第八章---圖與網(wǎng)絡(luò)分析

1、第八章圖與網(wǎng)絡(luò)分析,1,本章內(nèi)容,圖的基本概念 最短路問題 最小樹問題 最大流問題 推銷員及中國郵路問題,2,引言,1736年瑞士科學家歐拉發(fā)表了關(guān)于圖論方面的第一篇科學論文，解決了著名的哥尼斯堡七座橋問題。 德國的哥尼斯堡城有一條普雷格爾河，河中有兩個島嶼，河的兩岸和島嶼之間有七座橋相互連接，如圖。,3,哥尼斯堡七座橋問題圖,4,哥尼斯堡七座橋問題,問題：一個漫步者如何能夠走過這七座橋，并且每座橋只能走過一次，最終回到原出發(fā)地。 1736年歐拉將這個問題抽象成由點和線構(gòu)成的一筆畫問題圖形：能否從某一點開始不重復(fù)地一筆畫出這個圖形，最終回到原點，歐拉證明了這是不可能的。 這是古典圖論中的著名問

2、題之一。,5,哥尼斯堡七橋一筆畫問題,6,A,C,D,B,引言,在實際的生產(chǎn)和生活中，人們?yōu)榱朔从呈挛镏g的關(guān)系，常常在紙上用點和線來畫出各式各樣的示意圖。 例8-1 我國北京、上海、重慶等14個城市之間的鐵路交通可以通過用點表示城市，用點與點之間的線表示城市之間的鐵路線，畫出關(guān)系示意圖。 諸如此類還有城市中的市政管道圖、民用航空線圖等。,7,14個城市之間的鐵路交通示意圖,8,太原,重慶,武漢,南京,徐州,連云港,上海,鄭州,石家莊,塘沽,青島,濟南,天津,北京,第一節(jié) 圖的基本概念,圖論中圖的基本要素是點和點之間的線。一般來說，通常用點表示研究對象、用點與點之間的線表示研究對象之間的特定關(guān)

3、系。 在一般情況下，圖中的相對位置如何，點與點之間線的長短曲直，對于反映研究對象之間的關(guān)系并不重要。 因此，圖論中的圖與幾何圖，工程圖等本質(zhì)上是不同的。,9,基本概念,圖 設(shè)V=v1,v2 ,vn, E=e1,e2,em,若對于任一ejE，均有vs,vtV與之對應(yīng)，則稱VE為圖，記為G =(V，E)。 頂點、邊、端點、關(guān)聯(lián)邊、鄰接點 在G中，稱vi為G的頂點，ej為的邊，并記為ej=(vs ,vt )=(vt ,vs )，稱vs 、vt 是ej 的端點， ej 是與vs 、vt 關(guān)聯(lián)的邊， vs 、vt 稱為鄰接的點。,10,圖的基本概念,下列無向圖G=（V，E），其中 V = v1,v2,v

4、3,v4 E = (v1,v2), (v2,v1), (v2,v3), (v3,v4), (v1,v4), (v2,v4), (v3,v3) = e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 ,v3,v2,v1,v4,v5,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,11,圖的基本概念,環(huán)、多重邊、簡單圖 如果圖中某一邊的兩個端點相同，則稱為環(huán)，如圖中的e8。如果圖中兩邊(或多邊)具有相同的一對端點，則稱為多重邊(或平行邊)，如圖中的e2、e3。 無環(huán)和無多重邊的圖 稱為簡單圖。 注意：當兩個圖的形狀看似 不同，但如果它們的頂點集、 邊集以及邊與點的關(guān)系一 一對應(yīng)，則可視為同一個圖。,v

5、3,v2,v1,v4,v5,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,12,圖的基本概念,次數(shù), 孤立點, 奇點, 偶點, 懸掛點, 懸掛邊 與頂點相關(guān)聯(lián)的邊數(shù)稱為的次數(shù)，記為d(v) 圖中, d(v1)=3 , d(v2)=5 , d(v3)=4 , d(v4)=3 , d(v5)=1 。次數(shù)為零的點稱為孤立點，如v6；次數(shù)為奇數(shù)的點稱為奇點； 次數(shù)為偶數(shù)的點稱為 偶點；次數(shù)為 1 的點 為懸掛點；與懸掛點 關(guān)聯(lián)的邊稱為懸掛邊。,v3,v2,v1,v4,v5,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,v6,13,基本定理,定理 8-1 任一圖中頂點次數(shù)之和等于邊數(shù)的二倍，即： 定理8-

6、 2 任一圖中奇點的個數(shù)必為偶數(shù)。,14,圖的基本概念,鏈、初等鏈、簡單鏈 在圖中, 從一頂點出發(fā), 經(jīng)過邊, 點, 邊,點, ，最后到達某一點，稱為中的一條鏈，用經(jīng)過這條鏈的頂點或邊表示。(v1, v2,v3,v4)是一條鏈，也可表為(e1, e5,e6) 。 若鏈中的頂點均不同， 則稱為初等鏈；若鏈中 所含的邊均不同，則稱 之為簡單鏈。簡單鏈也 稱為通路，簡稱路。,v3,v2,v1,v4,v5,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,15,圖的基本概念,圈、初等圈、簡單圈 若鏈中兩端的頂點相同，則稱此鏈為一個圈。若圈中的點都是不同的，則稱之為初等圈；若圈中所含的邊均不相同，則稱之為簡單圈

7、。 連通圖、不連通圖、子圖 圖中若任意兩點之間至少存 在一條鏈，則稱該圖為 連通圖，否則為不連通 圖。若取某圖其全部或 部分頂點及全部或部分 邊，如果構(gòu)成圖，則稱 為某圖的子圖。,v3,v2,v1,v4,v5,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,16,子圖,子圖： 設(shè) G1= V1 , E1 , G2= V2 ,E2 子圖定義：如果 V2 V1 , E2 E1 稱 G2 是 G1 的子圖； 真子圖：如果 V2 V1 , E2 E1 稱 G2 是 G1 的真子圖； 部分圖（支撐子圖）：如果 V2 = V1 , E2 E1 稱 G2 是 G1 的部分圖； 導出子圖：若V2 V1, E2=vi

