對比；3.嘗試確定猜測的該類型函數(shù)中的參變量與y=asinx+bcosx中a、b的關(guān)系，得出asinx+bcosx的化簡公式；4.嘗試采用不同的方法證明得出的結(jié)論，并說明與其相關(guān)聯(lián)的三角變換公式之間的聯(lián)系；5.利用結(jié)論求前面提到的兩正弦電流合成后的電流的振幅、周期、初相.探究結(jié)論:由于兩電流分別為i1=sin(100t+)，i2=sin(100t-)，將它們相加后，可以寫成i=i1+i2=sin(100t+)+sin(100t-)，利用正弦的和角公式S(+)，可得到i=(si