高中數(shù)學 4.2.2 圓與圓的位置關系教案 新人教版A版必修

1、4.2.2 圓與圓的位置關系整體設計教學分析 本節(jié)課研究圓與圓的位置關系,重點是研究兩圓位置關系的判斷方法,并應用這些方法解決有關的實際問題.教材是在初中平面幾何對圓與圓的位置關系的初步分析的基礎上結合前面學習的點與圓、直線與圓的位置關系,得到圓與圓的位置關系的幾何方法,用代數(shù)的方法來解決幾何問題是解析幾何的精髓,是平面幾何問題的深化,它將是以后處理圓錐曲線的常用方法.因此,增加了用代數(shù)方法來分析位置關系,這樣有利于培養(yǎng)學生數(shù)形結合、經歷幾何問題代數(shù)化等解析幾何思想方法及辯證思維能力,其基本思維方法和解決問題的技巧對今后整個圓錐曲線的學習有著非常重要的意義.根據(jù)學生的基礎,學習的自覺性和主動性

2、,自主學習和探究學習能力,平時的學習養(yǎng)成的善于觀察、分析和思考的習慣,同時由于本節(jié)課從內容結構與思維方法上與直線與圓的位置關系相似,學生對上節(jié)課內容掌握較好,從而本節(jié)課從學生學習的角度來看不會存在太多的障礙,因而教學方法可以是引導學生從類比直線與圓位置關系來自主研究圓與圓的位置關系.三維目標 使學生理解并掌握圓和圓的位置關系及其判定方法.培養(yǎng)學生自主探究的能力.通過用代數(shù)的方法分析圓與圓的位置關系,使學生體驗幾何問題代數(shù)化的思想,深入了解解析幾何的本質,同時培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力,并進一步體會數(shù)形結合的思想.重點難點教學重點：求弦長問題,判斷圓和圓的位置關系.教學難點:判斷圓和圓的位

3、置關系.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.平面幾何中,圓與圓的位置關系有哪幾種呢？如何判斷圓與圓之間的位置關系呢？判斷兩圓的位置關系的步驟及其判斷方法如下:第一步：計算兩圓的半徑R,r；第二步：計算兩圓的圓心距O1O2,即d；第三步：根據(jù)d與R,r之間的關系,判斷兩圓的位置關系.兩圓的位置關系：外離外切相交內切內含dR+rd=R+r|R-r|dR+rd=|R-r|d|R-r| 在解析幾何中,我們用代數(shù)的方法如何判斷圓與圓之間的位置關系呢？這就是我們本堂課研究的課題,教師板書課題圓與圓的位置關系.思路2.前面我們學習了點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系,那么,圓與圓的位置關系有哪幾種呢？如

4、何判斷圓與圓之間的位置關系呢？教師板書課題:圓與圓的位置關系.推進新課新知探究提出問題初中學過的平面幾何中,圓與圓的位置關系有幾種？判斷兩圓的位置關系,你有什么好的方法嗎？你能在同一個直角坐標系中畫出兩個方程所表示的圓嗎？根據(jù)你所畫出的圖形,可以直觀判斷兩個圓的位置關系.如何把這些直觀的事實轉化為數(shù)學語言呢？如何判斷兩個圓的位置關系呢？若將兩個圓的方程相減,你發(fā)現(xiàn)了什么？兩個圓的位置關系是否可以轉化為一條直線與兩個圓中的一個圓的關系的判定呢？活動： 教師引導學生回顧學過的知識、舉例,并對學生活動進行評價；學生回顧知識點時,可互相交流.教師引導學生閱讀教科書中的相關內容,注意個別輔導,解答學生疑

5、難,并引導學生自己總結解題的方法.學生觀察圖形并思考,發(fā)表自己的解題方法.教師應該關注并發(fā)現(xiàn)有多少學生利用“圖形”求解,對這些學生應該給予表揚.同時強調,解析幾何是一門數(shù)與形結合的學科.啟發(fā)學生利用圖形的特征,用代數(shù)的方法來解決幾何問題.教師指導學生利用兩個圓的圓心坐標、半徑長、連心線長的關系來判別兩個圓的位置.學生互相探討、交流,尋找解決問題的方法,并能通過圖形的直觀性,利用平面直角坐標系的兩點間距離公式尋求解題的途徑.討論結果：初中學過的平面幾何中,圓與圓的位置關系有五類,分別是外離、外切、相交、內切、內含.判斷兩圓的位置關系,我們可以類比直線與圓的位置關系的判定,目前我們只有初中學過的幾