8、,vj:vi,vjV2, 稱 G2 是 G1 中由V2 導出的導出子圖。,17,有向圖,許多實際問題用前述無向圖無法描述，例如交通圖中的單行道，一項工程各工序間的先后次序關(guān)系等，所以需要用有向圖描述。 定義：設(shè)V=v1,v2 ,vn, A=a1,a2,am, 若對于任一ajA, 均有有序?qū)?vs,vt)與之對應(yīng), 則稱V A為有向圖, 記作D =(V, A)。稱為 vs 頂點，aj 為弧，記為aj=(vs, vt)，在不至于混淆時也稱為邊。,18,圖的基本概念有向圖,有向圖D =（V，A） 其中V = v1,v2,v3,v4,v5, A = (v1 ,v2),(v1 ,v3),(v2 ,v3)

9、, (v2 ,v4), (v2 ,v5), (v3 ,v5), (v4 ,v5), (v5 ,v4) = a5 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 ,19,圖的基本概念有向圖,有向圖D中, 從一頂點出發(fā), 順著弧的方向,經(jīng)過弧, 點, 弧, 點, , 最后到達某一點，稱為D中的一條單向鏈或通路，簡稱路。用經(jīng)過這條單向鏈的頂點或弧表示。(v1, v2,v5,v4)是一條單向鏈，也可表為(a1, a5, a8) 。 在有向圖中，頂點的 次數(shù)分為入次和出次 （入度和出度）：,20,圖的基本概念賦權(quán)圖,如果對于給定圖G=(V, E) 的任意一邊e，有一實數(shù) W(e)與

10、之對 應(yīng)，則稱G為賦 權(quán)圖，稱 W(e) 為邊e的權(quán)。 圖中，權(quán) 賦權(quán)圖的應(yīng)用比較廣泛，例如交通圖中，權(quán)數(shù)可以是兩點之間的距離，也可以是兩地之間的單位運費、運能等，工程網(wǎng)絡(luò)圖中，權(quán)數(shù)代表工序的時間。,21,圖的基本概念賦權(quán)圖,設(shè)在賦權(quán)圖中存在一條通路，則通路上所有邊的權(quán)數(shù)之和稱為這條通路的權(quán)。 對于一個有向圖也可以定義權(quán)數(shù)使之成為有向賦權(quán)圖。 一個連通圖連同定義在其邊集上的實函數(shù) 一起稱為一個網(wǎng)絡(luò)。 若一個網(wǎng)絡(luò)的每條邊均有方向，稱為有向網(wǎng)絡(luò)；每一條邊均無方向，稱為無向網(wǎng)絡(luò)；若有些邊有向，另一些邊無向，則稱為混合網(wǎng)絡(luò)。,22,圖的矩陣描述,為便于計算機直接處理圖論問題，需矩陣化圖形。 (1) 無

11、權(quán)圖的鄰接矩陣表示 在圖中兩頂點之間有邊相連的記為1，無邊相連的記為0，對角線位置數(shù)據(jù)記為0，這樣就得到無權(quán)圖的鄰接矩陣，該矩陣一定是對稱矩陣。,23,圖的矩陣描述,（2）賦權(quán)無向圖的鄰接矩陣表示 圖中，兩頂點之間有邊相連的，寫上它們的權(quán)數(shù)，無邊相連的記為 ，表示此兩點之間是不通。對角線上的數(shù)值仍然為0。賦權(quán)無向圖對應(yīng)的矩陣也是對稱的。,24,圖的矩陣描述,（3）賦權(quán)有向圖的鄰接矩陣表示 圖中矩陣左側(cè)第一列為各條弧的起點，在每一行中，以該點為起點，按弧的方向，依次填上到各點的權(quán)數(shù)，如果不存在到該點的弧，則權(quán)數(shù)為 ，如此得到的矩陣往往不是對稱矩陣。,25,第二節(jié) 最短路問題,最短路問題：在網(wǎng)絡(luò)中

12、，給定起點，要求找出其到另一點的權(quán)數(shù)最小的通路。 它是網(wǎng)絡(luò)分析中最重要的優(yōu)化問題之一，作為一個經(jīng)常被用到的基本工具，可以解決生產(chǎn)實際中的許多問題，比如城市中的管道鋪設(shè)，線路安排，工廠布局，設(shè)備更新，等等。也可以用于解決其他的最優(yōu)化問題。 本課件下面的討論針對有向賦權(quán)圖，對無向賦權(quán)圖，方法是相同的，請參考教材。,26,最短路問題例,如圖是單行線交通網(wǎng)，每個弧旁邊的數(shù)字表示這條單行線的長度?，F(xiàn)在要從 v1 出發(fā)，經(jīng)過這個交通網(wǎng)到達 v8，如何尋求總路程最短的線路。,27,v1,1,最短路徑問題例,從v1到v8的路線是很多的。比如從v1出發(fā)，經(jīng)過v2、v5到達 v8 或者從 v1出發(fā)，經(jīng)過v4，v6

13、v7到達 v8 ,等等。但不同的路線，經(jīng)過的總長度是不同的。例如，按照第一個線路，總長度是6+1+6=13單位，按照第二個路線，總長度是1+10+2+4=17單位。,28,最短路問題,設(shè)賦權(quán)有向圖D=(V,A), 對每個弧a = (vi, vj)，相應(yīng)地有權(quán)wij。Vs、vt是D中的兩個頂點，p是D中從vs到vt的任意一條路，定義路的權(quán)是p中所有弧權(quán)的和，記作S(p)。 最短路問題就是求S(p0)=minS(p)。p0叫做從vs到vs的最短路。p0的權(quán)S(p0)叫做從vs到vt的距離，記作d（vs，vt）。 由于D是有向圖，很明顯d(vs,vt)與d(vt,vs)一般不相等(對無向圖是相等的，

