高中數(shù)學(xué) 第3章 概率章末分層突破學(xué)案 新人教B版必修

1、章末分層突破自我校對(duì)P(A)P(B)P(A)P(B)1A包含的基本事件的個(gè)數(shù)/基本事件的總數(shù)_隨機(jī)事件的概率1.有關(guān)事件的概念(1)必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的必然事件，簡(jiǎn)稱必然事件.(2)不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的不可能事件，簡(jiǎn)稱不可能事件.(3)確定事件：必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件S的確定事件，簡(jiǎn)稱確定事件.(4)隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱隨機(jī)事件.(5)事件的表示方法：確定事件和隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，表示.2.對(duì)于概率的定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)(1)求一

2、個(gè)事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗(yàn).(2)只有當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才叫做事件A的概率.(3)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值.(4)概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.(5)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故0P(A)1.對(duì)一批U盤進(jìn)行抽檢，結(jié)果如下表：抽出件數(shù)a50100200300400500次品件數(shù)b345589次品頻率(1)計(jì)算表中次品的頻率；(2)從這批U盤中任抽一個(gè)是次品的概率約是多少？(3)為保證買到次品的顧客能夠及時(shí)更換，要銷售2 000個(gè)U盤，至少需進(jìn)貨多少個(gè)U盤？【精彩點(diǎn)撥】結(jié)合頻率的定義進(jìn)行計(jì)算填表，并用頻率估計(jì)概率.【規(guī)范解答

3、】(1)表中次品頻率從左到右依次為0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.(2)當(dāng)抽取件數(shù)a越來越大時(shí)，出現(xiàn)次品的頻率在0.02附近擺動(dòng)，所以從這批U盤中任抽一個(gè)是次品的概率約是0.02.(3)設(shè)需要進(jìn)貨x個(gè)U盤，為保證其中有2 000個(gè)正品U盤，則x(10.02)2 000，因?yàn)閤是正整數(shù)，所以x2 041，即至少需進(jìn)貨2 041個(gè)U盤.再練一題1.某射擊運(yùn)動(dòng)員為備戰(zhàn)奧運(yùn)會(huì)，在相同條件下進(jìn)行射擊訓(xùn)練，結(jié)果如下：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455(1)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？(2)假設(shè)該射擊運(yùn)動(dòng)員射

4、擊了300次，則擊中靶心的次數(shù)大約是多少？(3)假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次，前270次都擊中靶心，那么后30次一定都擊不中靶心嗎？(4)假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次一定擊中靶心嗎？【解】(1)由題意，擊中靶心的頻率分別為0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91，當(dāng)射擊次數(shù)越來越大時(shí)，擊中靶心的頻率在0.9附近擺動(dòng)，故概率約為0.9.(2)擊中靶心的次數(shù)大約為3000.9270(次).(3)由概率的意義，可知概率是個(gè)常數(shù)，不因試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化.后30次中，每次擊中靶心的概率仍是0.9，所以不一定擊中靶心.(4)不一定.互斥事件與對(duì)立事

5、件1.對(duì)互斥事件與對(duì)立事件的概念的理解(1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件；對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生.因此對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況.(2)利用集合的觀點(diǎn)來看，如果事件AB，則兩事件是互斥的，此時(shí)AB的概率就可用加法公式來求，即為P(AB)P(A)P(B)；如果事件AB，則可考慮利用古典概型的定義來解決，不能直接利用概率加法公式.(3)利用集合的觀點(diǎn)來看，如果事件AB，ABU，則兩事件是對(duì)立的，此時(shí)AB就是必然事件，可由P(AB)P(A)P(B)1來求解P(A)或P(B).2.互斥事件概率的求法(1

6、)若A1，A2，An互斥，則P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).(2)利用這一公式求概率的步驟：要確定這些事件彼此互斥；這些事件中有一個(gè)發(fā)生；先求出這些事件分別發(fā)生的概率，再求和.值得注意的是：、兩點(diǎn)是公式的使用條件，不符合這兩點(diǎn)，是不能運(yùn)用互斥事件的概率加法公式的.3.對(duì)立事件概率的求法P()P(A)P(A)P()1，由公式可得P(A)1P()(這里是A的對(duì)立事件，為必然事件).4.互斥事件的概率加法公式是解決概率問題的重要公式，它能把復(fù)雜的概率問題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的概率或轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件的概率求解.甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有5個(gè)不同的題目.其中，選擇題3個(gè)，判斷題2個(gè)，甲

7、、乙兩人各抽一題.(1)甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題的概率是多少？(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？【精彩點(diǎn)撥】用列舉法把所有可能的情況列舉出來，或考慮互斥及對(duì)立事件的概率公式.【規(guī)范解答】把3個(gè)選擇題記為x1，x2，x3,2個(gè)判斷題記為p1，p2.總的事件數(shù)為20.“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6種；“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6種；“甲、乙

