第1部分第3章 特征標(biāo)理論(2).ppt

1、第一部分 群論基礎(chǔ)第三章 群表示特征標(biāo)理論 (2),(七) 不可約表示特征標(biāo)表的計算 2 一, 正交法 (1) 將群分類, 并由此可確定類數(shù) C. 再根據(jù)不可約表示數(shù)定理( r = C ), 可得不可約表示數(shù) r 值. 從而可確定不可約表示特征標(biāo)表的行數(shù)( r ) 和列數(shù)( C ). (2) 由維度定理 ( i ni2 = h ) 和不可約表示數(shù)定理 ( r = C ), 可求得所有不可約表示的維度 ni , (3) 如此, 可確定不可約表示特征標(biāo)表的第一行 ( 都是“ 1 ” ) 和第一列( ni ) 例: D3 群: E A B C D F ( h = 6 ) 分類: C1 C2 C3 (

2、 r = C = 3 ) 由 i ni2 = h = 6 可得, n1 = n2 = 1, n3 = 2 從而可得不可約表示特征標(biāo)表的第一行和第一列 *,D3 E 3C2 2C3 3 D1 1 1 1 D2 1 a b D3 2 c d (3) 由不可約表示特征標(biāo)正交性和完全性定理求其它各未知數(shù) 正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行間正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm ) i ( Cn ) = mn ( 列間正交 ) 1, 利用正交性定理確定一維表示D2 的 a 和 b, 有 1 1 1 + 3 1 a +

3、 2 1 b = 0 ( 第1, 2 行正交 ) 1 + 3 a + 2 b = 0 - (13) 對于一維(么正)表示, 只有一個矩陣元, 其模為1 提問: 其?？梢源笥诨蛐∮?1 嗎? 為什么? 答案: 不可, 否則不能滿足群的封閉性 *,不妨取 “+1” 和 “-1” ( 其正確性需通過下面的檢驗 ) 4 由(13)式可得 a = -1, b = 1 2, 利用完全性定理確定二維表示D3 的 c 和 d, 1) 1 1 + 1 a + 2 c = 0 ( 第 1, 2 列正交 ) 1 + a + 2c = 0 , 則 c = 0 2) 1 1 + 1 b + 2 d = 0 ( 第 1,

4、 3 列正交 ) 1 + b + 2d = 0, 則 d = -1 因此有 D3 E 3C2 2C3 D1 1 1 1 D2 1 -1 1 D3 2 0 -1 其結(jié)果滿足正交性和完全性關(guān)系的要求, 是正確的. *,5 二, 利用商群和母群的同態(tài)關(guān)系 當(dāng)群元較多時, 因未知數(shù)較多, 直接利用正交法有困難. 有時 可利用商群 / H 和大群 的同態(tài)關(guān)系 G/ H ( H為不變子群 ) 商群的表示也是大群的表示 ( 彼此同態(tài) ) 商群的不可約表示也是大群的不可約表示 提問: 為什么? 答案: 群元數(shù)目增加, 表示的不可約性不會改變 由商群不可約表示的特征標(biāo)可得大群相應(yīng)不可約表示的特征標(biāo) *,6 例,

5、 由C2 群的不可約表示特征標(biāo)表求D3 群的不可約表示特征標(biāo)表 D3 群 C2 群 E, D, F (不變子群 H ) E A, B, C C2 C2 E C2 D3 E D F A B C D1 1 1 D1 1 1 1 D2 1 -1 D2 1 1 -1 D3 2 a b (1) 由C2 群不可約表示D1 和 D2 的特征標(biāo)可得D3 群不可約表示 D1 和 D2 的特征標(biāo) ( 注意兩群間群元的對應(yīng)關(guān)系 ) (2) D3 群不可約表示特征標(biāo)表中的 a 和 b 可由完全性定理求得 a = -1, b = 0 *,7 思考題: 一般說來, 不可約表示是唯一確定的嗎? 答案: 不是, 可作相似變換