14、無向圖的邊可以看做由兩條方向相反的弧構(gòu)成)。,29,一、 最短路的標號算法,下面介紹在賦權(quán)有向圖中尋求最短路的方法Dijkstra (狄克斯拉方法)算法，是在1959年提出來的。目前公認，在所有的權(quán) wij 0時，這個算法是尋求最短路問題最好的算法。 這個算法實際上給出了從一個始點vs到任意一個點vj的最短路。,30,Dijkstra算法的基本思想,從vs出發(fā)，逐步向外尋找最短路。在運算過程中，與每個點對應(yīng)，記錄一個數(shù)，叫做一個點的標號,分為兩類： P 標號：表示從vs到該點的最短路權(quán) T 標號：表示從vs到該點最短路權(quán)的上界。 算法的每一步是去修改T 標號，把某一個具有T 標號的點改變?yōu)榫哂?/p>

15、P 標號的點，使圖D 中具有P 標號的頂點多一個。這樣，至多經(jīng)過P -1步，就可求出從vs到各點vj的最短路。,31,說明：在例中,S=1。因為wij0，d (v1,v1)=0。這時，v1是具有P標號的點。 再看從v1出發(fā)的三條弧(v1,v2)，(v1,v3)和(v1,v4)。如果從v1出發(fā)沿(v1,v2)到達v2，這時的路程是d (v1,v1) + w12= 6單位； 如果從v1出發(fā)，沿(v1,v3)到達v3，則是d (v1,v1) + w13 = 3單位； 同理，如果從v1出發(fā)沿(v1,v4)到達v4，是d（v1,v1）+ w14 = 1單位。,32,說明（續(xù)）,因此，從v1出發(fā)到達v4的

16、最短路必是（v1,v4），d（v1,v4）=1。這是因為從v1到達v4的任一條路，假如不是（v1,v4），則必先沿（v1,v2）到達v2，或者沿（v1,v3）到達v3，而這時的路程已是6或者3單位。由于wij 0，因此不論他如何再從v2或者v3到達v4，所經(jīng)過的總路程都不會比1少，于是就有d（v1,v4）=1。于是V4變成具有P標號的點。,33,例說明：,從v1出發(fā)的三條弧(v1,v2), (v1,v3)和(v1,v4)，mind(v1,v1)+w12,d(v1,v1)+w13,d(v1,v1)+w14 = d（v1,v4）=1。,P(v1),1,34,再看從v1和v4指向其余點的弧：從v1出

17、發(fā), 分別沿(v1,v2), (v1,v3 )到達v2, v3, 經(jīng)過的路程是6或者3單位；從v4出發(fā)沿(v4,v6)到達v6，經(jīng)過的路程是d(v1,v4)+w46=1+10=11單位。而 mind(v1,v1)+w12,d(v1,v1)+w13,d(v1,v4)+w46=d（v1,v1）+w13=3單位。根據(jù)同樣的理由，可以斷定，從v1到達v3的最短路是（v1,v3），d（v1,v3）=3。這樣，又使點v3變?yōu)榫哂蠵 標號的點，不斷重復(fù)以上過程，就可以求出從vs到達任一點vj的最短路。,35,例說明（續(xù)）：,再看從v1和v4指向其余點的弧, mind(v1,v1)+w12,d(v1,v1)+

18、w13,d(v1,v4)+w46=d（v1,v1）+w13=3 。,P(v1),P(V3),1,36,Dijkstra算法的實現(xiàn),Dijkstra算法中，以P、T 分別表示某一個點的P 標號，T 標號。Si表示在第i步時，具有P 標號點的集合，為了在算出從vs到各點的距離的同時，也找出從vs到各點的最短路，于是，給每一個點v一個值。 當算法結(jié)束時，表示含義： (v)= m 在從vs到v的最短路上，v的前一個點是vm (v)=M 在圖D中不含有從vs 到達v 的路 (v)=0 表示v = vs。,37,Dijkstra算法步驟,開始（i=0） 令S0=vs，P（vs）=0，(vs)=0，對每一個

19、v vs，令T（v）=+，(v)=M ，令k=s； （1）如果Si=V，則算法結(jié)束，對每一個vSi，d（vs,v）=P（v）。否則轉(zhuǎn)入（2）。,38,（2）考察每一個使(vk,vj)A，且 vjSi 的點 vj ，如果 T(vj) P(vk) + wkj ，則 把 T(vj) 改變?yōu)?P(vk) + wkj，把(vj)改變?yōu)閗，否則轉(zhuǎn)入（3）。,39,（3）令T(vji)=minT(vj)vjSi，如果T(vji)+，則把vji的T 標號改變?yōu)镻 標號P(vji)=T(vji)，令Si+1=Sivji，k=ji，把i換成i+1，轉(zhuǎn)入（1）；否則結(jié)束。 這時，對vSi，d(vs,v) = P(v

20、)； 對vSi，d(vs,v) =T(v)。,40,Dijkstra算法求解例,vs為起點; 開始, s =1, i=0; S0=v1, P(v1)=0, (v1)=0, T(vi)=+,(vi)=M, i=2,3,9, k=1。 (2) (v1,v2)A，v2S0，P(v1)+w12T(v2)，故將T(v2)改變?yōu)镻(v1)+w12=6，(v2)改變?yōu)?。同理，將T(v3)改變?yōu)镻(v1)+w13=3，(v3)改變?yōu)?，將T(v4)改變?yōu)镻(v1)+w14=1，(v4)改變?yōu)?。,41,Dijkstra算法求解例,（3）在所有的T標號中，T(v4)=1最小，于令P(v4)=1，S1=S0v4

21、=v1,v4, k=4。 i=1： （2）將 T(v6) 改變?yōu)镻(v4) + w46 = 11，(v6) 改變?yōu)?。 （3）在所有的T標號中，T(v3)=3最小，于是令P(v3)=3，S2=v1,v4,v3，k=3。,42,Dijkstra算法求解例,i=2： （2）(v3,v2)A，v2S2, T(v2) w32 + P(v3) ，將T(v2)改變?yōu)镻(v3) + w32= 5 ,(v2) 改變?yōu)?。 （3）在所有 T 標號中, T(v2) = 5 最小, 于是令 P (v2) = 5, S3=v1,v4,v3，k = 2。,43,Dijkstra算法求解例,i = 3 ： （2）將T(v