8、都抽到選擇題”的情況有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6種；“甲、乙都抽到判斷題”的情況有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2種.(1)“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的概率為，“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的概率為，故“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題”的概率為.(2)“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率為，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為1.再練一題2.某服務(wù)電話，打進(jìn)的電話響第1聲時(shí)被接的概率是0.1；響第2聲時(shí)被接的概率是0.2；響第3聲時(shí)被接的概率是0.3；響第4聲時(shí)被接的概率是0.35.(1)

9、打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概率是多少？(2)打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率是多少？【解】(1)設(shè)事件“電話響第k聲時(shí)被接”為Ak(kN)，那么事件Ak彼此互斥，設(shè)“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”為事件A，根據(jù)互斥事件概率加法公式，得P(A)P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)0.10.20.30.350.95.(2)事件“打進(jìn)的電話響4聲而不被接”是事件A“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”的對(duì)立事件，記為.根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，得P()1P(A)10.950.05.古典概型與幾何概型古典概型是一種最基本的概率模型，也是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ)，在高考題中，經(jīng)常出現(xiàn)此種概率

10、模型的題目.解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性.在應(yīng)用公式P(A)時(shí)，關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系，求出n，m.但列舉時(shí)必須按某一順序做到不重復(fù)、不遺漏.幾何概型同古典概型一樣，是概率中最具有代表性的試驗(yàn)概型之一，在高考命題中占有非常重要的位置.我們要理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特征，即：每次試驗(yàn)中基本事件的無(wú)限性和每個(gè)事件發(fā)生的等可能性，由于其結(jié)果的無(wú)限性，概率就不能應(yīng)用P(A)求解，而需轉(zhuǎn)化為幾何度量(如長(zhǎng)度、面積、體積等)的比值求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.甲、乙兩艘貨輪都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)到達(dá)，試求兩船中有一艘在

11、停泊位時(shí)，另一艘船必須等待的概率.【精彩點(diǎn)撥】甲、乙兩艘貨輪?？坎次坏臅r(shí)間是6小時(shí)，當(dāng)兩船到達(dá)泊位的時(shí)間差不超過6小時(shí)時(shí)，兩船中一艘?？浚硪凰冶仨毜却?【規(guī)范解答】設(shè)甲、乙兩船到達(dá)泊位的時(shí)刻分別為x、y.則作出如圖所示的區(qū)域.本題中，區(qū)域D的面積S1242，區(qū)域d的面積S2242182.P.即兩船中有一艘在停泊位時(shí)另一船必須等待的概率為.再練一題3.從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從1,2,3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則ba的概率是()A.B.C. D.【解析】當(dāng)b1時(shí)，沒有滿足條件的a值；當(dāng)b2時(shí)，a1；當(dāng)b3時(shí)，a可以是1，可以是2，共3種情況.而從1,2,3,4,5中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)

12、a，再?gòu)?,2,3中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)b，共有3515種不同取法，概率為.【答案】D概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題統(tǒng)計(jì)和古典概型的綜合是高考解答題的一個(gè)命題趨勢(shì)和熱點(diǎn)，此類題很好地結(jié)合了統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，并且在實(shí)際生活中應(yīng)用也十分廣泛，能很好地考查學(xué)生的綜合解題能力，在解決綜合問題時(shí)，要求同學(xué)們對(duì)圖表進(jìn)行觀察、分析、提煉，挖掘出圖表所給予的有用信息，排除有關(guān)數(shù)據(jù)的干擾，進(jìn)而抓住問題的實(shí)質(zhì)，達(dá)到求解的目的.隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖31所示.圖31(1)直接根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高；(2)計(jì)算甲班的樣本方差；(3)現(xiàn)從乙班這10名同

13、學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173 cm的同學(xué)，求身高為176 cm的同學(xué)被抽中的概率.【精彩點(diǎn)撥】(1)根據(jù)“葉”上的數(shù)據(jù)的集中情況作出判斷；(2)代入方差的計(jì)算公式求解；(3)列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解.【規(guī)范解答】(1)由莖葉圖可知：甲班身高集中于160 cm179 cm之間，而乙班身高集中于170 cm179 cm之間.因此乙班平均身高高于甲班；(2)170(cm).甲班的樣本方差s2(158170)2(162170)2(163170)2(168170)2(168170)2(170170)2(171170)2(179170)2(179170)2(182170)257.

