高等數(shù)學上6.2定積分在幾何學上的應用.ppt

1、四、 旋轉體的側面積 (補充),三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積,第二節(jié),一、 平面圖形的面積,二、 平面曲線的弧長,定積分在幾何學上的應用,第六章,一、平面圖形的面積,1. 直角坐標情形,設曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為,例1. 計算兩條拋物線,在第一象限所圍,所圍圖形的面積 .,解: 由,得交點,P274-1,例2. 計算拋物線,與直線,的面積 .,解: 由,得交點,所圍圖形,為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有,P275-2,例3. 求橢圓,解: 利用對稱性 ,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應用定積分換元法得,當 a =

2、 b 時得圓面積公式,P276-3,一般地 , 當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程,給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值,則曲邊梯形面積,例4. 求由擺線,的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .,解:,2. 極坐標情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,對應 從 0 變,例5. 計算阿基米德螺線,解:,點擊圖片任意處 播放開始或暫停,到 2 所圍圖形面積 .,P277-4,例6. 計算心形線,所圍圖形的,面積 .,解:,(利用對稱性),P277-5,心形線(外擺線的一種),即,點擊圖中任意點 動畫開始或暫停

3、,尖點:,面積:,弧長:,參數(shù)的幾何意義,例7. 計算心形線,與圓,所圍圖形的面積 .,解: 利用對稱性 ,所求面積,例8. 求雙紐線,所圍圖形面積 .,解: 利用對稱性 ,則所求面積為,思考: 用定積分表示該雙紐線與圓,所圍公共部分的面積 .,答案:,二、平面曲線的弧長,當折線段的最大,邊長 0 時,折線的長度趨向于一個確定的極限 ,即,并稱此曲線弧為可求長的.,定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.,(證明略),則稱,(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(P170),(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(3) 曲線弧由極

4、坐標方程給出:,因此所求弧長,則得,弧長元素(弧微分) :,(自己驗證),例9. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,成懸鏈線 .,求這一段弧長 .,解:,下垂,懸鏈線方程為,例10. 求連續(xù)曲線段,解:,的弧長.,例11. 計算擺線,一拱,的弧長 .,解:,P283-13,例12. 求阿基米德螺線,相應于 02,一段的弧長 .,解:,(P349 公式39),P284-13,三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,設所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對應于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續(xù),特別 , 當考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉一周圍成的立體體積時,有,當考慮連續(xù)曲線段,

5、繞 y 軸旋轉一周圍成的立體體積時,有,例13. 計算由橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋轉而,轉而成的橢球體的體積.,解: 方法1 利用直角坐標方程,則,(利用對稱性),P279-7,方法2 利用橢圓參數(shù)方程,則,特別當b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積,例14. 計算擺線,的一拱與 y0,所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉而成的立體體積 .,解: 繞 x 軸旋轉而成的體積為,利用對稱性,P280-8,繞 y 軸旋轉而成的體積為,注意上下限 !,計算過程,柱殼體積,說明:,柱面面積,偶函數(shù),奇函數(shù),例15. 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并,與底面交成 角,解: 如圖所

6、示取坐標系,則圓的方程為,垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為,利用對稱性,計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .,P281-9,思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?,此時截面面積函數(shù)是什么 ?,如何用定積分表示體積 ?,提示:,例16. 求曲線,與 x 軸圍成的封閉圖形,繞直線 y3 旋轉得的旋轉體體積.,解: 利用對稱性 ,故旋轉體體積為,在第一象限,四、旋轉體的側面積 (補充),設平面光滑曲線,求,積分后得旋轉體的側面積,它繞 x 軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的側面積 .,取側面積元素:,側面積元素,的線性主部 .,若光滑曲線由參數(shù)方程,給出,則它繞 x 軸旋轉一周所得旋轉體的,不是薄

7、片側面積S 的,注意:,側面積為,例19. 計算圓,x 軸旋轉一周所得的球臺的側面積 S .,解: 對曲線弧,應用公式得,當球臺高 h2R 時, 得球的表面積公式,例20. 求由星形線,一周所得的旋轉體的表面積 S .,解: 利用對稱性,繞 x 軸旋轉,星形線,星形線是內(nèi)擺線的一種.,點擊圖片任意處 播放開始或暫停,大圓半徑 Ra,小圓半徑,參數(shù)的幾何意義,(當小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動,時, 小圓上的定點的軌跡為是內(nèi)擺線),內(nèi)容小結,1. 平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,極坐標方程,2. 平面曲線的弧長,曲線方程,參數(shù)方程方程,極坐標方程,弧微分:,直角坐標方程,上下限按順時針方向確定,直角坐

8、標方程,注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小,3. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積,旋轉體的體積,繞 x 軸 :,4. 旋轉體的側面積,側面積元素為,(注意在不同坐標系下 ds 的表達式),繞 y 軸 :,思考與練習,1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長 s .,提示: 交點為,弧線段部分,直線段部分,以 x 為積分變量 , 則要分,兩段積分,故以 y 為積分變量.,2. 試用定積分求圓,繞 x 軸,上,半圓為,下,求體積 :,提示:,解: 利用對稱性,旋轉而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .,求側面積 :,利用對稱性,上式也可寫成,它也反映了環(huán)面微元的另一種取法.,作業(yè),P279 2 , (3) ; 4; 5 (3) ; 8 (2) ; 10; 22; 27,面積及弧長部分：,體積及表面積部分：,P279 13; 15 , (4); 17; 18,備用題,解：,1. 求曲線,所圍圖形的面積.,顯然,面積為,同理其它.,又,故在區(qū)域,分析曲線特點,2.,解:,與 x 軸所圍面積,由圖形的對稱性 ,也合于所求., 為何值才能使,與 x 軸圍成的面積等,故,3.,求曲線,圖形的公共