數(shù)理統(tǒng)計的基本概念.ppt

1、第一章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念,總體 研究對象全體元素組成的集合,X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征., 1.1 基本概念,所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量).記為X .,樣本 從總體中抽取的部分個體.,稱 為總體 X 的一個容量為n的樣本觀測值,或稱樣本的一個實現(xiàn).,用 表示, n 為樣本容量.,樣本空間樣本所有可能取值的集合.,個體 組成總體的每一個元素 即總體的每個數(shù)量指標(biāo),可看作隨機(jī) 變量 X 的某個取值.用 表示.,則稱 為簡單隨機(jī)樣本.,若總體 X 的樣本 滿足:,一般,對有限總體,放回抽樣所得到的樣本為簡單隨機(jī)樣本,但使用

2、不方便,常用不放回抽樣代替.而代替的條件是,(1) 與X 有相同的分布,(2) 相互獨立,簡單隨機(jī)樣本,N / n 10.,總體中個體總數(shù),樣本容量,設(shè)總體 X 的分布函數(shù)為F (x),則樣本,若總體X 的密度函數(shù)為 f(x),則樣本,的聯(lián)合密度函數(shù)為,的聯(lián)合分布函數(shù)為,為什么?,例1 設(shè)某批產(chǎn)品共有N 個,其中次品數(shù)為M, 則其次品率為,設(shè) p 是未知的,從這批產(chǎn)品中任取一個產(chǎn)品,用隨機(jī)變量X來描述它是否是次品:,X 服從參數(shù)為p 的0-1分布,可用如下表示 方法:,設(shè)有放回地抽取一個容量為 n 的樣本,的聯(lián)合分布為,其樣本值為,樣本空間為,若抽樣是無放回的,則前次抽取的結(jié)果會影響后面抽取的

3、結(jié)果.例如,結(jié)論： 當(dāng)樣本容量 n 與總體中個體數(shù)目N 相比很小時, 可將無放回抽樣近似地看作放回抽樣.,經(jīng)驗分布函數(shù),設(shè) 是取自總體分布函數(shù)為 的樣本值，若將樣本觀測值由小到大進(jìn)行排列為 ，則 稱為有序樣本，定義以下函數(shù),稱之為經(jīng)驗分布函數(shù)。,滿足分布函數(shù)的一切性質(zhì)！,對固定的 ， 是樣本中事件“ ”的頻率，當(dāng) 固定時， 是樣本的函數(shù)，它是一個隨機(jī)變量。,定理1.3.2（格里紋科定理）,設(shè) 是取自總體分布函數(shù)為 的樣本， 為其經(jīng)驗分布函數(shù)，則有,定理表明：當(dāng) 充分大時，經(jīng)驗分布函數(shù)是總體分布函數(shù)很好的近似。,頻率直方圖,（1）對樣本分組,（2）確定組距,（3）確定組限,（4）統(tǒng)計頻數(shù)，計算頻

4、率,（5）作圖,莖葉圖,莖葉圖的外觀很像橫放的直方圖，但是莖葉圖增加了具體的數(shù)值，從而保留了數(shù)據(jù)中的全部信息。,設(shè) 是取自總體X 的一個樣本,為一實值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù),稱,定義,例2 是未知參數(shù),若 , 已知,則為統(tǒng)計量.,是一樣本,是統(tǒng)計量,則,但,不是統(tǒng)計量!,其中,常用的統(tǒng)計量,為樣本均值,為樣本方差,為樣本標(biāo)準(zhǔn)差,為樣本的k 階原點矩,為樣本的k 階中心矩,例如,也稱為樣本方差。,設(shè)總體的期望和方差分別為,試推導(dǎo),不依賴于總體的分布！,定理 設(shè) 是取自某總體的樣本， 為樣本均值。 （1）若總體分布為 ，則 的精確分布為 。 （2）若總體分布未知或不是正態(tài)分布，但 則 較大時，

5、 的漸進(jìn)分布為 ，常記為,定理 設(shè) 是取自某總體的樣本， 為樣本均值。 （1）若總體分布為 ，則 的精確分布為 。 （2）若總體分布未知或不是正態(tài)分布，但 則 較大時， 的漸進(jìn)分布為 ，常記為,這里漸近是指 較大時的近似分布。,(5) 順序統(tǒng)計量與及其分布,設(shè),為樣本,則稱統(tǒng)計量,為順序統(tǒng)計量.,其中,將其按從小到大的順序排列為,最大（最小）順序統(tǒng)計量的分布,設(shè)總體的分布函數(shù)為 ，則,其中 表示 的分布函數(shù)。,一般地，有 定理：設(shè)總體X的密度函數(shù)為p(x)，分布函數(shù)為F(x)，則其第k個順序統(tǒng)計量 的密度函數(shù)為,例3 在總體 中,隨機(jī)抽取一個容量為36的樣本,求樣本均值 落在50.8到53.8之間的概率.,例4 設(shè)總體X