6、, 彼此等價 思考題: 不可約表示的特征標(biāo)是唯一確定的嗎? 答案; 是, 矩陣相似變換特征標(biāo)不變 習(xí)題: 利用商群和大群的同構(gòu)關(guān)系及正交法求四置換群S4的不可 約表示特征標(biāo)表. 已知D3群不可約表示特征標(biāo)表, 且知三置 換群S3與D3同構(gòu), 并S3群與S4群的類之間有如下對應(yīng)關(guān)系: S4 : 1C1 , 3C4 ( 不變子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 ) S3 : 1C1, 3C2 , 2C3 ( h3 = 6 ) *,三, 類和法 8 ( 類和法可彌補(bǔ)正交法的缺陷, 但仍需借助正交性定理 ) (1) 類和矢量: 在群元空間中定義如下類和矢量 ( 不歸一化 )

7、 Ci = R ( R Ci , Ci 為第 i 類 ) 類和矢量與類矢量的不同在于未經(jīng)歸一化 (2) 類和定理: 1, Ci Cj = k Cijk Ck - (1) 即兩類和矢量的乘積可按類和矢量展開 ( 兩完正類的乘積仍為完正類的和 ) 2, 令 i, j, k分別為Ci , Cj, Ck 類的不可約表示特征標(biāo), 則 hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) - (2) (2)式中: Cijk 即為 (1) 式中的 Cijk , E = 1 為 E 類的特征標(biāo), hi , hj , hk 分別為 Ci , Cj, Ck 類的階 *,(

8、3) 類和定理的證明 9 1, 證明(1)式 第一步: 證明類和矢量 Ci 與一切群元矢量 R 對易 Ci R = R Ci, 即 R-1 Ci R = Ci - (3) 習(xí)題: 證明 Ci X = X Ci, X 為群元空間中一切矢量 若此題證明了, 則 (3) 式也就證明了 第二步: 證明, 若群元空間中矢量 A 和一切群元矢量 R 對易 R-1 A R = A - (4) 則A 必由若干類和矢量 ( 完整的類 ) 構(gòu)成 證: R為任一群元, 若(4)式左邊A中含有某類的任一元 則(4)式右邊A中必含有該類所有的元 又 (4)式左右兩邊A相同 A含完正的類 *,第三步: 證明(1)式 10

9、 由(3)式得 Ci = R-1 Ci R , Cj = R-1 Cj R 則 Ci Cj = R-1 Ci R R-1 Cj R = R-1 Ci Cj R 由第二步的證明結(jié)果可知, Ci Cj 必然只包含完整的類 即 Ci Cj = k Cijk Ck 因此, (1)式得證 2, 證明 (2) 式: 令 Di p 為 Ci 中諸群元第 p 個不可約表示 Dp ( np 維) 矩陣的矩陣和 ( 不是直和 ), Di p 亦為 np 維. Di p = R Dp ( R ) ( R Ci ) 由(3)式知 R-1 Ci R = Ci - (3) 換成相應(yīng)表示矩陣, 則有 Dp -1 ( R )

10、 Di p Dp ( R ) = Di p 即 Di p Dp ( R ) = Dp ( R ) Di p 根據(jù)舒爾引理, Di p 必為常數(shù)矩陣 Di p = i I - (4) 則 tr Di p = i tr I = E i , tr I = np = E - (5) *,另一方面 Di = R D ( R ) ( R Ci ) 11 tr Di = R tr D ( R ) = R ( R ) ( R Ci ) 則 tr Di = hi ( Ci ) = hi i - (6) 其中 i = ( Ci ) 由(5)式知 tr Di = E i 則由(6)式得 E i = hi i 故 i

