第4章(隨機變量的數(shù)字特征與極限定理)4.6-1.ppt

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現(xiàn)出來. 也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現(xiàn)象.,研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究. 極限定理的內容很廣泛，其中最重要的有兩種:,4.6. 大數(shù)定律與中心極限定理,4.6.1 切比雪夫不等式,設隨機變量X有期望E(X)和方差 ，則對于 任給 0,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則事件|X-E(X)| 的概率越大，即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.,由此可體會方差的概率意義： 它刻劃了隨機變量取值的離散程度.,當方差已

2、知時，切比雪夫不等式給出了r.v X與它的期望的偏差不小于 的概率的估計式 .,如取,可見，對任給的分布，只要期望和方差 存在，則 r.v X取值偏離E(X)超過 3 的概率小于0.111 .,例1: 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在52009400之間的概率 .,解：設每毫升白細胞數(shù)為X,依題意，E(X)=7300,D(X)=7002,所求為 P(5200 X 9400),P(5200 X 9400),=P(5200-7300 X-7300 9400-7300),= P(-2100 X-E(X) 2100),=

3、 P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100,即估計每毫升白細胞數(shù)在52009400之間的概率不小于8/9 .,例2: 在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多么大時，才能使得在n次獨立重復試驗中, 事件A出現(xiàn)的頻率在0.740.76之間的概率至少為0.90?,解：設X為n 次試驗中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，,E(X)=0.75n,的最小的n .,則 XB(n, 0.75),所求為滿足,D(X)=0.75*0.25n=0.1875n,=P(-0.01nX-0.75n 0.01n),= P |X-E(X)| 0.01n,P(0.

4、74n X0.76n ),可改寫為,= P |X-E(X)| 0.01n,解得,依題意，取,即n 取18750時，可以使得在n次獨立重復 試驗中, 事件A出現(xiàn)的頻率在0.740.76之間的 概率至少為0.90 .,大量的隨機現(xiàn)象中平均結果的穩(wěn)定性,4.6.2 大數(shù)定律,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產過程中的 廢品率,幾個常見的大數(shù)定律,定理1（切比雪夫大數(shù)定律）,設 X1,X2, 是相互獨立的隨機變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2, ，,切比雪夫,則對任意的0，,證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學工具是切比雪夫不等式.,切比雪夫大數(shù)定

5、律給出了 平均值穩(wěn)定性的科學描述,作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，有下面的定理.,定理2（獨立同分布下的大數(shù)定律）,設X1,X2, 是獨立同分布的隨機變量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2, 則對任給 0,下面給出的貝努里大數(shù)定律，是定理2的一種特例.,貝努里,設Sn是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，,引入,i=1,2,n,則,是事件A發(fā)生的頻率,于是有下面的定理：,設Sn是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的 次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對任給的 0，,定理3（貝努里大數(shù)定律）,或,貝努里,貝努里大數(shù)定律表明，當重復試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率S

6、n/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.,貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法.,任給0，,蒲豐投針問題中解法的 理論依據(jù)就是大數(shù)定律,當投針次數(shù)n很大時，用針與線相交的頻率m/n近似針與線相交的概率p，從而求得的近似值.,針長L,線距a,下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機變量的方差存在.,設隨機變量序列X1,X2, 獨立同分布，具有有限的數(shù)學期E(Xi)=, i=1,2,， 則對任給 0 ，,定理3（辛欽大數(shù)定律）,辛欽,辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.,例如要估計某地區(qū)的平均畝產量，要收割某些有代表性的地塊，例如n 塊. 計算其平均畝產量，則當n 較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產量的一個估計.,下面我們再舉一例說明大數(shù)定律的應用.,定積分的概率計算法,我們介紹均值法，步驟是,1) 產生在(0,1)上均勻分布的隨機數(shù)rn,2) 計算g(rn)， n=1,2,N,n=1,2,N,即,3) 用平均值近似積分值,求,的值,因此，當N充分大時，,原理是什么呢？,設XU(0, 1),由大數(shù)定律,應如何近似計算