優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)選修4-4第二講-參數(shù)方程(圓錐曲線的參數(shù)方程)

1、第二講 參數(shù)方程,圓錐曲線的參數(shù)方程,橢圓的參數(shù)方程,復(fù)習(xí),圓的參數(shù)方程,1.圓心在原點(diǎn),半徑為r的圓的參數(shù)方程:,2.圓心為(a, b),半徑為r的圓的參數(shù)方程:,3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：,它的參數(shù)方程是什么樣的？,M,如圖,以原點(diǎn)為圓心,分別以a, b(ab0)為半徑作兩個(gè)圓,點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作ANOx,垂足為N,過(guò)點(diǎn)B作BMAN,垂足為M,A,N,B,設(shè)以O(shè)x為始邊，OA為終邊的角為，,點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x, y)。,那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y。,由于點(diǎn)A, B均在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義有:,yNM,xON,這是中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的參數(shù)方程。

2、,常數(shù)a、b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。,在橢圓的參數(shù)方程中，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為,|OA|cosacos，,|OB|sinbsin,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:,橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義:,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:,圓的參數(shù)方程:,x2+y2=r2,的幾何意義是,AOP=,橢圓的參數(shù)方程:,是AOX=,不是MOX=.,稱(chēng)為點(diǎn)M的離心角,小 結(jié),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：,橢圓的參數(shù)方程：,離心角,一般地：,在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、 b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半 軸長(zhǎng). ab,練習(xí) 把下列普通方程化為參數(shù)方程.,(1),(2),(3),(4),把下列參數(shù)方程化為普通方程,練習(xí) O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是橢圓 上 離心角

3、為-/6所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，那么直線OP的傾角的正切值是 .,可得P點(diǎn)坐標(biāo),所以直線OP的傾角的正切值是:,解：因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為,所以可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由點(diǎn)到直線的距離公式，得到點(diǎn)M到直線的距離為,例1、如圖，在橢圓 上求一點(diǎn)M，使M到直線 l：x+2y-10=0的距離最小.,例1、如圖，在橢圓 上求一點(diǎn)M，(1)使M到直線 l ：x+2y-10=0的距離最小.,例1、已知橢圓 上點(diǎn)M(x, y)，(2)求2x+3y的最大值和最小值；,例2、如圖，在橢圓x2+8y2=8上求一點(diǎn)P，使P到直線 l：x-y+4=0的距離最小.,分析1：,分析2：,分析3：,平移直線 l 至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求

4、.,例3、已知橢圓 有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面積。,練習(xí) 已知A,B兩點(diǎn)是橢圓 與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形OAPB的面積最大.,例4 求橢圓 的內(nèi)接矩形的面積及周長(zhǎng)的最大值。,解:設(shè)橢圓內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)是,矩形面積和周長(zhǎng)分別是S、L,此時(shí)存在。,例6 取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接 A(4sin,6cos)和B(-4cos, 6sin) 兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是 . A. 圓 B. 橢圓 C. 直線 D. 線段,例5 四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓 其中點(diǎn)A(3,0)，C(0,4)，B、D分別位于橢圓第一象限與第三象限的弧上。求四邊形ABCD面積的最

5、大值。,例7 已知點(diǎn)A在橢圓 上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B(0, 9)、點(diǎn)M在線段AB上，且 ,試求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。,(是參數(shù)),消去參數(shù)得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是:,例6 橢圓 與x軸的正向相交于點(diǎn)A, O為坐標(biāo)原點(diǎn), 若這個(gè)橢圓上存在點(diǎn)P，使得OPAP。求該橢圓的離心率e的取值范圍。,解:設(shè)橢圓上的點(diǎn)P的坐標(biāo)是,(0且), A(a, 0),而OPAP，,（舍去），,因?yàn)?所以,可轉(zhuǎn)化為,解得,于是,B,設(shè)中點(diǎn)M (x, y),x=2sin-2cos,y=3cos+3sin,練習(xí):,1 取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接 A(4sin,6cos)和B(-4cos, 6sin)兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是 . A. 圓 B. 橢