22、5)改變?yōu)?P(v2)+w25= 6，(v5) 改變?yōu)?2。 （3）在所有T標號中, T(v5) = 6 最小, 于是令P(v5) = 6, S4= v1,v4,v3，k=5。,44,Dijkstra算法求解例,i = 4 : （2）將T(v6)、T(v7)、T(v8)分別改變?yōu)?0, 9，12，將(v0)、(v7)、(v8)改變?yōu)?。 （3）在所有T標號中, T(v7) = 9最小, 令 P(v7) = 9, S5 = v1,v4,v3,v2,v5,v7 ， v = 7。,45,Dijkstra算法求解例,i = 5： （2）（v7,v8）A，v8S5，但是 T(v8) w78+P(v7)，

23、故T(v8)不變。 （3）在所有的T標號中，T(v6)=10最小, 于是, 令P(v6)=10, S6=v1,v4,v3,v2,v5,v7 , v6， k=6。,46,Dijkstra算法求解例,i=6： （2）從v6出發(fā)沒有弧指向不屬于S6的點，因此轉(zhuǎn)入（3）。 （3）在所有T標號中，T(v8)=12最小，令 P (v8) = 12 ， S7 = v1,v4,v3,v2,v5,v7 ,v6 ,v8，k = 8 。,47,Dijkstra算法求解例,i=7： 僅有 T 標號的點為 v9 ， T（v9）= +，算法結(jié)束。 此時，把P標號和值標在圖中，如圖所示。,48,例題求解圖示（1）,T(v6

24、)= +,T(v7)= +,(v1)=0,P(v1)=0,P(v4)=1,(v4)=1,(v6)=M,(v5)=M,T(v2)= 6,T(v5)= +,T(v8)= +,(v7)=M,(v2)=1,(v8)=M,T(v9)=+,(v9)=M,T(v3)= 3,(v3)=1,1,i = 0 S1=S0v4=v1,v4,v1,v3,49,例題求解圖示（2）,T(v6)=11,T(v7)=+,(v1)=0,P(v1)=0,P(v4)=1,(v4)=1,(v6)=4,(v5)=M,T(v2)=6,T(v5)=+,T(v8)=+,(v7)=M,(v2)=1,(v8)=M,T(v9)=+,(v9)=M,P

25、(v3)=3,(v3)=1,1,i = 1 S2=S1v3=v1,v4,v3,v1,v3,50,例題求解圖示（3）,T(v6)=11,T(v7)=+,(v1)=0,P(v1)=0,P(v4)=1,(v4)=1,(v6)=4,(v5)=M,P(v2)=5,T(v5)=+,T(v8)=+,(v7)=M,(v2)=3,(v8)=M,T(v9)=+,(v9)=M,P(v3)=3,(v3)=1,1,i = 2 S3=S2v2=v1,v4,v3,v2,v1,v3,51,例題求解圖示（4）,T(v6)=11,T(v7)=+,(v1)=0,P(v1)=0,P(v4)=1,(v4)=1,(v6)=4,(v5)=

26、2,P(v2)=5,P(v5)=6,T(v8)=+,(v7)=M,(v2)=3,(v8)=M,T(v9)=+,(v9)=M,P(v3)=3,(v3)=1,1,i = 3 S4=S3v5=v1,v4,v3,v2,v5,v1,v3,52,例題求解圖示（5）,T(v6)=10,P(v7)=9,(v1)=0,P(v1)=0,P(v4)=1,(v4)=1,(v6)=5,(v5)=2,P(v2)=5,P(v5)=6,T(v8)=12,(v7)=5,(v2)=3,(v8)=5,T(v9)=+,(v9)=M,P(v3)=3,(v3)=1,1,i = 4 S5=S4v7=v1,v4,v3,v2,v5,v7,v1

27、,v3,53,例題求解圖示（6）,P(v6)=10,P(v7)=9,(v1)=0,P(v1)=0,P(v4)=1,(v4)=1,(v6)=5,(v5)=2,P(v2)=5,P(v5)=6,T(v8)=12,(v7)=5,(v2)=3,(v8)=5,T(v9)=+,(v9)=M,P(v3)=3,(v3)=1,1,i = 5 S6=S5v6=v1,v4,v3,v2,v5,v7,v6,v1,v3,54,例題求解圖示（7）,P(v6)=10,P(v7)=9,(v1)=0,P(v1)=0,P(v4)=1,(v4)=1,(v6)=5,(v5)=2,P(v2)=5,P(v5)=6,P(v8)=12,(v7)

28、=5,(v2)=3,(v8)=5,T(v9)=+,(v9)=M,P(v3)=3,(v3)=1,1,i = 6 S7 =S6v8=v1,v4,v3,v2,v5,v7,v6,v8,v1,v3,55,例題求解圖示（8）,P(v6)=10,P(v7)=9,(v1)=0,P(v1)=0,P(v4)=1,(v4)=1,(v6)=5,(v5)=2,P(v2)=5,P(v5)=6,P(v8)=12,(v7)=5,(v2)=3,(v8)=5,T(v9)=+,(v9)=M,P(v3)=3,(v3)=1,1,最短路：v1-(v4)v3-v2-v5-(v6,v7)v8,v1,v3,56,Dijkstra算法求解例,圖

29、中，從v1到v8的最短路：因為(v8)=5，故最短路經(jīng)過點v5；又因為(v5)=2，故最短路經(jīng)過點v2；依次類推，(v2)=3，(v3)=1于是，最短路經(jīng)過點v3、v1。這樣，從v1到v8的最短路是（v1，v3，v2，v5，v8）。同理，可以求出從v1到任一點vi的最短路，顯然不存在從v1到v9的最短路。,57,Dijkstra算法,對于一個賦權(quán)(無向)圖G=(V，E)，因為邊vi,vj可以看做2條?。╲i,vj）和(vj,vi)，并且具有相同的權(quán)wij。這樣，在一個賦權(quán)（無向）圖中，如果有所有的權(quán)wij0，只要將Dijkstra算法中的 “(2)看做每一個使(vk,vj)A，且vjSj的點v

