高中數(shù)學(xué)《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》教案18（第三課時） 蘇教版必修

1、第3課時 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（3）導(dǎo)入新課思路1.我們在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時,利用了指數(shù)函數(shù)的圖象的特點,并且是用類比和歸納的方法得出,在上節(jié)課的探究中我們知道,函數(shù)y=3x,y=3x+1,y=3x-1的圖象之間的關(guān)系,由其中的一個可得到另外兩個的圖象,那么,對y=ax與y=ax+m(a0,mR)有著怎樣的關(guān)系呢?在理論上,含有指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是否具有奇偶性呢?這是我們本堂課研究的內(nèi)容.教師點出課題:指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（3）.思路2.我們在第一章中,已學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì),特別是單調(diào)性和奇偶性是某些函數(shù)的重要特點,我們剛剛學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù),嚴(yán)格地證明了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,便于我們在解題時應(yīng)用這些性質(zhì),在

2、實際生活中,往往遇到的不單單是指數(shù)函數(shù),還有其他形式的函數(shù),有的是指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù),我們需要研究它的單調(diào)性和奇偶性,這是我們面臨的問題也是我們本堂課要解決的問題指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（3）.推進(jìn)新課新知探究提出問題(1)指數(shù)函數(shù)有哪些性質(zhì)?(2)利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟有哪些?(3)對復(fù)合函數(shù),如何證明函數(shù)的單調(diào)性?(4)如何判斷函數(shù)的奇偶性,有哪些方法?活動：教師引導(dǎo),學(xué)生回憶,教師提問,學(xué)生回答,積極交流,及時評價學(xué)生,學(xué)生有困惑時加以解釋,可用多媒體顯示輔助內(nèi)容.討論結(jié)果：(1)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax在底數(shù)a1及0a1這兩種情況下的圖象和性質(zhì)如下表所示：a1

3、0a0時,y1;x0時,0y0時,0y1;x1（5）在R上是增函數(shù)（5）在R上是減函數(shù)(2)依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是：取值.即設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值且x1x2.作差變形.即求f（x2）f（x1）,通過因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判斷差的符號的方向變形.定號.根據(jù)給定的區(qū)間和x2x1的符號確定f（x2）f（x1）的符號,當(dāng)符號不確定時,可以進(jìn)行分類討論.判斷.根據(jù)單調(diào)性定義作出結(jié)論.(3)對于復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)可以總結(jié)為:當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性相同時,復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)是增函數(shù);當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性相異即不同時,復(fù)合函數(shù)y

4、=f(g(x)是減函數(shù);又簡稱為口訣“同增異減”.(4)判斷函數(shù)的奇偶性:一是利用定義法,即首先是定義域關(guān)于原點對稱,再次是考察式子f(x)與f(-x)的關(guān)系,最后確定函數(shù)的奇偶性;二是作出函數(shù)圖象或從已知圖象觀察,若圖象關(guān)于原點或y軸對稱,則函數(shù)具有奇偶性.應(yīng)用示例思路1例1在同一坐標(biāo)系下作出下列函數(shù)的圖象,并指出它們與指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象的關(guān)系.(1)y=2x+1與y=2x+2;(2)y=2x-1與y=2x-2.活動：教師適當(dāng)時候點撥,學(xué)生回想作圖的方法和步驟,特別是指數(shù)函數(shù)圖象的作法,學(xué)生回答并到黑板上作圖,教師指點學(xué)生,列出對應(yīng)值表,抓住關(guān)鍵點,特別是(0,1)點,或用計算機(jī)作圖.解

5、：(1)列出函數(shù)數(shù)據(jù)表作出圖象如圖2-1-2-12.x-3-2-101232x0.1250.250.512482x+10.250.51248162x+20.512481632圖2-1-2-12比較可知函數(shù)y=2x+1、y=2x+2與y=2x的圖象的關(guān)系為：將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向左平行移動1個單位長度,就得到函數(shù)y=2x+1的圖象;將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向左平行移動2個單位長度,就得到函數(shù)y=2x+2的圖象.(2)列出函數(shù)數(shù)據(jù)表作出圖象如圖2-1-2-13x-3-2-101232x0.1250.250.512482x-10.6250.1250.250.51242x-20.31250.625