11、 = hi ( i / E ) - (7) 由(1)式 Ci Cj = k Cijk Ck - (1) 可知 Di Dj = k Cijk Dk - (8) 由(4)式 Di = i I - (4) 得 i j I I = k Cijk k I 提問: I I = ? i j = k Cijk k 提問: I I = I 利用(7)式有 hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) - (2) 于是, 類和定理全部得證 *,(4) 以D3 群為例, 驗證類和定理的第一部分, 12 即 Ci Cj = k Cijk Ck , ( 完整類的線性組合

12、 ) - (1) 并求出展開系數(shù)Cijk D3 : C1 = E, C2 = A + B + C , C3 = D + F C2 C2 = ( A + B + C ) ( A + B + C ) = A A+A B+A C+B A+ B B+B C+C A+C B+C C = E + D + F + F + E + D + D + F + E = 3 C1 + 3 C3 驗證了公式(1)的正確性 提問: C22k = ? 因此有 C221 = 3, C222 = 0, C223 = 3 同樣可得其它 Cijk 習(xí)題: 試將D3 群的 C2 C3 展開, 并寫出相應(yīng)的Cijk *,(5) 以 D

13、3 群為例, 利用類和定理求不可約表示特征標(biāo) 13 1, 求一維不可約表示特征標(biāo) E = 1 = 1 取 i = j = 3 ( 可取不同的 i, j 值 ) 因為 C3 C3 = 2 C1 + C3 ( 可利用群表驗證 ) 所以 C331 = 2, C332 = 0, C333 = 1 由(2)式 hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) - (2) 得 2 3 2 3 = 2 1 1 + 0 3 2 + 1 2 3 ( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, E = 1 = 1 ) 4 3 2 = 2 + 2

14、 3 2 3 2 - 3 - 1 = 0 3 = - 1/2 或 + 1 提問: 哪個該舍去? 為什么? 答案: - 1/2 該舍去, 因為模小于1 *,為求2 , 再取 i = j = 2 14 利用群表可得 C2 C2 = 3 C1 + 3 C3 所以 C221 = 3, C222 = 0, C223 = 3 由(2)式 hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) - (2) 得 3 ( 2 /1) 3 (2 /1) = 3 1 ( 1 /1) + 0 3 ( 2 /1) + 3 2 ( 3 /1) ( hi = hj = h2 = 3,

15、 h1 = 1, h3 = 2, E = 1 ) 1 = E = 1 故有 9 2 2 = 3 + 6 3 , 由上頁結(jié)果知 3 = 1 則有 2 2 = 1 , 得 2 = 1 或 -1 兩個一維不可約表特征標(biāo)為: D3 E 3C2 2C3 D1 1 1 1 D2 1 -1 1 *,15 2, 求二維不可約表示特征標(biāo) 對于二維表示 E = 1 = 2 仍取 i = j = 3 如前述有 C3 C3 = 2 C1 + C3 C331 = 2, C332 = 0, C333 = 1 由(2)式 hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) - (

16、2) 因為 hi = hj = h3 = 2, h2 = 3, h1 = 1, E = 1 = 2 則 2 ( 3/2 ) 2 ( 3/2 ) = 2 1 ( 2/2 ) + 0 3 ( 2/2 ) + 1 2 ( 3/2 ) 3 2 = 2 + 3 3 2 - 3 - 2 = 0 3 = 2 或 - 1 *,再取 i = j = 2 16 如前述有 C2 C2 = 3 C1 + 3 C3 C221 = 3, C332 = 0, C333 = 3 由(2)式 hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) - (2) 因為 hi = hj = h

17、2 = 3, h1 = 1, h3 = 2, E = 1 = 2 則 3( 2/2 )3 ( 2/2 ) = 31(2/2 ) + 03 ( 2/2 ) + 32 ( 3/2 ) 簡化可得 3 2 2 = 4 ( 3 + 1 ) 當(dāng) 3 = -1 時, 2 = 0 當(dāng) 3 = 2 時, 2 = 2 或 - 2 由此似乎有三個二維不可約表示 D3 E 3C2 2C3 D3 2 0 -1 D4 2 2 2 提問: D3, D4, D5 的可約性? D5 2 - 2 2 D4 = 2 D1 , D5 = 2 D2 ( 直和 ), 為可約表示, 應(yīng)舍去 *,習(xí)題: 試用類和法求D2d 群的二維不可約表