30、j”改變?yōu)椤?2)看做每一個使vk,vjE，且vjSj的點vj”而其他的條件不變，同樣可以求出從vs到各點的最短路（對于無向圖叫做最短鏈）。,58,最短路的矩陣算法,最短路的標號算法可以通過將圖表達成矩陣形式，然后用矩陣計算出最短路，這就是矩陣算法。矩陣算法有利于計算機處理。 矩陣算法的步驟為： 將圖表示成矩陣形式； 確定起點行，將其標號確定為0，將相應(yīng)的列在矩陣表中劃去；,59,最短路的矩陣算法,在已標號行未劃去的元素中，找出最小元素 aij 圈起來，并把第 j 列劃去，同時給第 j行標號aij ，同時把第 j 行中未劃去的各元素都加上 aij ，注意標號的含義同標號算法一樣； 若還存在某些

31、行未標號，則返回上一步驟，如果各行均已獲得標號（或終點行已經(jīng)獲得標號）則終止計算，并利用反向追蹤，求得自起點到各點的最短路。（例題見教材）,60,最短路標號算法應(yīng)用例,某公司在最近五年需要使用一種設(shè)備，購買和維修該設(shè)備的費用列表如下，問采用怎樣的使用策略可使總費用最低。 表1 五年內(nèi)各年初的購買價格 時間 1 2 3 4 5 價格 200 210 230 240 260 表2 使用期間的維護費 使用時間 01 12 23 34 45 價格 30 130 190 270 390,61,最短路標號算法應(yīng)用例-分析,構(gòu)造設(shè)備更新有向圖，其中包含6個頂點v1 v6 ，分別代表第1年年初到第5年年末共6

32、個不同時刻，從頂點 分別引出至終點的有向邊，邊的權(quán)重等于從起點時刻購買設(shè)備并用到終點時刻所需的購買費用和維護費用總和。,62,計算從略,補充：Dijkstra算法的局限,Dijkstra算法僅適合于所有的權(quán)wij0的情形。如果當賦權(quán)有向圖中存在有負權(quán)弧時，則該算法失效。 例如下圖，根據(jù)Dijkstra算法，可以得出從v1到v2最短路權(quán)是2，但是這顯然不對，因為從v1到v2的最短路是（v1,v3,v2）,權(quán)是-1。,v1,v3,v2,2,2,-3,63,最短路問題-補充,Ford(福德)算法: 當賦權(quán)有向圖存在負權(quán)弧時，求最短路的方法: 首先，設(shè)從任一點 vi 到任一點vj 都有一條弧，如果在圖

33、 D 中，（vi,vj）不屬于A,則添加弧(vi,vj),并且令 wij = +.,64,補充：Ford算法,從 vs 到 vj 的最短路是從 vs 點出發(fā)，沿著這條路到某個點vi，再沿弧(vi,vj)到點vj。 顯然，從vs到vi的這條路必定是從vs到vi的最短路。否則從vs到vj的這條路將不是最短路。于是，從vs到vj的距離d(vs,vj)滿足以下條件 d(vs,vj)=min d (vs,vi) + wij , i i=1, , p, p = p(D),65,補充：Ford算法,這個關(guān)系式的解d(vs,v1)d(vs,vp).可利用如下的 遞推公式 求解 d(1)(vs,vj) = ws

34、j , j =1, , p d(t)(vs,vj) = min d(t-1)(vs,vi)+ wij, t=2,3 i 當計算到第k步時,對一切的j =1, , p, 有 d(k)(vs,vj) = d(k-1)(vs,vj ) 則d(k)(vs,vj), j = 1, , p,就是從vs到各點vj的最短路徑的權(quán)。,66,補充：Ford算法,設(shè)C是賦權(quán)函數(shù)有向圖D中的一個回路。如果回路C的權(quán) S(C) 是負數(shù)那么稱 C 是 D 中的一個負回路。 可以證明以下結(jié)論： (1)如果賦權(quán)有向圖 D 不含負回路，那么從vs到任一點的最短路至多包含 p 2 個中間點，并且必可取為初等路。,67,補充：Fo

35、rd算法,(2) 如果賦權(quán)有向圖 D 不含有負回路，那么上述遞推算法至多經(jīng) p-1 次迭代收斂，可求出從vs到各個點最短路的權(quán)。 (3) 如果上述算法經(jīng)過 p-1 次迭代，還存在在著某個j，使得 d(p)(vs,vj) d(p-1)(vs,vj) 那么D中含有負回路。這時，不存在從 vs 到 vj 的路（權(quán)無界）。,68,補充：Ford算法例,在如圖所示的賦權(quán)有向圖中求從v1到各點的最短路。,69,1,1,1,1,1,1,2,3,3,5,5,2,2,3,6,7,8,補充：Ford算法例,解: 利用上述遞推公式，將求解結(jié)果列出如下表所示。 可以看出，當t =4 時，有 d(t)(vs,vj)=d

36、(t-1)(vs,vj) ( j =1, , 8 ) 因此，表中的最后一列，就是從v1到v1,v2 ,v8的最短路權(quán)。,70,wij,d(t)(vs,vj),71,補充：Ford算法例,為了求出從v1到各個點的最短路，一般采用反向追蹤的方法：如果已知d(vs,vj),那么尋求一個點vk,使得d(vs,vk)+wkj=d(vs,vj),然后記錄下(vk,vj).在看d(vs,vk),尋求一個點vi,使得d(vs,vi)+wik=d(vs,vk)依次類推，一直到達vs為止。這樣，從vs到vj的最短路是（vs ,vi ,vk ,vj）。,72,補充：Ford算法例,在例中，由上表知，d(v1,v8)

37、=6,由于d(v1,v6)+w68 = (-1) + 7 ，記錄下v6 ; 由于d (v1,v3) + w36= d (v1,v6), 記錄下v3; 由于d(v1,v1)+w13=d(v1,v3), 于是，從v1到v8的最短路是 (v1,v3,v6,v8),73,第三節(jié) 最小樹問題,一、 樹、最小樹的定義及性質(zhì) 在各種圖中，有一類圖是十分簡單且非常具有應(yīng)用價值的圖，這就是樹。 例 已知有6個城市，它們之間要架設(shè)電話線，要求任意兩個城市均可以互相通話，并且電話線的總長度最短。,74,樹、最小樹的定義及性質(zhì)例,如果用6個點v1，v6代表這六個城市，在任意兩個城市之間架設(shè)電話線，即在相應(yīng)的兩個點之間