6、0.1250.250.512圖2-1-2-13比較可知函數(shù)y=2x-1、y=2x-2與y=2x的圖象的關(guān)系為：將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向右平行移動1個單位長度,就得到函數(shù)y=2x-1的圖象;將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向右平行移動2個單位長度,就得到函數(shù)y=2x-2的圖象.點評：類似地,我們得到y(tǒng)=ax與y=ax+m(a0,a1,mR)之間的關(guān)系:y=ax+m(a0,mR)的圖象可以由y=ax的圖象變化而來.當(dāng)m0時,y=ax的圖象向左移動m個單位得到y(tǒng)=ax+m的圖象;當(dāng)m0時,y=ax的圖象向右移動|m|個單位得到y(tǒng)=ax+m的圖象.上述規(guī)律也簡稱為“左加右減”.變式訓(xùn)練為了得到函數(shù)y=2x-

7、3-1的圖象,只需把函數(shù)y=2x的圖象( )A.向右平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度B.向左平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度C.向右平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度D.向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度答案：B點評：對于有些復(fù)合函數(shù)的圖象,常用變換方法作出.例2已知定義域為R的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).（1）求a,b的值；（2）若對任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的取值范圍.活動：學(xué)生審題,考慮解題思路.求值一般是構(gòu)建方程,求取值范圍一般要轉(zhuǎn)化為不等式,如果有困難,教師可以提示,（1）從條件出發(fā),充分利用奇函數(shù)的性質(zhì),由于定義域

8、為R,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),（2）在（1）的基礎(chǔ)上求出f(x),轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式,利用恒成立問題再轉(zhuǎn)化.（1）解：因為f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,即=0b=1,所以f(x)=;又由f（1）=-f（-1）知=a=2.（2）解法一：由（1）知f(x)=+,易知f(x)在(-,+)上為減函數(shù).又因f(x)是奇函數(shù),從而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)0,等價于f(t2-2t)k-2t2,即對一切tR有3t2-2t-k0,從而判別式=4+12k0,k.解法二：由（1）知f(x)=.又由題設(shè)條件得0,即1,因底數(shù)21,故3t2-2t-k0,上式對一切tR均成立,

9、從而判別式=4+12k0,即k0,f(x)=在R上滿足f(-x)=f(x).(1)求a的值;(2)證明f(x)在(0,+)上是增函數(shù).活動：學(xué)生先思考或討論,如果有困難,教師提示,引導(dǎo).(1)求單獨一個字母的值,一般是轉(zhuǎn)化為方程,利用f(-x)=f(x)可建立方程.(2)證明增減性一般用定義法,回憶定義法證明增減性的步驟,規(guī)范書寫的格式.(1)解：依題意,對一切xR有f(-x)=f(x)成立,即+aex=.所以=0對一切xR成立.由此可得=0,即a2=1.又因為a0,所以a=1.(2)證明:設(shè)0x10,x20,x2-x10,得x2+x10,0,10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x)在（

10、0,+）上是增函數(shù).點評：在已知等式f(-x)=f(x)成立的條件下,對應(yīng)系數(shù)相等,求出a,也可用特殊值求解.證明函數(shù)的單調(diào)性,嚴(yán)格按定義寫出步驟,判斷過程盡量明顯直觀.例2已知函數(shù)f(x)=3x,且x=a+2時,f(x)=18,g(x)=3的定義域為0,1.(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間,確定其增減性并試用定義證明;(3)求g(x)的值域.解：(1)因為f(x)=3x,且x=a+2時f(x)=18,所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2.所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x.所以g(x)=2x-4x.(2)因為函數(shù)g(x)的定義域為0,1,令t=2x,因

