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文檔簡介

1、,第3章 信號的描述方法,3.1 信號的分類 3.2 信號的時域描述 3.3信號的頻域描述 3.4 隨機信號的描述,返回,在工程和科學(xué)研究中,經(jīng)常要對許多客觀存在的物體或物理過程進行觀測,就是為了獲取有關(guān)研究對象狀態(tài)與運動等特征方面的信息。被研究對象的信息量往往是非常豐富的,測試工作是按一定的目的和要求,獲取信號中感興趣的、有限的某些特定信息,而不是全部信息。為了達到測試目的,需要研究信號的各種描述方式,本章介紹信號基本的時域和頻域描述方法。,3.1 信號的分類,信號按數(shù)學(xué)關(guān)系、取值特征、能量功率等,可以分為確定性信號和非確定性信號、連續(xù)信號和離散信號、能量信號和功率信號等。,3.1.1 分類

2、方法一:確定性信號和隨機信號,1.確定性信號:能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖像表達的信號稱為確定性信號。,m,x(t),0,x(t),f0,A,t,k,周期信號:經(jīng)過一段時間間隔重復(fù)出現(xiàn)的信號,無始無終(時域無窮)。典型的如正(余)弦信號。,周期:滿足上式的最小T 值。 頻率:周期的倒數(shù),f = 1/T,單位:(Hz 赫茲) 圓頻率/角頻率:頻率乘以2 f, 即 =2 f =2 /T 實際應(yīng)用中,n 通常取為正整數(shù)。,數(shù)學(xué)表達:,信號的分類,T0 = 2 / 0 =1/ f0,(a) 周期信號之-正弦信號:,這種頻率單一的正弦或余弦信號稱為諧波信號。,(如周期方波、周期三角波等)由多個乃至無窮多個頻

3、率成分(頻率不同的諧波分量)疊加所組成,疊加后存在公共周期。,x(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 t,(b) 周期信號之-復(fù)雜周期信號,(a)非周期信號之-準(zhǔn)周期信號,非周期信號 能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系進行描述,但又不具有周期重復(fù)性的信號,稱為非周期信號。它分為準(zhǔn)周期信號和瞬態(tài)信號兩類。,也由多個頻率成分疊加而成,但不存在公共周期(本質(zhì)上不屬于周期信號)。,是在有限時間段存在,或隨著時間的增加而幅值衰減至零的信號,又稱為瞬變非周期信號。,(b)非周期信號之-瞬態(tài)信號,2.隨機性信號:,不能準(zhǔn)確預(yù)測信號未來瞬時值,也無法用準(zhǔn)確數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述的信號,稱為隨機信號,也稱不確定性

4、信號。,特點: 非確定性信號。 具有不重復(fù)性(在相同條件下,每次觀測的結(jié)果都不一樣)、不確定性、不可預(yù)估性。 采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述。,t,0,x(t),3.1.2 分類法二:連續(xù)信號和離散信號,若信號數(shù)學(xué)表示式中的獨立變量取值是連續(xù)的,則稱為連續(xù)信號。若獨立變量取離散值,則稱為離散信號。,3.1.3分類法三:能量信號和功率信號,如周期信號、準(zhǔn)周期信號、隨機信號等。,信號的瞬時功率:,信號能量:,能量(有限)信號:,功率(有限)信號: 信號在有限區(qū)間(t1, t2)上的平均功率:,如各類瞬變信號。,信號的時域描述 以時間為獨立變量,描述信號隨時間的變化特征, 反映信號幅值隨時間變化的關(guān)系

5、。 波形圖:時間為橫坐標(biāo)的幅值變化圖。 優(yōu)點:形象、直觀。 缺點:不能明顯揭示信號的內(nèi)在結(jié)構(gòu)(頻率組成關(guān)系)。,信號的描述分時域描述與頻域描述兩大類方法 。,3.2 信號的時域描述,信號的頻域描述 應(yīng)用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換,對信號進行變換(分解),以頻率為獨立變量建立信號幅值、相位與頻率的函數(shù)關(guān)系。 頻譜圖:以頻率為橫坐標(biāo)的幅值、相位變化圖。 幅值譜:幅值-頻率圖 相位譜:相位-頻率圖 頻域描述抽取信號內(nèi)在的頻率組成及其幅值和相角的大小,描述更簡練、深刻、方便。,信號時域與頻域描述的關(guān)系 時域描述與頻域描述是等價的,可以相互轉(zhuǎn)換, 兩者蘊涵的信息相同; 時域描述與頻域描述各有用武之地; 將信

