(12)第十三章-2

1、Page1,能量守恒,從零開始，緩慢加載,忽略動能與熱能的損失,克拉比隆定理：, 成立的前提是對于線彈性體、小變形情況；,功能原理, 上節(jié)內(nèi)容回顧,Page2, 彈性桿應(yīng)變能(變形能)的一般表達(dá)式：,1、利用能量守恒：通過計算外力功來計算應(yīng)變能,當(dāng)外力為常值，且其相應(yīng)位移可直接求出時，宜用此方法：,Page3,桿件的應(yīng)變能的計算通過計算微段的內(nèi)力功：,Page4, 三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能：, 對于非主平面微體：,桿件的應(yīng)變能的計算通過計算微體的應(yīng)變能：,Page5,本 講 內(nèi) 容,13-3 余能與卡氏第二定理,13-2 互等定理,Page6,13-2 互等定理,線彈性體上作用有多個廣義力時，彈

2、性體的應(yīng)變能或外力功與外力的加載次序無關(guān)。,Page7,若改變加載次序：,功的互等定理, i 代表位置，j 代表載荷,若F1=F2,位移互等定理,Page8, 有關(guān)位移互等定理的討論：, 在梁變形實驗中的應(yīng)用：, 其它情況：,只要克拉比隆定理成立,Page9, 關(guān)于功的互等定理的說明：, 成立的前提是對于線彈性體、小變形情況；, 兩組外力之間，功的互等定理也成立；,Page10, 功的互等定理的應(yīng)用：,Page11,Page12,思考題：,圖示任意形狀的線彈性體，求當(dāng)其受一對共線力P作用時，該彈性體的體積改變量。H及材料彈性常數(shù)均已知。,Page13, 忽略剪力的影響,剛架的應(yīng)變能：,例：求如

3、下剛架A端的垂直位移,F,h,a,根據(jù)功能原理：,外力F做功：,水平位移不能求出,多個廣義力做功時， 也不能求出,只有單個外力作用時，求其相應(yīng)位移,A,Page14,13-3 余能與卡氏第二定理, 余功與余能,外力功,余功,Page15, 余能,彈性體的余能,彈性體余能也可通過微段或微體進(jìn)行計算：, 線性彈性體：應(yīng)變能=余能(數(shù)值),余能密度,Page16, 克羅第恩格塞定理與卡氏第二定理,彈性梁受多個廣義力Fk的作用，求各廣義力的相應(yīng)位移k。,彈性體總余能：,外力總余功：,Page17,給Fk增加一微量Fk,彈性體總余能：,外力總余功的增量：,彈性體總余能增量：,Crotti-Engesse

4、r定理,Page18, 對于線彈性體：,（余能=應(yīng)變能）,卡氏第二定理,卡氏第一定理：, 公式中k為廣義力Fk的相應(yīng)廣義位移, 公式中的廣義力Fk為相互獨立的變量,Page19, 卡氏第二定理的直接證明：,Fi的作用下：,先加上Fk ，再加上Fi,若給Fk一個增量 Fk,（略去高階小量）,Page20, 卡氏第二定理證明思路：,1、梁的總外力功,2、給Fk一微增量Fk后的外力功增量,3、改變加載次序(先加Fk，后) 加Fi)的總應(yīng)變能,4、根據(jù)總外力功與加載次序無關(guān),Page21, 討論兩個定理的適用范圍：,克羅第恩格塞定理：,卡氏第二定理：,彈性結(jié)構(gòu),線彈性結(jié)構(gòu), 對于非線性的彈性結(jié)構(gòu)(物理

5、非線性，幾何非線性)， 需用克羅第恩格塞定理。,Page22, 卡氏第二定理的應(yīng)用：,Page23,例2：求A端的轉(zhuǎn)角, 已知EI、l、P。,附加力法：先假設(shè)一附加力，對被積函數(shù)求導(dǎo)后，令附加力等于零,M=0,Page24, 應(yīng)用卡氏第二定理時的具體計算公式：, 方法一：, 方法二：, k為正，則說明k的方向與Fk的方向一致 k為負(fù)，則說明k的方向與Fk的方向相反,Page25,例3：EI為常數(shù)，求fA，A,解：為避免混淆，設(shè)Pa=M,Page26,例4：圖示剛架，EI為常數(shù)，1、求A點的水平與垂直位移； 2、分析 的意義。,1、求位移,2、,Page27, 討論,的意義,代表AB兩點的相對位移,的意義,Page28,例5：各桿EA相同，求A、B兩點的相對水平位移和AB桿的轉(zhuǎn)動角,Page29,