38、連成一條邊。這樣，6個城市的一個電話網(wǎng)就作成一個圖。由于任意兩個城市之間均可以通話，這個圖必須是連通圖。并且，這個圖必須是無圈的。否則，從圈上任意去掉一條邊，剩下的圖仍然是六個城市的一個電話網(wǎng)。下圖是一個不含圈的連通圖，代表了一個電話線網(wǎng)。,75,樹、最小樹的定義及性質(zhì)例,代表電話線網(wǎng)的無圈連通圖,76,v6,v3,v4,v2,v5,v1,樹、最小樹的定義及性質(zhì),(1) 樹的定義 在無向圖中的鏈 中, 若v1=vn，則稱此鏈為一個圈, 若圈中的點 都是不同的，則稱之為初等圈。 定義 無圈的連通圖叫做樹。 (2) 樹的重要性質(zhì)： 設(shè)圖G=(V, E)是一個多于2個節(jié)點的樹，那么圖G中至少有兩個懸

39、掛點。 圖G=(V, E)是一個樹的充要條件是G不含圈，并且有且僅有n -1條邊，即邊數(shù)m=n-1。,77,樹的重要性質(zhì),從一個樹中任意去掉一條邊，那么剩下的圖不是連通圖。亦即，在點集合相同的圖中，樹是含邊數(shù)最少的連通圖。 在樹中任意不相鄰的兩個點之間加上一條邊，那么恰好得到一個圈。所以樹也是具有相同頂點的無圈圖中邊數(shù)最多的。,78,樹、最小樹的定義及性質(zhì),(3) 生成樹、最小生成樹 設(shè)圖K=(V,E)是圖G=(V,E)的生成子圖, 如果圖K=(V,E)是樹, 那么稱K是G的生成樹。 下面右圖是左圖的一個生成樹。,v6,v5,v2,v3,v4,v1,v6,v5,v2,v3,v4,v1,79,最

40、小生成樹,如果圖T = (V, E) 是圖G 的一個生成樹，那么稱 E 上所有邊的權(quán)之和為生成樹 T 的權(quán)，記為S( T )。 若圖G的生成樹T * 的權(quán)S(T * )，在G 的所有生成樹 T 中的權(quán)最小，即 S(T * ) = min S(T ) ，那么稱T*是G 的最小生成樹。,80,二、 最小生成樹的求解,常用的有破圈法和避圈法兩個方法： 破圈法 在網(wǎng)絡(luò)圖中尋找一個圈。若不存在圈，則已經(jīng)得到最小生成樹或網(wǎng)絡(luò)不存在最小生成樹；否則 去掉該圈中權(quán)數(shù)最大的邊； 反復(fù)重復(fù) 兩步，直到得到最小生成樹。,81,最小生成樹破圈法例,某 6 個城市之間的道路網(wǎng)如圖所示，要求沿著已知長度的道路聯(lián)結(jié) 6 個

41、城市的電話線網(wǎng)，使得電話線的總長度最短。,82,最小生成樹破圈法例,順序：綠，藍，紅，黑,v6,v5,v2,v3,v4,v1,6,2,7,5,3,5,4,4,v3,v2,v1,v4,v6,v5,5,1,3,1,4,2,最小生成樹,83,最小生成樹破圈法例,解：如圖，用破圈法求解最小生成樹。 1) 圈 v1,v2,v3,v1 ,刪圈中權(quán)最大邊(v1,v3)； 2) 圈 v3,v5,v2,v3 ，去掉邊(v2,v5)； 3) 圈 v3,v5,v4 ,v2,v3 ，去掉邊(v3,v5)； 4) 圈 v5,v6,v4 ,v5 ，這里有兩條權(quán)最大的邊(v5,v6)和(v4,v6)。任刪一條，如(v5,v

42、6)。 這時得到一個不含圈的圖，即是最小生成樹。,84,最小生成樹的求解,避圈法 從網(wǎng)絡(luò)圖中依次尋找權(quán)數(shù)較小的邊，尋找過程中，節(jié)點不重復(fù)，即不構(gòu)成圈。注意在找較小權(quán)數(shù)邊時不考慮已選過的邊和可能造成圈的邊。如此反復(fù)進行，直到得到最短樹或證明網(wǎng)絡(luò)不存在最短樹。,85,最小生成樹避圈法例,用“避圈法”求解上例。 解：考慮該賦權(quán)圖，任取一點，如 從v1 取權(quán)較小的邊（v1 ,v2 ）； 從v2 取權(quán)較小的邊（v2 ,v3 ）； 從v3 取權(quán)較小的邊（v3 ,v4 ）； 同理依次?。╲4 ,v5），（v4 ,v6 ）。 這時得到了如圖所示的最小生成樹。,86,v6,v5,v2,v3,v4,v1,6,2,

43、7,5,3,5,4,4,v3,v2,v1,v4,v6,v5,5,1,3,1,4,2,最小生成樹,最小生成樹破圈法例,順序：綠，黑，紅，藍，棕,87,第四節(jié) 最大流問題,在許多實際網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中都存在著流量和最大流問題。例如鐵路運輸系統(tǒng)中的車輛流，城市給排水系統(tǒng)的水流問題等。網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)流最大流問題是圖與網(wǎng)絡(luò)流理論中十分重要的最優(yōu)化問題，它對于解決生產(chǎn)實際問題起著十分重要的作用。,88,一、 最大流的基本知識,容量網(wǎng)絡(luò)圖 N=(V,A,C,x,y) 弧旁邊的權(quán)c(vi,vj)就是對應(yīng)弧的容量，x為源 (發(fā)點vs), y為匯(收點vt) 。要求一個運輸方案，使得從x到y(tǒng)的貨運量最大。這是尋求網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的最大

