定積分2011.ppt

1、,6.4 定積分的應用,6.5 廣義積分初步,6.3 定積分的計算法,6.1 定積分的概念及性質,6.2 微積分基本定理,第六章,定積分,一、 定積分的定義,二、 定積分的性質,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,6.1 定積分的概念及性質,第六章,一、定積分定義,任意分法,任取,總趨于確定的極限 I ,則稱此極限 I 為函數(shù),在區(qū)間,上的定積分,即,此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .,記作,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關 ,而與積分,變量用什么字母表示無關 ,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定積分的幾何意義:,曲邊梯形面積,曲邊梯

2、形面積的負值,各部分面積的代數(shù)和,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,可積的充分條件:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、定積分的性質,(設所列定積分都存在),( k 為常數(shù)),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,6. 若在 a , b 上,則,推論1. 若在 a , b 上,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,7. 設,則,8. 積分中值定理,則至少存在一點,使,性質7 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、牛頓 萊布尼茲公式,一、變上限積分函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,6.2 微積分基本公式,第六章,一、變上限積分函數(shù),則變上限函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定

3、理1. 若,即,變限積分求導公式：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,（重點）,（1）,（2）,（3）,例1 求,解,例3. 求,解:,原式,說明 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2：求,解：,例4：求,解:,原式,解:,原式,二、牛頓 萊布尼茲公式,( 牛頓 - 萊布尼茲公式),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定理2.,函數(shù) ,則,牛頓萊布尼茨公式提供了計算定積分的簡便的 基本方法，即求定積分的值，只要求出被積函數(shù) f(x) 的一個原函數(shù)F(x)，然后計算原函數(shù)在區(qū)間a,b上的 增量F(b)F(a)即可.該公式把計算定積分歸結為求原函數(shù)的問題，揭示了定積分與不定積分之間的內在聯(lián)系.,例

4、5. 計算,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,練習二,例1：求,例2：設,求,例3：,二、定積分的分部積分法,不定積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,一、定積分的換元法,換元積分法,分部積分法,定積分,換元積分法,分部積分法,6.3 定積分的計算法,第六章,一、定積分的換元法 （重點）,定理1. 設函數(shù),單值函數(shù),滿足:,1),2) 在,上,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,則,注意：,1)定積分的換元法在換元后，積分上，下限也要作相應的變換，即“換元必換限”.,（代換法）,2) 換元公式也可反過來使用 , 即,或配元,配元不換限,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,（湊微分）

5、,例1. 計算,解: 令,則, 原式 =,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,且,例2：求,解：,方法二：,例3 求,解,例4.,證（不要求）,(1) 若,(2) 若,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,偶倍奇零,為偶函數(shù)，,為奇函數(shù)，,例5：（1）,(2),(3),（提示：利用“偶倍奇零”的性質。）,例5：（1）,(2),例5：（1）,二、定積分的分部積分法 （重點）,定理2.,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,或,例6. 計算,解:,原式 =,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例7：求,解：,例8: 求,解:,練習三,求下列積分：,二、 旋轉體的體積,一、 平面圖形的面積,機動 目

6、錄 上頁 下頁 返回 結束,6.4 定積分的應用,第六章,一、平面圖形的面積（重點）,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1. 計算兩條拋物線,在第一象限所圍,圖形的面積 .,解: 由,得交點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 計算拋物線,與直線,的面積 .,解: 由,得交點,所圍圖形,為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸,圓柱,圓錐,圓臺,二、旋轉體的體積（重點）,問題1：連續(xù)曲線段,軸旋轉一周圍成的立體體積時,有,問題2：連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉一周圍成的立體

7、體積時,有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4. 計算由橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋轉而,成的橢球體的體積.,解:,則,(利用對稱性),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,練習四,例1：求由曲線,和直線,圍成的平面圖形面積。,例2：求由,所圍圖形的面積及其繞 軸旋轉體體積。,例3：求由曲線,所圍圖形繞 軸和 軸旋轉一周而成的立體體積。,二、無界函數(shù)的反常積分（不要求）,常義積分,積分限有限,被積函數(shù)有界,推廣,一、無窮限的反常積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,反常積分,(廣義積分),6.5 廣義（反常）積分初步,第六章,定義1. 設,若,存在 ,則稱此極限為 f (x) 的無窮限反常積分,記作,這時稱反常積分,收斂 ;,如果上述極限不存在,就稱反常積分,發(fā)散 .,類似地 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,一、無窮限的反常積分,則定義,( c 為任意取定的常數(shù) ),只要有一個極限不存在 , 就稱,發(fā)散 .,無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,引入記號,則有類似牛 萊公式的計算表達式 :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1. 計算反常積分,例2. 證明第一類 p 積分,證:當 p =1 時有,當 p 1 時有,當 p