高中數(shù)學(xué)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》導(dǎo)學(xué)案 北師大版選修

1、第1課時(shí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.了解橢圓的實(shí)際背景,經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程,理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡.2.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形.學(xué)好數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.3.通過橢圓定義的歸納和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識(shí)規(guī)律并利用規(guī)律解決實(shí)際問題的能力,提高探索數(shù)學(xué)的興趣,激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.問題1:我們?nèi)绾巫鞒鲆粋€(gè)橢圓?要準(zhǔn)確地作出一個(gè)橢圓,需要哪些幾何要素?用圖釘、一段繩子等,焦點(diǎn)間距離(焦距)、到間的距離和.問題2:橢圓的概念:在平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的等于常數(shù)(|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫作.這兩定點(diǎn)叫作橢圓的,兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的.問題3:你能分別寫出焦點(diǎn)在x

2、軸和y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎?(1)橢圓的焦點(diǎn)為(-c,0),(c,0),橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a,記b=,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)橢圓的焦點(diǎn)為(0,-c),(0,c),橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a,記b=,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.問題4:軌跡為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解時(shí)需注意什么?動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2的距離和為2a,兩定點(diǎn)距離=2c,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡分以下幾種情況進(jìn)行討論:(1)當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡為以F1, F2為焦點(diǎn)的橢圓;(2)當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2;(3)當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.1.“0mb0)的焦距為4,且過點(diǎn)P(,),求橢圓C的方程.考題變式(我來改編):第二章圓錐

3、曲線與方程第1課時(shí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)體系梳理問題1:動(dòng)點(diǎn)焦點(diǎn)問題2:和大于橢圓焦點(diǎn)焦距問題3:(1)+=1(ab0)(2)+=1(ab0)問題4:(1)ac(2)a=c(3)ac基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.C若0m9,則“方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”成立.又+=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則m0,即“0mb0).2a=10,a=5,又c=4,b2=a2-c2=52-42=9.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(ab0).橢圓經(jīng)過點(diǎn)(0,2)和(1,0),故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+x2=1.(3)設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m0,n0,mn).點(diǎn)(,)

4、和點(diǎn)(,1)都在橢圓上,即故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+=1.【小結(jié)】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),要“先定型,再定量”,即要先判斷焦點(diǎn)位置,再用待定系數(shù)法設(shè)出適合題意的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,最后由條件確定待定系數(shù)即可.當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定時(shí),應(yīng)按焦點(diǎn)在x軸上和y軸上進(jìn)行分類討論,但要注意ab0這一條件.當(dāng)已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),把橢圓的方程設(shè)成mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn):列出的方程組中分母不含字母;不用討論焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸,從而簡化求解過程.探究二:【解析】(1)如圖,由題意知a=.再根據(jù)橢圓的定義可知|BA|+|BF|=2a,|CA|+|CF|=2a.從而A

5、BC的周長為|AB|+|BC|+|CA|=|AB|+|BF|+|CF|+|AC|=4a=4,故選C.(2)因?yàn)镻Q是EF的垂直平分線,從而|BF|=|BE|,所以|BC|+|BF|=|BC|+|BE|=|CE|=4,因?yàn)閨BC|+|BF|CF|=2,從而,由橢圓的定義可知點(diǎn)B的軌跡是以C,F為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓,即2c=2,2a=4,所以c=1,a=2,從而b2=a2-c2=3,所以點(diǎn)B的軌跡方程為+=1.【答案】(1)C(2)+=1【小結(jié)】一般地,涉及橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的問題,通?？山柚鷻E圓的定義來求解.探究三:【解析】設(shè)B(x,y),a,b,c成等差數(shù)列,a+c=2b,即+=2

6、,+=42,根據(jù)橢圓的定義知:點(diǎn)B在以A、C兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓上,點(diǎn)B的軌跡方程為+=1.問題所求軌跡上的點(diǎn)都能和A、C組成三角形嗎?結(jié)論不一定,橢圓中的點(diǎn)存在與點(diǎn)A、C共線的情形,此時(shí)不能組成三角形.于是,正確解答如下:設(shè)B(x,y),a,b,c成等差數(shù)列,a+c=2b,即+=2,+=42,根據(jù)橢圓的定義知:點(diǎn)B在以A、C兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓上,點(diǎn)B的軌跡方程為+=1.又當(dāng)x=2時(shí),A、B、C三點(diǎn)共線,不能構(gòu)成三角形,x2,點(diǎn)B的軌跡方程為+=1(x2).【小結(jié)】在求與橢圓有關(guān)的軌跡方程時(shí)要注意兩點(diǎn):一是要緊密聯(lián)系定義,二是要注意對(duì)自變量取值范圍進(jìn)行討論.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)由題意可知橢圓的

7、焦點(diǎn)在x軸上,且c=3,2a=10,所以a=5,b=4.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)(法一)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(ab0).由橢圓的定義知2a=+=12,所以a=6.又c=2,所以b=4.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(法二)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(ab0).由題意得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(3)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(ab0).由已知條件得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.同理可得:焦點(diǎn)在y軸上的橢圓不存在.綜上,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.應(yīng)用二:(1)8(2)+=1(y0)(1)由橢圓的定義

8、得AF1+AF2=10,BF1+BF2=10,兩式相加得AB+AF2+BF2=20,即AB+12=20,所以AB=8.(2)因?yàn)锳BC周長為16,且BC=6,從而AB+AC=16-6=10,從而可知點(diǎn)A的軌跡是以B,C為兩焦點(diǎn)的橢圓(除去橢圓上與B,C共線的兩點(diǎn)),且a=5,c=3,則b2=a2-c2=16,焦點(diǎn)在x軸上,又A,B,C三點(diǎn)不能共線,故點(diǎn)A的軌跡方程是+=1(y0).應(yīng)用三:當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(ab0).2c=8,c=4,又a=6,b2=a2-c2=20,橢圓的方程為+=1.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(ab0).2c=8,c=4,又

9、b=6,a2=b2+c2=52,橢圓的方程為+=1.綜上,所求橢圓的方程為+=1或+=1.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.D由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a.a2=25,2a=10.|PF1|+|PF2|=10.2.A由題意得|PF1|+|PF2|=2a(a為大于零的常數(shù),且2a|F1F2|),|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a.動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長2a,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓.3.16由橢圓定義知:|PF1|+|PF2|=2a=10,又F1PF2=90,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=36,2-得|PF1|PF2|=32.S=|PF1|PF2|=16.4.解:設(shè)右焦點(diǎn)為F2,連接F2M,O為F1F2的中點(diǎn),N是MF1的中點(diǎn)