44、流問題。,vt,v3,v2,v1,v4,vs,17,3,5,10,8,6,11,4,5,3,Cij,89,最大流問題的基本概念,定義: 設(shè)賦權(quán)有向圖D=(V,A), 在V中指定一個發(fā)點vs和一個收點vt , 其他的點叫做中間點。對于D中的每一個弧 (vi ,vj)A, 都有一個權(quán) cij ，叫做弧的容量。我們把這樣的圖 D 叫做一個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，簡稱網(wǎng)絡(luò)，記做 D =（V，A，C，vs，vt）。,90,網(wǎng)絡(luò)D上的流,定義在弧集合A上的一個函數(shù) f = f(vi,vj) = fij ; f(vi,vj)=fij 叫做弧 (vi,vj) 上的流量。,91,網(wǎng)絡(luò)上的流,圖：網(wǎng)絡(luò)上的一個流（運輸方案），弧

45、上的流量 fij 就是運輸量,例如fs1=5, fs2=3, f13=2等.,v3,v2,v1,v4,vs,17(2),3(3),5(2),10(5),8(3),6(3),11(6),4(1),5(1),3(2),Cij (fij),vt,92,網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)上流的特點,(1)發(fā)點的總流出量和收點的總流入量必相等。 (2)每一個中間點的流入量與流出量的代數(shù)和等于零。 (3)每一個弧上的流量不能超過它的最大通過能力（即容量）。,93,網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可行流,定義 網(wǎng)絡(luò)上的一個流 f 叫做可行流，如果 f 滿足以下條件： (1) 容量條件： 對于每一個弧(vi,vj)A, 有 0 fij cij ； (2)

46、平衡條件： 對于發(fā)點vs，有fsj -fjs= v( f ) 對于收點vt，有ftj -fjt =-v( f ) 對于中間點，有fij -fji=0 其中發(fā)點的總流量(或收點的總流量) v(f )叫做這個可行流的流量。,94,網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可行流,任意一個網(wǎng)絡(luò)上的可行流總是存在的。例如零流 v ( f ) = 0, 就是滿足以上條件的可行流。 網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中最大流問題就是在給定的網(wǎng)絡(luò)上尋求一個可行流 f, 其流量 v ( f ) 達到最大值。,95,二、 最大流的標號算法,飽和弧與零流弧 設(shè)流 f = fij 是網(wǎng)絡(luò)D上的一個可行流。我們把 D 中 fij = cij 的弧叫做飽和弧， fij 0 的

47、弧為非零流弧， fij = 0 的弧叫做零流弧。,96,最大流的標號算法,前向弧和反向弧 設(shè)是網(wǎng)絡(luò)D中連接發(fā)點s和收點vt的一條鏈。定義鏈的方向是從vs到vt，于是鏈上的弧被分為兩類： 1)弧的方向與鏈的方向相同，叫做前向弧。前向弧的集合記做+。 2) 弧的方向與鏈的方向相反，叫做反向弧。反向弧的集合記做-。,97,例,在下圖中，(v4,v3)是飽和弧，其他弧均是非飽和弧、非零流弧。 如圖，在鏈（vs,v1,v2,v3,v4,vt)中，反向弧-=(v4,v3)； 前向弧+=(vs,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v4,vt)。,v3,v2,v1,v4,vs,17(2),3(3),5(

48、2),10(5),8(3),6(3),11(6),4(1),5(1),3(2),fij,vt,98,最大流的標號算法,定義：如果鏈 滿足以下條件： 在弧(vi,vj)+上，有0 fij cij ,即+中的每一條弧是非飽和??； 在弧(vi,vj)- 上，有0 fij cij ,即- 中的每一條弧是非零流弧。 稱鏈為關(guān)于可行流 f 的一條增廣鏈。,99,例,在圖中，鏈（vs,v1,v2,v3,v4,vt)是一條增廣鏈。,v3,v2,v1,v4,vs,17(2),3(3),5(2),10(5),8(3),6(3),11(6),4(1),5(1),3(2),fij,vt,100,增廣鏈性質(zhì),若網(wǎng)絡(luò)存在

49、關(guān)于可行流 f 的增廣鏈 令 按增廣鏈的定義，這里 0 。取,101,最大流的標號算法,由上可知，存在增廣鏈就意味著可以找到流量更大的可行流。于是有下列定理： 定理 網(wǎng)絡(luò)中的一個可行流 f * 是最大流的充分必要條件是不存在關(guān)于 f * 的增廣鏈。,102,最大流的標號算法,定理提供了求網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最大流的方法 如果網(wǎng)絡(luò) D 中有一個可行流 f ，只要判斷網(wǎng)絡(luò)是否存在關(guān)于可行流 f 的增廣鏈： 若沒有增廣鏈，那么 f 一定是最大流。 若有增廣鏈，那么可以按照前面說明，不斷改進和增大可行流 f 的流量，最終可以得到網(wǎng)絡(luò)中的最大流。,103,最大流的標號算法,用給頂點標號的方法來定義V1*。在標號過程

50、中，有標號的頂點是V1*中的點，沒有標號的點不是V1*中的點。如果 vt 有了標號，則表示存在一條關(guān)于 f 的增廣鏈。如果標號過程無法進行下去，并且 vt 未被標號，則表示不存在關(guān)于 f 增廣鏈。這樣，就得到了網(wǎng)絡(luò)中的一個最大流。,104,最大流的標號算法,(1) 標號過程 在標號過程中，網(wǎng)絡(luò)中的點或者是標號點（分為已檢查和未檢查兩種），或者是未標號點。每個標號點的標號包含兩部分：第一個標號表示這個標號是從那一點得到的。以便找出增廣鏈。第二個標號是為了用來確定增廣鏈上的調(diào)整量。,105,最大流的標號算法,標號過程開始，先給vs標號(0, +)。這時，vs是標號未檢查的點，其他都是未標號點。一般

51、地，取一個標號未檢查點vi，對一切未標號點vj： a) 如果在弧 (vi,vj)上，fij cij , 那么給 vj標號(vi, l(vj) ), 其中l(wèi)(vj) = minl(vi), cij-fij。這時，vj 成為標號未檢查的點。,106,最大流的標號算法,b）如果在弧(vj ,vi)上，fij 0, 那么給vj標號(-vi , l(vj) )，其中l(wèi)(vj) = min l(vi), fij。這時，vj 成為標號未檢查點。 于是vi成為標號已檢查的點。重復(fù)以上步驟，如果所有的標號都已經(jīng)檢查過，而標號過程無法進行下去，則標號法結(jié)束。這時的可行流就是最大流。但是，如果 vt 被標上號，表示