6、圓 C. 直線 D. 線段,( ),B,雙曲線的參數(shù)方程,M,以原點(diǎn)O為圓心, a, b(a0, b0)為半徑分別作同心圓C1,C2.,設(shè)A為圓C1上任一點(diǎn), 作直線OA,過(guò)A作圓C1的切線AA與x交于點(diǎn)A,過(guò)圓C2與x軸的交點(diǎn)B作圓C2的切線BB與直線OA交于點(diǎn)B。,過(guò)點(diǎn)A, B分別作y軸, x軸的平行線AM, BM交于點(diǎn)M,設(shè)OA與OX所成角為(0, 2),/2,3/2),求點(diǎn)M的軌跡方程, 并說(shuō)出點(diǎn)M的軌跡。,b,a,o,x,y,),M,B,A,事實(shí)上,(t 是參數(shù), t 0),化為普通方程, 畫(huà)出方程的曲線.,練習(xí):,4,例1. 求點(diǎn)M0(0, 2)到雙曲線x2y2=1上點(diǎn)的最小距離。

7、,不妨設(shè)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為,則直線MA的方程為,解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為,平行四邊形MAOB的面積為,由此可見(jiàn)，平行四邊形MAOB的面積恒為定值，,與點(diǎn)M在雙曲線上的位置無(wú)關(guān),說(shuō)明：, 這里參數(shù) 叫做雙曲線的離心角與直線OM的傾斜角不同., 雙曲線的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式 相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.,例3,例4 求證：等軸雙曲線平行于實(shí)軸的弦在兩頂點(diǎn)所張的角均為直角。,證明：設(shè)雙曲線方程為,取頂點(diǎn)A2(a, 0), 弦AB Ox，,弦AB對(duì)A1張直角，,同理對(duì)A2也張直角,例5 已知雙曲線， A，B是雙曲線同支上相異兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交

8、于點(diǎn)P ,求證：,，,解：設(shè)A，B坐標(biāo)分別為,則中點(diǎn)為M,于是線段AB中垂線方程為,將 代入上式,(A，B相異)，,例6 求證：等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積是常數(shù)。,拋物線的參數(shù)方程,前面曾經(jīng)得到以時(shí)刻 t 為參數(shù)的拋物線的參數(shù)方程:,對(duì)于一般拋物線，怎樣建立參數(shù)方程呢？,以拋物線的普通方程,為例，其中p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。,設(shè)M(x, y)為拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，以射線OM為終邊的角記作,顯然，當(dāng)在 內(nèi)變化時(shí)，點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，并且對(duì)于的每一個(gè)值，在拋物線上都有唯一的點(diǎn)M與之對(duì)應(yīng)，因此，可以取為參數(shù)來(lái)探求拋物線的參數(shù)方程.,因?yàn)辄c(diǎn)M在的終邊上，根據(jù)三角函數(shù)定義可得,由方程

9、,(為參數(shù)),這是拋物線(不包括頂點(diǎn))的參數(shù)方程.,如果令,(為參數(shù)),當(dāng)t=0時(shí)，上式表示的點(diǎn)正好就是拋物線的頂點(diǎn)(0,0),因此，當(dāng) 時(shí)，,（t為參數(shù)）,就表示整條拋物線參數(shù) t 表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù),C,練習(xí),例1 如圖，O為原點(diǎn)，A,B為拋物線 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且OAOB，OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程,當(dāng)點(diǎn)A,B在何位置時(shí),AOB面積最小？最小值是多少？,練習(xí) 已知橢圓C1: 及拋物線C2: y2=6(x-3/2)；若C1C2，求m的取值范圍。,代入得 cos2+4cos +2m-1=0,所以 t2+4t+2m-1=0 在-1, 1內(nèi)有解；,3 已知A, B, C是拋物線 y2=2px(p0)上的三個(gè)點(diǎn)，且BC與x軸垂直，直線AB和AC分別與拋物線的軸交于D, E兩點(diǎn)，求證：拋物線的頂點(diǎn)平分DE.,練習(xí),4 經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px(p0)的頂點(diǎn)O任作兩條互相垂直的線段OA和OB，以直線OA的斜率k為參數(shù)，求線段AB的中點(diǎn)M的參數(shù)方程。,解：直