計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)下-第5編-數(shù)值分析

1、計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(下)第5編 數(shù)值分析,第12章 數(shù)值積分與微分(續(xù)),本章主要內(nèi)容：,高斯點 高斯勒讓德公式 高斯求積公式 等距節(jié)點的兩點求導(dǎo)公式 三點求導(dǎo)公式 重點：高斯求積公式 難點：積分區(qū)間的轉(zhuǎn)化，等距節(jié)點的三點求導(dǎo)公式。,教學(xué)要求：,1。熟練掌握高斯點的求法， 2。會用高斯求積公式計算數(shù)值積分， 3了解高斯求積公式的代數(shù)精度， 4掌握幾個數(shù)值微分計算公式。,教學(xué)資源,1 中央電大在線平臺上文字輔導(dǎo)材料計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)數(shù)值積分(02-12)和IP課件計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(二)輔導(dǎo)2，學(xué)員需注冊才能進入。 2 安徽電大網(wǎng)站上的教學(xué)服務(wù)欄目中有文字輔導(dǎo)材料第三次輔導(dǎo)。 注意：安徽電大影音在線中

2、的VOD教學(xué)課件中計算機本科的教學(xué)欄目內(nèi)的課件全部是計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(上)的教學(xué)內(nèi)容，不可看。而應(yīng)該在計算機?？频慕虒W(xué)欄目中看計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(下)06的教學(xué)內(nèi)容。,12.3 高斯求積公式,12.3.1 高斯求積公式和高斯點 考察兩個點的求積公式： 它可以是： 具有1次代數(shù)精度， 也可以是： 具有3次代數(shù)精度。 它表明，有n+1個節(jié)點的求積公式 最高可以具有2n+1次代數(shù)精度。 這類求積公式稱為高斯求積公式。,當求積公式： 具有2n+1次代數(shù)精度時，其n+1個節(jié)點 稱為高斯點。 這樣的求積公式對于一切次數(shù)不超過2n+1次的多 都能精確成立，關(guān)鍵問題是哪些節(jié)點是高斯點，各節(jié) 點對應(yīng)的系數(shù) 是多少。

3、下面，我們就給出求高斯點的公式： 高斯勒讓德公式。,12.3.2 高斯勒讓德公式 通過變量替換 ，我們可以把積分 區(qū)間從a,b變換成-1,1， 當t在-1,1間取值時， 的值在a,b間 把以t為變量的積分值乘以 ，就得到以x為變量 在區(qū)間a,b上的積分值。 因此，我們可以在區(qū)間-1,1內(nèi)尋找高斯點。 在區(qū)間-1,1上的求積公式稱為高斯勒讓德公式：,勒讓德多項式： 的零點就是在區(qū)間-1,1內(nèi)的高斯點。 注意：這里的n指的是在區(qū)間-1,1內(nèi)節(jié)點的個數(shù)， 而不是下面求高斯求積公式的代數(shù)精度時所說的n。 n1， n2， n3，,選取適當?shù)南禂?shù)。就可得到高斯求積公式： 1個節(jié)點時， 具有1次代數(shù)精度。算

4、代數(shù)精度時的n0。 2個節(jié)點時， 具有3次代數(shù)精度。算代數(shù)精度時的n1。 3節(jié)點時， 具有5次代數(shù)精度。算代數(shù)精度時的n2。,例2 用兩個節(jié)點的高斯勒讓德求積公式計算積分 解：取 ， n1，具有3次代數(shù)精度。,例3 用高斯勒讓德求積公式計算 使其具有5次代數(shù)精度。 解：2n+15，n2，用3個節(jié)點的高斯勒讓德公式,12.4 數(shù)值微分,本書中求數(shù)值微分的方法稱為插值型求導(dǎo)公式。 它的思路是：利用已知的函數(shù)值 ，用 等距節(jié)點的插值多項式Pn(x)作為f(x)的近似，然后 對Pn(x)求導(dǎo)，得到f(x)。 我們知道，兩點的插值函數(shù)為： 若兩個節(jié)點用 表示，并記,兩節(jié)點的導(dǎo)數(shù)為： 三點的插值函數(shù)為：

5、若節(jié)點用 表示，并記,分別取 代入，得三節(jié)點處的求導(dǎo)公式 該公式比較復(fù)雜，不要死背硬記，那樣很容易忘 記。要尋找系數(shù)中的規(guī)律進行記憶。,例1 已知數(shù)據(jù)為 用三點公式求 解：,2002年1月試卷選擇題4 已知當 時的函數(shù)值 ，則,B,2001年7月試卷計算題13(2) 設(shè)函數(shù)值表為 取步長h=0.2，計算f(2.7)的近似值，計算保留4位小數(shù)。 解：步長h=0.2，計算f(2.7)，只能用x=2.5,2.7,2.9計算,本課小結(jié)： 1 高斯勒讓德公式是建立在區(qū)間-1，1上的數(shù)值積分公式。對于積分區(qū)間是a，b的數(shù)值積分，可通過變量替換 ，化為-1，1上的數(shù)值積分。 2 高斯點的求法是求勒讓德多項式的零點。勒讓德多項式是 。要注意的是該公式里的n表示的是高斯點的個數(shù)，而不是求高斯求積公式的代數(shù)精度時所用到的n。,1 一個高斯點的求積公式是 ， 兩個高斯點的求積公式是 ， 三個點的求積公式是 ， 2 求高斯求積公式的代數(shù)