52、得到一條增廣鏈，轉(zhuǎn)入下一步調(diào)整過程。,107,最大流的標號算法,(2) 調(diào)整過程 首先按照vt和其他的點的第一個標號，反向追蹤，找出增廣鏈。例如，令vt的第一個標號是vk，則?。╲k,vt）在上。再看vk的第一個標號，若是vi，則弧(vi,vk)都在上。依次類推，直到vs為止。這時，所找出的弧就成為網(wǎng)絡(luò)D的一條增廣鏈 。取調(diào)整量 = l(vt), 即vt的第二個標號。,108,最大流的標號算法,fij+，當(vi ,vj)+ 令f ij= fij -，當(vi ,vj) - 其他不變 再去掉所有的標號，對新的可行流 f = f ij ,重新進行標號過程，直到找到網(wǎng)絡(luò)D的最大流為止。,109,最

53、大流的標號算法例,尋找下列網(wǎng)絡(luò)D=(V, A, C, vs , vt ) 的最大流。,110,v4,v1,v2,v3,vs,（2,1）,（3,0）,（4,3）,（3,3）,（5,1）,（2,2）,（5,3）,（1,1）,（1,1）,(Cij,fij),vt,最大流的標號算法例,求網(wǎng)絡(luò)最大流, 弧旁的權(quán)數(shù)表示(cij , fij)。用標號法解: (1) 標號過程。 a) 首先給vs標號（0，+）。 b) 看vs: 在弧(vs ,v2)上, fs2=cs3=3, 不具備標號條件。在弧(vs ,v1)上, fs1=1cs1=5, 故給v1標號(vs, l(v1),其中 l(v1)=minl(vs),

54、(cs1-fs1)=min+,5-1=4,111,最大流的標號算法例,看v1:弧(v1,v3)上, f13=c13=2,不具備標號條件?；?v2,v1)上, f21=10, 故給v2標號(-v1, l(v2), 其中 l(v2)=minl(v1), f21=min4,1=1 看v2:在?。╲2,v4）上，f24=3 0, 故給 v3 標號 （-v2，l(v3), 其中 l (v3)=minl(v2),f32=min1,1=1,112,最大流的標號算法例,在v3 、v4中任意選一個，比如v3,在弧( v3 ,vt )上，f3t = 1 c3t = 2, 故給 vt 標號(v3, l(vt),其中

55、 l(vt)=minl(v3),(c3t-f3t)=min1,1=1 因為vt被標上號，根據(jù)標號法，轉(zhuǎn)入調(diào)整過程。,113,最大流的標號算法例,標號過程得到增廣鏈,114,v4,v1,v2,v3,vs,（2,1）,（3,0）,（4,3）,（3,3）,（5,1）,（2,2）,（5,3）,（1,1）,（1,1）,( Cij , fij ),vt,(v2,1),(0，+),(-v1,1),(vs,4),(-v2,1),(v3,1),最大流的標號算法例,(2) 調(diào)整過程 從vt開始，按照標號點的第一個標號，用反向追蹤的方法，找出一條從vs到vt的增廣鏈，如圖中雙箭線所示。 +=(vs,v1),(v3,

56、vt),-=(v2,v1),(v3,v2) 取=1，在上調(diào)整f，得到 fs1+=1+1=2 在+上 f3t+=1+1=2 在+上 f * = f21-=1-1=0 在-上 f32-=1-1=0 在-上 其他的不變,115,最大流的標號算法例,調(diào)整后的可行流f*，如圖所示，再對這個可行流從新進行標號過程，尋找增廣鏈。 首先給vs標號（0，+），看vs , 給v1標號（vs , 3）。看v1,在?。╲1,v3）上，f13=c13,?。╲2,v1）上，f21=0,均不符合條件。因此標號過程無法進行下去，不存在從vS到vt的增廣鏈，算法結(jié)束。,116,最大流的標號算法例,這時，網(wǎng)絡(luò)中的可行流f*即是最

57、大流，最大流的流量為 v ( f * ) = fs1 + fs2 = 5 注：在實際計算中，選擇不同的增廣鏈，可得到兩條路徑不同的最大流路徑，流量相同是5 。,117,最大流的標號算法例,繼續(xù)調(diào)整標號調(diào)整過程；得到最大流。,v4,v1,v2,v3,vs,（2,2）,（3,0）,（4,3）,（3,3）,（5,2）,（2,2）,（5,3）,（1,0）,vt,( 0,+),(vs,3),(Cij,fij),（1,0）,118,最大流的標號算法例（另一路徑）,另一條增廣鏈,119,v4,v1,v2,v3,vs,（2,1）,（3,0）,（4,3）,（3,3）,（5,1）,（2,2）,（5,3）,（1,1

58、）,（1,1）,( Cij , fij ),vt,(V2,1),(0，+),(-v1,1),(vs,4),(-v2,1),(v4,1),最大流的標號算法例（另一路徑）,調(diào)整后得到另一最大流路徑,v4,v1,v2,v3,vs,（2,1）,（3,0）,（4,4）,（3,3）,（5,2）,（2,2）,（5,4）,（1,0）,（1,1）,( Cij , fij ),vt,(0，+),(vs,3),120,第五節(jié) 推銷員及中國郵路問題,一、 推銷員問題 一個推銷商到n個城市開拓市場推銷產(chǎn)品，他從某個城市出發(fā)，遍歷其他所有城市，且每個城市只到一次，最后回到起點城市。這個推銷商如何安排他的商業(yè)營銷線路計劃可使總的路程距離最短，這就是推銷員問題，也被稱為貨郎擔問題。 對一個圖而言，若一個回路過每個點且僅過一次，則稱是圖的一個Hamilton回路。,121,推銷員問題,已證明：若頂點數(shù) n 3 的圖G(V,E)中，任