6、何法,利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關系判斷.略.根據(jù)所畫出的圖形,可以直觀判斷兩個圓的位置關系.用幾何的方法說就是圓心距(d)與兩圓半徑(r,R)的和與差之間的關系.判斷兩個圓的位置關系.一是可以利用幾何法,即兩個圓的圓心坐標、半徑長、連心線長的關系來判別兩個圓的位置關系.設兩圓的連心線長為l,則判別圓與圓的位置關系的依據(jù)有以下幾點：1當dR+r時,圓C1與圓C2外離；2當d=R+r時,圓C1與圓C2外切；3當|R-r|dR+r時,圓C1與圓C2相交；4當d=|R-r|時,圓C1與圓C2內切；5當d|R-r|時,圓C1與圓C2內含； 二是看兩圓的方程組成的方程組的實數(shù)解的情況,解兩個圓的

7、方程所組成的二元二次方程組.若方程組有兩組不同的實數(shù)解,則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實數(shù)解,則兩圓相切；若無實數(shù)解,兩圓相離.總結比較兩種方法的優(yōu)缺點.幾何方法：直觀,容易理解,但不能求出交點坐標.代數(shù)方法：1只能判斷交點,并不能準確的判斷位置關系(有一個交點時不能判斷內切還是外切,無交點時不能判斷內含還是外離).2優(yōu)點是可以求出公共點.若將兩個圓的方程相減,得到一個一元一次方程,既直線方程,由于它過兩圓的交點,所以它是相交兩圓的公共弦的方程.兩個圓的公共點的問題可以化歸為這條公共直線與兩個圓中的一個圓的公共點的判定問題.由點到直線的距離公式來判斷.應用示例思路1例1 已知圓C1：x2+y

8、2+2x+8y-8=0,圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判斷兩圓的位置關系.活動:學生思考交流,教師引導提示,判斷兩圓的位置關系有兩種基本的方法,要合理使用.方法一看兩圓的方程組成的方程組的實數(shù)解的情況,方法二利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關系判斷.解:方法一:圓C1與圓C2的方程聯(lián)立得到方程組-得x+2y-1=0, 由得y=,把上式代入并整理得x2-2x-3=0. 方程的判別式=(-2)2-41(-3)=160,所以方程有兩個不等的實數(shù)根,即圓C1與圓C2相交.方法二:把圓C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化為標準方程,得(x+1)2+

9、(y+4)2=25與(x-2)2+(y-2)2=10.圓C1的圓心是點(-1,-4),半徑長r1=5;圓C2的圓心是點(2,2),半徑長r2=.圓C1與圓C2的連心線的長為=3,圓C1與圓C2的半徑長之和為r1+r2=5+,半徑長之差為r1-r2=5-.而5-35+,即r1-r23r1+r2,所以圓C1與圓C2相交,它們有兩個公共點A、B.點評:判斷兩圓的位置關系,一般情況下,先化為標準方程,利用幾何法判斷較為準確直觀.變式訓練 判斷下列兩圓的位置關系,如果兩圓相交,請求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1與(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x2+y2+6x-7=0與x2

10、+y2+6y-27=0.解:(1)根據(jù)題意,得兩圓的半徑分別為r1=1和r2=4,兩圓的圓心距d=5.因為d=r1+r2,所以兩圓外切.(2)將兩圓的方程化為標準方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36.故兩圓的半徑分別為r1=4和r2=6,兩圓的圓心距d=.因為|r1-r2|dr1+r2,所以兩圓相交.例2 已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長.活動：學生審題,思考并交流,探討解題的思路,教師及時提示引導,因兩圓的交點坐標同時滿足兩個圓方程,聯(lián)立方程組,消去x2項、y2項,即得兩圓的兩個