6、號從時域轉(zhuǎn)換到頻域稱為頻譜(specrtrum)分析; 采用頻譜圖描述信號,需要同時給出幅值譜(amplitude spectrun)和相位譜(phase spectrum)。,3.2.1 時域信號的合成與分解,1.穩(wěn)態(tài)分量與交變分量; 信號可以分解為穩(wěn)態(tài)分量與交變分量之和,如圖所示。即,2.偶分量與奇分量; 信號可以分解為偶分量與奇分量之和,如圖所示。即 偶分量關(guān)于縱軸對稱,奇分量關(guān)于原點對稱。 信號分解為奇、偶分量之和,3.實部分量與虛部分量; 對于瞬時值為復(fù)數(shù)的信號可分解為實、虛兩部分之和,即 4.正交函數(shù)分量,信號,可以用正交函數(shù)集來表示,即,各分量正交的條件為,各分量的系數(shù),滿足正交

7、條件的函數(shù)集有:三角函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)等。,常用統(tǒng)計參數(shù):均值、均方值和方差。,均值(mean)反映信號的靜態(tài)分量,即常值分量:,均方值(mean square)反映信號的能量或強度:,3.2.2 信號的統(tǒng)計特征參數(shù),方差(Variance)反映信號偏離均值的波動情況:,三者關(guān)系,狄里赫利(Dirichet)條件: 信號(函數(shù))在一個周期內(nèi),若存在間斷點,則間斷點的數(shù)目為有限個。 信號(函數(shù))在一個周期內(nèi),極大值和極小值數(shù)目為有限個。 信號(函數(shù))在一個周期內(nèi),信號絕對可積,即,3.3.1 周期信號的頻域描述 (1)三角函數(shù)展開式 (傅里葉級數(shù)法),3.3 信號的頻域描述,其中,則可以展開為,傅

8、里葉系數(shù),式中,進一步,可以改寫為,例:求方波信號的頻域描述(傅里葉級數(shù)法),T0,T0,T0 2,T0 2,0,t,x(t),解:信號x(t)為奇函數(shù),在一個周期內(nèi)對奇函數(shù)積分結(jié)果為0,故有:,,,4A ,4A 3,4A 5,0,A(),0,30,50,0,0,30,50, (),/2,幅值譜,相位譜,周期方波信號的時、頻域描述,(2)復(fù)指數(shù)展開式,所以:,歐拉公式,令:,(n=0,1,2,),信號的描述,其中:,故用統(tǒng)一的公式描述傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式為:,按實頻譜和虛頻譜形式,幅頻譜和相頻譜形式,幅頻譜圖:| Cn | - 實頻譜圖: CnR - 虛頻譜圖: CnI - 相頻譜圖: n -

9、 ,信號的描述,例:畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。,解:,C-1 = 1/2,C1 = 1/2,Cn = 0(n=0, 2, 3, ),C-1 = j/2,C1 = -j /2,Cn = 0(n = 0, 2, 3, ),單邊幅頻譜,單邊幅頻譜,雙邊幅頻譜,雙邊幅頻譜,幾點結(jié)論,復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜( 從 - 到 +),三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜( 從 0 到 +)。,兩種頻譜各諧波幅值之間存在如下關(guān)系:,雙邊幅值譜為偶函數(shù),雙邊相位譜為奇函數(shù),一般周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)傅里葉展開式的實頻譜 總是偶對稱的,虛頻譜總是奇對稱的。,綜上所述,周期信號頻譜的特點如下: 周期信號的頻譜是離散譜

10、; 每個譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上,基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù); 復(fù)雜周期信號展開成傅里葉級數(shù)后,在頻域上是無限的。工程上常見的周期信號,其諧波幅值隨諧波次數(shù)的增高而減小 在頻譜分析中沒有必要取次數(shù)過高的諧波分量。,信號的描述,3.3.2 非周期信號的頻域描述,瞬變信號例 參見下頁,頻率之比為有理數(shù)的多個諧波分量,其疊加后由于有公共周期,是周期信號。 當(dāng)信號中各個頻率比不是有理數(shù)時,則信號疊加后是準(zhǔn)周期信號(屬非周期信號)。 一般非周期信號是指瞬變信號。,非 周 期 信 號,準(zhǔn)周期信號 信號中各簡諧成分 的頻率比為無理數(shù) 具有離散頻譜,瞬變信號 在一定時間區(qū)間內(nèi) 存在或隨時間的增 長衰減

