西安交通大學(xué)熱傳學(xué)課件：TGH-HT-chap4

1、傳熱學(xué) Heat Transfer,第四章 導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法,內(nèi)容簡介： 本章介紹了數(shù)值求解物理問題的基本思想，以二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題和一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例，介紹了采用有限差分法數(shù)值求解導(dǎo)熱問題的基本過程。,學(xué)習(xí)重點(diǎn)：,掌握從能量守恒定律出發(fā)建立離散方程的方法,代數(shù)方程的迭代求解方法,傳熱學(xué) Heat Transfer,4-1 數(shù)值求解的基本思想,一、基本思想,分析解：,對導(dǎo)熱微分方程在定解條件下的積分求解,數(shù)值解：,用求解區(qū)域上空間、時間坐標(biāo)系中的離散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場，用大量的代數(shù)方程代替微分方程,傳熱學(xué) Heat Transfer,傳熱學(xué) Heat Transfer,2.比較,分析

2、解,(3)分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見,(1)能獲得研究問題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù),(2)局限性很大，對復(fù)雜問題無法求解,數(shù)值解,(2) 彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性，原則上可以求解一切導(dǎo)熱問題. 2D,3D,復(fù)雜幾何形狀，復(fù)雜BC，物性不均勻等,(1)近似解,(3) 與實(shí)驗(yàn)法相比成本低,傳熱學(xué) Heat Transfer,二、基本步驟,傳熱學(xué) Heat Transfer,物理問題：2D, 矩形域, 穩(wěn)態(tài), 無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題, IIBC & IIIBC,傳熱學(xué) Heat Transfer,數(shù)學(xué)描寫,傳熱學(xué) Heat Tra

3、nsfer,將求解區(qū)域按照一定規(guī)則劃分為許多小區(qū)域，這個過程稱作區(qū)域離散。每個小的區(qū)域(控制容積,CV)的物理量值由一個點(diǎn)節(jié)點(diǎn)來表示,區(qū)域離散,m,n,傳熱學(xué) Heat Transfer,每一個節(jié)點(diǎn)都與它相鄰的節(jié)點(diǎn)存在一定的關(guān)系，通過相應(yīng)的物理定律，可建立它們之間的關(guān)系式（代數(shù)方程式），此關(guān)系式又稱作節(jié)點(diǎn)的離散方程。,建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程,傳熱學(xué) Heat Transfer,把所有節(jié)點(diǎn)的離散方程聯(lián)立起來，會組成一個封閉的方程組，對代數(shù)方程組的求解可采用直接解法或迭代求解，更多的是采用迭代解法。,求解代數(shù)方程組,傳熱學(xué) Heat Transfer,1.推導(dǎo),三、獲得離散方程的Taylor展開

4、法,假定滿足連續(xù)性條件，都可作Taylor展開,傳熱學(xué) Heat Transfer,兩式左右兩邊分別相加，得到二階導(dǎo)數(shù)的中心差分表達(dá)式,截?cái)嗾`差 未明確寫出的級數(shù)余項(xiàng)中 的x的最低階數(shù)為2,傳熱學(xué) Heat Transfer,2.注意,數(shù)值解是一種近似解,各階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式分子各項(xiàng)系數(shù)代數(shù)和為零,傳熱學(xué) Heat Transfer,四、熱平衡法,2.依據(jù)定律：,能量守恒定律；Fourier導(dǎo)熱定律,1.基本思想：,對每個節(jié)點(diǎn)所代表的控制體列能量守恒方程式，從而得出該點(diǎn)與其它節(jié)點(diǎn)的關(guān)系式,傳熱學(xué) Heat Transfer,3.具體推導(dǎo),規(guī)定熱量進(jìn)入為正,傳熱學(xué) Heat Transfer,4