14、2(cm2).(3)設(shè)“身高為176 cm的同學(xué)被抽中”為事件A，從乙班10名同學(xué)中抽取兩名身高不低于173 cm的同學(xué)有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10個(gè)基本事件，而事件A含有4個(gè)基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，P(A).再練一題4.某班同學(xué)利用國(guó)慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)25,55歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱

15、為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組25,30)1200.6第二組30,35)195p第三組35,40)1000.5第四組40,45)a0.4第五組45,50)300.3第六組50,55150.3圖32(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；(2)從年齡段在40,50)的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，求選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在40,45)歲的概率.【解】(1)第二組的頻率為1(0.040.040.030.020.01)50.3，所以高為0.06.頻率分布

16、直方圖如下：第一組的人數(shù)為200，頻率為0.0450.2，所以n1 000.由題可知，第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為1 0000.3300，所以p0.65.第四組的頻率為0.0350.15，所以第四組的人數(shù)為1 0000.15150，所以a1500.460.(2)因?yàn)?0,45)歲年齡段的“低碳族”與45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為603021，所以采用分層抽樣法抽取6人，40,45)歲中有4人，45,50)歲中有2人.設(shè)40,45)歲中的4人為a，b，c，d，45,50)歲中的2人為m，n，則選取2人作為領(lǐng)隊(duì)的選法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)

17、，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15種；其中恰有1人年齡在40,45)歲的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8種.所以選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在40,45)歲的概率為.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想在求古典概型和幾何概型的概率中有著廣泛的應(yīng)用.在古典概型中，基本事件的個(gè)數(shù)較多且不易列舉時(shí)，借助于圖形會(huì)比較直觀計(jì)數(shù).在幾何概型中，把基本事件轉(zhuǎn)化到與長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的圖形中，結(jié)合圖形求長(zhǎng)度、面積、體積的比.設(shè)點(diǎn)(p，q)在|p|3，|q|3

18、中按均勻分布出現(xiàn)，試求方程x22pxq210的兩根都是實(shí)數(shù)的概率.【精彩點(diǎn)撥】試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫蔚拿娣e，方程有兩個(gè)實(shí)根構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A的外部.【規(guī)范解答】基本事件總體的區(qū)域D的度量為正方形面積，即D的度量為S正方形6236，由方程x22pxq210的兩根都是實(shí)數(shù)，得(2p)24(q21)0，p2q21.當(dāng)點(diǎn)(p，q)落在如圖所示的陰影部分時(shí)，方程的兩根均為實(shí)數(shù)，由圖可知，構(gòu)成的區(qū)域d的度量為S正方形S圓36，原方程的兩根都是實(shí)數(shù)的概率為P.再練一題5.三個(gè)人玩?zhèn)髑蛴螒?，每個(gè)人都等可能地傳給另兩人(不自傳)，若從A發(fā)球算起，經(jīng)4次傳球又回到A手中的概率是多少？【解】記三人為A、B、C

19、，則4次傳球的所有可能可用樹狀圖方式列出，如下圖：每一個(gè)分支為一種傳球方案，則基本事件的總數(shù)為16，而又回到A手中的事件個(gè)數(shù)為6個(gè)，根據(jù)古典概型概率公式得P.1.(2015全國(guó)卷)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.B.C.D.【解析】從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4

20、,5)，所以概率為.故選C.【答案】C2.(2015山東高考)在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“1log1”發(fā)生的概率為()A. B. C. D.【解析】不等式1log 1可化為log2loglog，即x2，解得0x，故由幾何概型的概率公式得P.【答案】A3.(2016全國(guó)卷)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()A. B. C. D.【解析】如圖，7：50至8：30之間的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘，而小明等車時(shí)間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8

21、：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時(shí)間長(zhǎng)度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P.故選B.【答案】B4.(2015福建高考)如圖33，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()圖33A. B. C. D.【解析】因?yàn)閒(x)B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，故矩形ABCD的面積為236，陰影部分的面積為31，故P.【答案】B5.(2016全國(guó)卷)從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)

22、數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. B. C. D.【解析】因?yàn)閤1，x2，xn，y1，y2，yn都在區(qū)間0,1內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示.若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè).用隨機(jī)模擬的方法可得，即，所以.【答案】C6.(2014重慶高考)某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：307：50之間到校，且

23、每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_.(用數(shù)字作答)【解析】設(shè)小王到校時(shí)間為x，小張到校時(shí)間為y，則小張比小王至少早到5分鐘時(shí)滿足xy5.如圖，原點(diǎn)O表示7：30，在平面直角坐標(biāo)系中畫出小王和小張到校的時(shí)間構(gòu)成的平面區(qū)域(圖中正方形區(qū)域)，該正方形區(qū)域的面積為400，小張比小王至少早到5分鐘對(duì)應(yīng)的圖形(圖中陰影部分)的面積為1515，故所求概率P.【答案】7.(2015湖南高考)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球A1，A2和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球a1，a2和2個(gè)白球b1，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球.若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).(1)用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；(2)有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率.你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由.【解】(1)所有可能的摸出結(jié)果是A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B，a2，B，b1，B，b2.(2)不正確.理由如下：由(1)知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