11、至零,(1)傅里葉變換 (非傅里葉級數(shù)),非周期信號可以看成是周期T0 趨于無窮大的周期信號。,譜線無限靠近,變?yōu)檫B續(xù)譜 。,譜線長度:,此時根據(jù)傅里葉級數(shù)展開所表示的譜線失去意義。 信號存在就必然含有一定的能量,無論信號怎樣分解,其所含總能量應(yīng)當(dāng)不變。 無論周期增大到何種程度,信號能量沿頻率域的分布特征總存在,即非周期信號的頻譜依然存在。,設(shè)周期信號x(t)在一周期內(nèi)的傅里葉級數(shù)表示為,其中:,T0時, = 0 0,n0 ,Cn0。 但 CnT0 存在:,信號的描述,Cn表示n0(即)處的頻譜值,而 反映了單位頻帶的頻譜值(0為譜線間隔),稱為非周期信號的頻譜密度(spectrum dens

12、ity)函數(shù),簡稱頻譜函數(shù),它反映了信號能量沿頻域的分布狀況。 若以 的值為高、以間隔0為寬畫一個小矩形,則該小矩形的面積等于 = n0頻率處的頻譜值Cn(n0)。,信號的描述,信號的描述,傅里葉變換(FT),傅里葉逆變換(IFT),以,代入得,記為:,用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為,非周期信號的幅頻譜 和周期信號的幅頻譜 很相似,但是兩者量綱不同。 為信號幅值的量綱。 為信號單位頻寬上的幅值,是頻譜密度函數(shù)。工程測試中為方便,仍稱為頻譜。,例:矩形窗函數(shù)的頻譜(屬非周期、瞬態(tài)信號,區(qū)別方波),W(f)中 T 稱為窗寬,,森克函數(shù),通常稱窗函數(shù),W(f)函數(shù)只有實部,沒有虛部。,sinc

13、 以2為周期并隨的增加作衰減振蕩。 sinc是偶函數(shù),在n(n=1, 2, )處其值為0。,信號的描述,非周期信號頻譜的特點,基頻無限小,包含了從 0 的所有頻率分量。,頻譜連續(xù)。,|X()|與|Cn|量綱不同。|Cn|具有與原信號幅 值相同的量綱,|X()|是單位頻寬上的幅值。,非周期信號頻域描述的基礎(chǔ)是傅里葉變換。,(2) 傅里葉變換的主要性質(zhì),積 分,x(t t0),時 移,頻域微分,x(kt),尺度變換,時域微分,x(-f),X(t),對 稱 性,X1(f)X2(f),x1(t) x2(t),頻域卷積,AX(f)+bY(f),ax(t)+by(t),線性疊加,X1(f) X2(f),x

14、1(t)x2(t),時域卷積,實奇函數(shù),虛奇函數(shù),X*(-f),x*(t),共 軛,虛偶函數(shù),虛偶函數(shù),X(-f),x(-t),翻 轉(zhuǎn),虛奇函數(shù),實奇函數(shù),X(f f0),頻 移,實偶函數(shù),實偶函數(shù),函數(shù)的奇偶虛實性,頻 域,時 域,性 質(zhì),頻 域,時 域,性 質(zhì),頻域分析:傅里葉變換,自變量為 j w 復(fù)頻域分析:拉普拉斯變換, 自變量為 S = +j w Z域分析:Z 變換,自變量為z,頻域、復(fù)頻域、Z域的關(guān)系,補充預(yù)備知識:,奇偶虛實性,若x(t)為實偶函數(shù),則ImX(f)=0,X(f)為實偶函數(shù)。 若x(t)為實奇函數(shù),則ReX(f)=0,X(f)為虛奇函數(shù)。 若x(t)為虛偶函數(shù),則

15、ReX(f)=0,X(f)為虛偶函數(shù)。 若x(t)為虛奇函數(shù),則ImX(f)=0,X(f)為實奇函數(shù)。,若x(t)為實函數(shù),則 ReX( f ) = ReX( -f ) ImX( f ) = - ImX( -f ),對稱性:,證明: 互換 t 和 f 從而:X(t) x(-f),尺度改變性,證明:,(k 0),(k 0),綜上所述,時間尺度特性表明:信號在時域中壓縮(k 1,變化速度加快)等效于在頻域擴展(頻帶加寬);反之亦然。,尺度改變性質(zhì)舉例,證明: 若 t0為常數(shù) 則,時移結(jié)果只改變信號的相頻譜,不改變信號的幅頻譜,時移性,(c) 時移的時域矩形窗 (d) 圖(c)對應(yīng)的幅頻和相頻特性曲