11、交點所在的直線方程,利用勾股定理可求出兩圓公共弦長.解:設兩圓交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則A、B兩點坐標滿足方程組-,得3x-4y+6=0.因為A、B兩點坐標都滿足此方程,所以3x-4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程.易知圓C1的圓心(-1,3),半徑r=3.又點C1到直線的距離為d=.所以AB=2,即兩圓的公共弦長為.點評:處理圓有關的問題,利用圓的幾何性質往往比較簡單,要注意體會和應用.思路2例1 求過點A(0,6)且與圓C:x2+y2+10x+10y=0切于原點的圓的方程.圖1活動:學生思考交流,回顧圓的方程的求法,教師引導學生注意題目的條件,靈活處理,如圖1.所求

12、圓經過原點和A(0,6),且圓心應在已知圓的圓心與原點的連線上.根據(jù)這三個條件可確定圓的方程.解:將圓C化為標準方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,則圓心為C(-5,-5),半徑為52.所以經過此圓心和原點的直線方程為x-y=0.設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由題意,知O(0,0),A(0,6)在此圓上,且圓心M(a,b)在直線x-y=0上,則有解得于是所求圓的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.點評:求圓的方程,一般可從圓的標準方程和一般方程入手,至于選擇哪一種方程形式更恰當,要根據(jù)題目的條件而定,總之要讓所選擇的方程形式使解題過程簡單.例2 已知O方程為x2+

13、y2=4,定點A(4,0),求過點A且和O相切的動圓圓心的軌跡方程.活動：教師引導學生回顧學過的知識,兩圓外切,連心線長等于兩圓半徑之和,兩圓內切,連心線長等于兩圓半徑之差,由此可得到動圓圓心在運動中所應滿足的幾何條件,然后將這個幾何條件坐標化,即得到它的軌跡方程.解法一：設動圓圓心為P(x,y),因為動圓過定點A,所以|PA|即為動圓半徑.當動圓P與O外切時,|PO|=|PA|+2；當動圓P與O內切時,|PO|=|PA|2.綜合這兩種情況,得|PO|PA|=2.將此關系式坐標化,得|=2.化簡可得(x2)2=1.解法二：由解法一可得動點P滿足幾何關系|OP|PA|=2,即P點到兩定點O、A的

14、距離差的絕對值為定值2,所以P點軌跡是以O、A為焦點,2為實軸長的雙曲線,中心在OA中點(2,0),實半軸長a=1,半焦距c=2,虛半軸長b=,所以軌跡方程為(x2)2=1.點評：解題的過程就是實現(xiàn)條件向結論轉化的過程,對于圓與圓,要綜合平面幾何知識、解析幾何、代數(shù)知識,將條件轉化成我們熟悉的形式,利用常規(guī)思路去解,求點的軌跡更要注意平面幾何的知識運用.知能訓練課堂練習P141練習題課堂小結本節(jié)課主要學習了圓與圓的位置關系，判斷方法：幾何方法和代數(shù)方法.作業(yè)習題4.2 A組8、9、10、11.設計感想 本節(jié)課研究圓與圓的位置關系,重點是研究兩圓位置關系的判斷方法,并應用這些方法解決有關的實際問題.圓與圓的位置關系這個課題在新課標中,被作為一個獨立的章節(jié),說明新課標對這一章節(jié)的要求已經有所提高,可見有其重要性.教材是在初中平面幾何對圓與圓的位置關系的初步分析的基礎上得到圓與圓的位置關系的幾何方法,但用代數(shù)的方法來解決幾何問題是解析幾何的精髓,是平面幾何問題的深化,它將是以后處理圓錐曲線的基本方法.因此,用代數(shù)方法來分析位置關系,這樣有利于培養(yǎng)學生數(shù)形結合、幾何問題代數(shù)化等解析幾何思想方法及辯證思維能力,其基本思維方法和解決問題的技巧對今后整個圓錐曲線的學習有著非常重要的意義.這堂課是建立在初中已經對圓與圓的位置關系有個粗略地了解的基礎