18、示特征標(biāo). 17 已知D2d群的乘積表(可不用)和一維不可約表示特征標(biāo)為: D2d E C2 C2x C2y d1 d2 iC4 iC4-1 E E C2 C2x C2y d1 d2 iC4 iC4-1 C2 C2 E C2y C2x d2 d1 iC4-1 iC4 C2x C2x C2y E C2 iC4 iC4-1 d1 d2 C2y C2y C2x C2 E iC4-1 iC4 d2 d1 d1 d1 d2 iC4-1 iC4 E C2 C2y C2x d2 d2 d1 iC4 iC4-1 C2 E C2x C2y iC4 iC4 iC4-1 d2 d1 C2y C2x C2 E iC4

19、-1 iC4-1 iC4 d1 d2 C2x C2y E C2 D2d E C2 2C2 2d 2iC4 D1 1 1 1 1 1 D2 1 1 -1 -1 1 D3 1 1 1 -1 -1 D4 1 1 -1 1 -1 *,(八) 群的分導(dǎo)表示 18 一, 分導(dǎo)表示的定義 如有母群 G 和子群 H , H G , 已知群 G 的第 i 個不可約表示 為Di , 則可以用這些不可約表示作為子群的表示 , 如此得到的群 H 的表示稱為 Di 在 H 中的分導(dǎo)表示Dis (1) 顯然 Dis 的特征標(biāo)與 Di 的特征標(biāo)相同 ( Dis ) = ( Di ) 提問: 這些表示是 H 的不可約表示嗎?

20、 為什么? (2) 對于群 H , 這些表示通常是可約的, 因為群元數(shù)減少了 可約化為 Dis = j aij j - (1) 其中, j 是 H 的第 j 個不可約表示 *,二, Frobenius 第一定理 ( 求分導(dǎo)表示的約化系數(shù) ) 19 (1) 定理的內(nèi)容: 如, i 是群 G 第 i 個不可約表示 Di 中第 類的特征標(biāo), j是群 H 第 j 個不可約表示 j中第 類的特征標(biāo), 則有 aij = h j* i / h - (2) 其中, h 是 H 的階, h 是群 H 中 類的階 (2) 定理的證明 由(1)式 Dis (R) = j aij j (R) H中的R, 在H中屬類,

21、 在G中屬類 對矩陣的對角元求和得 i ( R ) = j aij j ( R ) 兩邊乘以 h j*, 并對H中所有的類求和得 h j* i = j aij h j* j 由群 H 不可約表示特征標(biāo)正交性定理知 = j aij h jj = aij h 將 j 換成 j 得(2)式 aij = h j* i / h - (2) *,(3) 舉例: G: C4V , H: C2V 20 G E C2 2v 2d 2C4 H H E C2 v v” 1 1 1 1 1 1 D1s 1 1 1 1 1 2 1 1 -1 -1 1 D2s 2 1 1 -1 -1 3 1 1 1 -1 -1 D3s

22、3 1 -1 1 -1 4 1 1 -1 1 -1 D4s 4 1 -1 -1 1 5 2 -2 0 0 0 D5s Dis = j aij j - (1) 由(2)式 aij = h j* i / h - (2) 得 a42 = h 2* 4 / h ( i = 4, j = 2, h = 4 ) = 11 + 11 + (-1) (-1) + (-1) (-1) / 4 = 1 群 H 的 類: E C2 v v” 群 G 的 類: E C2 v *,21 由(2)式得 a24 = h 4* 2 / h ( i = 2, j = 4 ) = 11+ (-1)1+ (-1)(-1) + 1(

