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文檔簡介

1、教學(xué)目的：掌握常見一階微分方程的求解 方法,難 點(diǎn)：一階線性非齊次微分方程的 通解,重 點(diǎn)：可分離變量的微分方程、齊 次方程和一階線 性微分方程,第二講 一階微分方程的解法,主視圖,則稱為可分離變量的微分方程.,解法,為微分方程的通解.,分離變量法,如果一階微分方程能化為,可分離變量法,例 求解微分方程,解,分離變量,兩端積分得,故:,例題,解 分離變量， 得,兩邊積分,因此， 通解為,于是， 所求特解為,例題,解,由題設(shè)條件,衰變規(guī)律,例題,回主視圖,利用微分方程解決實(shí)際問題的步驟：,一、利用問題的性質(zhì)建立微分方程， 并寫出初始條件；,二、利用數(shù)學(xué)方法求出方程的通解；,三、利用初始條件確定任

2、意常數(shù)的值， 求出特解,解題步驟,回主視圖,的微分方程稱為齊次方程.,2.解法,作變量代換,代入原式,可分離變量的方程,1.定義,齊次微分方程,例 求解微分方程,把變量代回得微分方程的解為,解,例題,例 求解微分方程,解,微分方程的通解為,滿足初始條件,的特解,原方程可化為,所求特解為,例題,例 求解微分方程,解,令,則,分離變量， 并兩邊積分,微分方程的通解為,例題,回主視圖,一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,上方程稱為一階線性齊次方程.,上方程稱為一階線性非齊次方程.,例如,線性的;,非線性的.,一階線性微分方程,回主視圖,齊次方程的通解為,線性齊次方程,(使用分離變量法),一階線性齊次微分方

3、程解法,回主視圖,線性非齊次方程,討論: 設(shè)y=f(x)是解, 則,積分,非齊方程通解形式,一階線性非齊次方程解法,回主視圖,把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.,設(shè)解為,積分得,非齊方程通解,常數(shù)變易法,例 求解微分方程,對應(yīng)齊次方程為,故所求通解為,分離變量得,兩邊積分有,代入原非齊次方程， 得,常數(shù)變易法例題,根據(jù)公式有:,公式法例題,因此， 所求特解為,例題,回主視圖,例 求解微分方程,解 原方程不是線性方程， 但通過適當(dāng)?shù)淖儞Q, 可將它化為線性方程 將原方程改寫為,由通解公式， 得通解,所以， 原方程通解為,例題,回主視圖,一階線性非齊次微分方程的通解為:,對應(yīng)齊次方程通解,非齊次方程特解,對應(yīng)齊次方程通解與非齊次方程特解之和.,所以,通解,回主視圖,的方程,稱為伯努利(Bernoulli)方程.,方程為非線性微分方程.,方程為線性微分方程.,解法: 經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,一般地,形如

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