5、-2 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程建立及代數(shù)方程求解,傳熱學(xué) Heat Transfer,一、建立IIBC & IIIBC邊界節(jié)點(diǎn)離散方程,為不失一般性，假設(shè)物體內(nèi)部有內(nèi)熱源，x及y均勻,1.平直邊界,qw,(m, n),(m,n+1),(m,n-1),(m-1,n),傳熱學(xué) Heat Transfer,2.外角點(diǎn),qw,(m, n),(m,n-1),(m-1,n),傳熱學(xué) Heat Transfer,3.內(nèi)角點(diǎn),傳熱學(xué) Heat Transfer,二、不規(guī)則邊界,階梯逼近法,傳熱學(xué) Heat Transfer,寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程n個未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個代數(shù)方程式：,代數(shù)方程組的求解方法

6、：直接解法、迭代解法,三、代數(shù)方程組求解,傳熱學(xué) Heat Transfer,1.直接解法,Cramer法則,傳熱學(xué) Heat Transfer,求解n階線性方程組，需計(jì)算n+1個行列式，,如果取n=20，N=9.71020，,每個行列式是n！個乘積的和，,每個乘積是n個數(shù)相乘，需要做n-1次乘法，,共需乘法次數(shù)(n+1)n!(n-1)，,1億次乘法/s的計(jì)算機(jī)，需計(jì)算30.8萬年,傳熱學(xué) Heat Transfer,Gauss消元法,共需乘法次數(shù)n3/3+n2-n/3， 如果取n=20，N=3060,適用變量個數(shù)小于50,直接解法缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大,方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題。,傳

7、熱學(xué) Heat Transfer,2.迭代法,假設(shè)初場，,Jacobi迭代，迭代代入值總為上輪得到的值,Gauss-Seidel迭代，將本輪得到的值也代入，計(jì)算機(jī)內(nèi)存更省,不斷更新，,收斂,傳熱學(xué) Heat Transfer,在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時應(yīng)按下式（采用最新值）,例如：根據(jù)第 k 次迭代的數(shù)值,可以求得節(jié)點(diǎn)溫度：,傳熱學(xué) Heat Transfer,是否合理？,分母可能為零,迭代收斂,傳熱學(xué) Heat Transfer,主對角占優(yōu)原則,迭代公式的選擇應(yīng)使每一個迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對值的代數(shù)和，此時，用迭代法求解代數(shù)方程，一定收斂,傳熱學(xué) Heat Trans

8、fer,4-3 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解,在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題中，不但需要對空間區(qū)域進(jìn)行離散，還需要對時間變量進(jìn)行離散，接下來以一個一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題為例，重點(diǎn)介紹對非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散方法，以及不同離散方法對計(jì)算帶來的影響等。,傳熱學(xué) Heat Transfer,一、物理問題和數(shù)學(xué)描述,厚度 2 的無限大平壁，、a為已知常數(shù)，=0時溫度為 t0，突然將其放置于兩側(cè)溫度為 t并保持不變的流體中，兩側(cè)表面與流體之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。,傳熱學(xué) Heat Transfer,二、離散方程的建立,1.熱平衡法,對于節(jié)點(diǎn) n 在 i 時刻的所代表的控制容積建立熱平衡關(guān)系。,從左右兩側(cè)導(dǎo)入的熱量等于單位時間容積的內(nèi)能增量。,內(nèi)節(jié)點(diǎn),傳熱學(xué) Heat Transfer,傳熱學(xué) Heat Transfer,右端邊界節(jié)點(diǎn),左端對稱,傳熱學(xué) Heat Transfer,2.直接用差分代替微分,向前差分(forward difference),向后差分(backward difference),中心差分(centre difference),傳熱學(xué) Heat Transfer,三、穩(wěn)定性分析(stability),擴(kuò)散項(xiàng)用i1時層值得到的離散方程又稱為隱式格式。該格式的優(yōu)點(diǎn)是無條件穩(wěn)定，但缺點(diǎn)是需對每一個時間層進(jìn)行聯(lián)立求解。,擴(kuò)散項(xiàng)用i時層值表示得到的離散方程又稱為顯式格式。該格式的