16、線 時移性質(zhì)舉例,(a)時域矩形窗,圖(a)對應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線,0,0,0,0,0,0,例:求三個窗函數(shù)的頻譜。,對于矩形窗函數(shù)w(t),問題描述為求w(t -)+ w(t)+ w(t +)的頻譜,根據(jù)時移性質(zhì),頻移特性,若f0為常數(shù),證明,卷積特性,證明: 函數(shù)x(t)與y(t)的卷積定義為,同理可得,微分特性,證明:,同理:,傅里葉的兩個最主要的貢獻,周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和 傅里葉的第一個主要論點 非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示 傅里葉的第二個主要論點,3.3.3 幾種典型信號的頻譜,3.3.3.1單位脈沖函數(shù)(函數(shù)) 的頻譜 1. 函數(shù)定義,且其面積(

17、強度):,2. 函數(shù)的性質(zhì),采樣性,函數(shù)與其他函數(shù)的卷積示例,(t),0,t,1,x(t),0,t,A,0,t,A,x(t) (t),(tt0),0,t,x(t),0,t,0,t,(t+t0),(t-t0),x(t) (t t 0),-t0,t0,-t0,t0,3. 函數(shù)的頻譜,對(t)取傅里葉變換,函數(shù)具有等強度、無限寬廣的頻譜,這種頻譜常稱為“均勻譜”。,函數(shù)是偶函數(shù),即 ,則利用對稱、時移、頻移性質(zhì),還可以得到以下傅里葉變換對,(各頻率成分分別移相2ft0),(t t0),(f) (單位脈沖譜線),1 (幅值為1的直流量),1 (均勻頻譜密度函數(shù)),(t) (單位瞬時脈沖),頻 域,時

18、域,單位脈沖函數(shù)的時、頻域關(guān)系,3.3.3.2 矩形窗函數(shù)和常值函數(shù)的頻譜,(1)矩形窗(rectangle window)函數(shù)的頻譜,(2)常值函數(shù)(又稱直流量) 的頻譜,幅值為1的常值函數(shù)的頻譜為 f = 0處的函數(shù)。,當(dāng)矩形窗函數(shù)的窗寬 T 趨于無窮時,矩形窗函數(shù)就成為常值函數(shù),其對應(yīng)的頻域為函數(shù)。,(3) 單位階躍函數(shù)的頻譜 單位階躍函數(shù)可以看作是單邊指數(shù)衰減函數(shù)a 0時的極限形式。,單位階躍函數(shù)及其頻譜,(4)正余弦(sine/cosine)函數(shù)的頻譜密度函數(shù),正余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件,不能直接對之進行傅里葉變換。由歐拉公式知:,(5)梳狀(comb)函數(shù)(等間隔的周期單位脈沖序

19、列)的頻譜,Ts為周期;n為整數(shù)。梳狀函數(shù)為周期函數(shù)。表示成傅里葉級數(shù),(fs = 1 / Ts),因為在(-Ts /2,Ts /2)區(qū)間內(nèi)只有一個函數(shù)(t),故,從而,所以,即梳狀函數(shù)的頻譜也為梳狀函數(shù),且其周期為原時域周期的倒數(shù)(1/Ts),脈沖強度為1/Ts。,(6)指數(shù)(exponent)函數(shù)的頻譜,雙邊指數(shù)衰減函數(shù),其傅里葉變換為,單邊指數(shù)衰減函數(shù)及其頻譜,(7) 符號(sign)函數(shù)及其頻譜,符號函數(shù)的頻譜 符號函數(shù)可以看作是雙邊指數(shù)衰減函數(shù)當(dāng)a 0時的極限形式,即:,隨機信號是非確定性信號 隨機信號具有不重復(fù)性(在相同條件下,每次觀測的結(jié)果都不一樣)、不確定性、不可預(yù)估性 隨機信

20、號必須采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述 相關(guān)概念 隨機現(xiàn)象:產(chǎn)生隨機信號的物理現(xiàn)象 樣本(sample)函數(shù):隨機現(xiàn)象的單個時間歷程,即對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄。記作xi(t),i表示第i次觀測。 樣本記錄:在有限時間區(qū)間上觀測得到的樣本函數(shù) 隨機過程:在相同試驗條件下,隨機現(xiàn)象可能產(chǎn)生的全體樣本函數(shù)的集合(總體)。記作x(t),即 x(t) = x1(t),x2(t),xi(t),,3.4 隨機信號的頻域描述,隨機變量:隨機過程在某一時刻t1的取值x(t1)是一個隨機變量,隨機變量一般定義在樣本空間上。 集合平均:一般而言,任何一個樣本函數(shù)都無法恰當(dāng)?shù)卮黼S機過程 x(t) ,隨機過程在任何時刻的統(tǒng)計特性需用其樣本函數(shù)的集合平均來描述。 時間平均:按單個樣本函數(shù)的時間歷程進行平均計算。 平穩(wěn)與非平穩(wěn)隨機過程:平穩(wěn)

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