23、-1) /4 = 0 群 H 的 類: E C2 v v” 群 G 的 類: E C2 v 類此得 a11 = a22 = a42 = 1 其余 a1j = a2j = a4j = 0 ( j = 1 - 4 ) 由(1)式可得: D1s = 1 , D2s = 2 , D4s = 2 習(xí)題: 試求 C4V 對于 C2V 的分導(dǎo)表示 D3s 和 D5s, 對其約化 *,(九) 特征標(biāo)投影算符 22 一, 由特征標(biāo)構(gòu)成的投影算符 投影算符的定義為 P i = ( ni / h ) R D i* ( R ) PR - (1) 并有 P i j = ij j - (2) 令 = , ( 取對角元,

24、以求特征標(biāo) ) 由 (1) 式得 P i = ( ni / h ) R D i* ( R ) PR - (3) 由 (2) 式得 P i j = ij j - (4) 將 (3) 對 求和 P i = ( ni / h ) R D i* ( R ) PR 定義由特征標(biāo)構(gòu)成的投影算符為 Pi = P i = ( ni / h ) R i* ( R ) PR - (5) 將 (4) 式 求和 P i j = ij j 得 Pi j = ij j = i ( j = i ); 0 ( j i ) 即 Pi j = ij i = i ( j = i ); 0 ( j i ) - (6) *,二, 特征

25、標(biāo)投影算符的討論 23 Pi j = ij i = i ( j = i ); 0 ( j i ) - (6) 思考題: 1, (6) 式右邊的 i 可以換成 j 嗎? 2, 根據(jù) ij 的功能, (6) 式如對 j 求和將如何? 將 (6) 式兩邊對 j 求和 j Pi j = j ij i Pi j j = i - (7) (7) 表明, 特征標(biāo) 投影算符 Pi 可以從諸不可約表示基矢中挑 出 i. 就此意義而言, (6) 式右邊的 i 不可換成 j 思考題: 如 (6) 式兩邊乘 bi , 再對 j 求和將如何? ( bi 為系數(shù)) j Pi bi j = j ij bi i Pi j b

26、i j = bi i - (8) (8) 表明, 特征標(biāo) 投影算符 Pi 可以從含有 i 的某矢量 F = j bi j 中挑出 i *,三, 特征標(biāo)投影算符和對角矩陣元投影算符對照 24 (1) 對角矩陣元投影算符 Pi Pi F = i ( F = F + i ) 例1: D3 群, F1 = sin2 P113 F1 = P113 sin2 = 2-1/2 ( sin2 - cos2 ) = 1 3 說法1: P113 從 F1 = sin2 中挑出 1 3 = 2-1/2 ( sin2 - cos2 ) 說法2: 通過 P113 由 F = sin2 生成 1 3 = 2-1/2 (

27、sin2 - cos2 ) 例2: D3 群, F2 = cos 2 P113 F2 = 0 ( 自證 ) 提問: 為什么? F2 = cos 2 = 23 中不含有 13, 彼此正交, 由 F2 不能生成 13 (2) 特征標(biāo)投影算符 Pi Pi 的功能與Pi 類似, Pi 比 Pi 確定, 也更容易獲得. 特征標(biāo)投影算符 Pi 的應(yīng)用將在以后的章節(jié)中介紹. *,(十) 正規(guī) ( 則 ) 表示 一種特殊的表示, 看能給出什么信息 25 一, 思路: (1) 群表示矢量空間的基矢既可任取, 不妨取群元為 基矢, 即在群元空間中求群的表示, 結(jié)果將如何? (2) 群元算符作用在群元基矢上 提問:

28、 結(jié)果是什么? 仍為群元, 故相應(yīng)的表示必然簡單 提問: 此表示矩陣的矩陣元有何特征, 其值為何? 二, 群元空間中群元算符的作用 (1) 群元算符對基矢的作用 算符 T (群元) 對基矢 R (群元) 的作用得另一基矢 TR (群元) T R = TR - (1) (2) 群元算符對群元空間中任一矢量 V 的作用 T V = T R R VR = R ( T R ) VR = R ( TR ) VR - (2) 仍在群元空間中 *,三, 正規(guī)表示 26 正規(guī)表示是群元空間中群的表示 不了 提問: 正規(guī)表示的維數(shù)是多少? 正規(guī)表示的維數(shù) = 群元空間的維度 = 群的階 h 四, 正規(guī)表示的矩陣

29、元 名稱 一般的表示空間 群元空間 群元R E, A, B - R, S, T, L - 基矢e e1, e2 , e3 - R, S, T, L - 算符A A1, A2, A3 - R, S, T, L - 算符表示的矩陣元 A DRS (L) 算符對基矢的作用 A ej = i ei Dij (A) L S = R R DRS(r) ( L ) - (3) ( “ (r) ” 為正規(guī)表示 ) 提問: (3)式中各符號何意? *,因為 L S = LS , L S = R R DRS(r) ( L ) = LS 27 所以 DRS(r) ( L ) = R, LS - (4) 提問: 為什

30、么? = 1 ( R = LS ); 0 ( R LS ) 答案: R = LS 時才有值 當(dāng) L = E 時, DRS(r) ( E ) = R, ES = R, S - (4) 即 D (r) ( E ) 為 h 維單位矩陣 提問: D (r) ( E ) 為什么是單位矩陣? 答案: R = S, 即對角元為1, 其它為0 提問: D (r) ( E ) 為什么是 h 維? 答案: 正規(guī)表示是 h 維 當(dāng) R = T E 時, DRS(r) ( T ) = R, TS - - (5) 五, 正規(guī)表示的特征標(biāo) 由(4)式得 (r) ( E) = h - (6) 提問: 為什么? 答案: D

31、(r) ( E ) 為 h 維單位矩陣 由(5)式得 (r) ( T ) = 0 (T E) - (7) 提問: 為什么? 答案: 因 R = S (對角元), T E , 故 (5)式中 TS = TR R, 即對角元 DRS(r) ( T ) 皆為 0, 則 (r) ( T ) = 0 *,六, 正規(guī)表示的約化 28 表示的約化 D (r) ( R ) = i D i ( R ) ai (r) - (8) ( “ i ” 為不可約表示的標(biāo)號 ) 約化途徑 (r) ( R ) = i i ( R ) ai (r) - (9) 約化系數(shù) ai (r) = R i*( R ) (r) ( R )

32、 / h = i*( E ) h / h 提問: 為什么? 答案: (r) ( R ) = h ( R = E ) ; 0 ( R E ) ai (r) = ni - (10) 提問: 為什么? D (r) ( R ) = i ni D i ( R ) - (11) 答案: i ( E ) = ni 七, 不可約表示維度定理 ( 另一證明 ) 思考題: ai = ni 給出了什么信息? ai (r) 0 , 說明群的正規(guī)表示可約, 并含有所有的不可約表示; ai(r) = ni , 說明正規(guī)表示中含有不可約表示 D i ( R ) 的個數(shù)為ni ; 由(9)式得 (r) ( E ) = i i

33、 ( E ) ai (r) - (12) h = i ni 2 - (13) 提問為什么? 答案: (r) ( E ) = h, i ( E ) = ni , ai = ni *,八, 不可約表示同類特征標(biāo)定理 29 ( 同群元或同類不可約表示特征標(biāo)之間的關(guān)系 ) 由如下三式: (r) ( R ) = i i ( R ) ai (r) - (9) (r) ( T ) = 0 ( T E ) - (7) ai (r) = ni - (10) 可知, R = T E 時有 i ni i ( T ) = 0 ( T E ) 因為特征標(biāo)是類的函數(shù) 故有 i ni i ( C ) = 0 ( C E ) - (14) 公式 (14) 可用來計算不可約表示特征標(biāo)表 也可用來檢驗算得