11、為x0,1時,函數(shù)t=2x在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,所以t1,2,則g(t)=t-t2=-(t2-t)=-(t-)2+,t1,2.因為函數(shù)t=2x在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,函數(shù)g(t)=t-t2在t1,2上單調(diào)遞減,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減.證明:設(shè)x1和x2是區(qū)間0,1上任意兩個值,且x1x2,g(x2)-g(x1)=,因為0x1x21,所以,且12,1 2.所以24.所以-31-1,可知0.所以g(x2)g(x1).所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減.(3)因為函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減,所以x0,1時,有g(shù)(1)g(x)g(0).因為g(1)=21-41=-2,g(

12、0)=20-40=0,所以-2g(x)0.故函數(shù)g(x)的值域為-2,0.點評：此題是一道有關(guān)函數(shù)的概念、函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用、推理、證明綜合題,要通盤考慮.知能訓(xùn)練求函數(shù)y=()|1+2x|+|x-2|的單調(diào)區(qū)間.活動：教師提示,因為指數(shù)含有兩個絕對值,要去絕對值,要分段討論,同時注意底數(shù)的大小,分析出指數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性學(xué)生思考討論,然后解答.解：由題意可知2與是區(qū)間的分界點.當(dāng)x時,因為y=()-1-2x-x+2=()1-3x=23x-1=8x,所以此時函數(shù)為增函數(shù).當(dāng)x2時,因為y=()1+2x-x+2=()3+x=2-3-x=()x,所以此時函數(shù)為減函

13、數(shù).當(dāng)x2時,因為y=()1+2x+x-2=()3x-1=21-3x=2()x,所以此時函數(shù)為減函數(shù).當(dāng)x1,2）,x22,+）時,因為2()x2-()x1=,又因為1-3x2-(-3-x1)=4-3x2+x1=4+x1-3x20,所以1-3x2-3-x1,即2()x2()x1.所以此時函數(shù)為減函數(shù).綜上所述,函數(shù)f(x)在（-,上單調(diào)遞增,在,+）上單調(diào)遞減.拓展提升設(shè)m1,f(x)=,若0a1,所以函數(shù)y=3x在R上是增函數(shù).而0.70.8,所以30.70.75,所以函數(shù)y=0.75x在R上是減函數(shù).而-0.10.1,所以0.750.11,所以函數(shù)y=1.01x在R上是增函數(shù).而2.73.

14、5,所以1.012.71.013.5.(4)0.993.3與0.994.5的底數(shù)都是0.99,它們可以看成函數(shù)y=0.99x,當(dāng)x=3.3和4.5時的函數(shù)值；因為0.991,所以函數(shù)y=0.99x在R上是減函數(shù).而3.34.5,所以0.994.51,所以函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù).因為2m2n,所以mn.(2)0.2m,0.2n可以看成函數(shù)y=0.2x,當(dāng)x=m和n時的函數(shù)值;因為0.21,所以函數(shù)y=0.2x在R上是減函數(shù).因為0.2mn.(3)am,an可以看成函數(shù)y=ax,當(dāng)x=m和n時的函數(shù)值;因為0a1,所以函數(shù)y=ax在R上是減函數(shù).因為amn.(4)am,an可以看成函數(shù)y=ax

15、,當(dāng)x=m和n時的函數(shù)值;因為a1,所以函數(shù)y=ax在R上是增函數(shù).因為aman,所以mn.點評：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.9.(1)死亡生物組織內(nèi)碳14的剩余量P與時間t的函數(shù)解析式為P=().當(dāng)時間經(jīng)過九個“半衰期”后,死亡生物組織內(nèi)的碳14的含量為P=()=()90.002.答:當(dāng)時間經(jīng)過九個“半衰期”后,死亡生物組織內(nèi)的碳14的含量約為死亡前含量的2,因此,還能用一般的放射性探測器測到碳14的存在.(2)設(shè)大約經(jīng)過t萬年后,用一般的放射性探測器測不到碳14,那么()5.7.答:大約經(jīng)過6萬年后,用一般的放射性探測器是測不到碳14的.B組1.當(dāng)0a1時,a2x-7a4x-12x-

16、74x1x3;當(dāng)a1時,a2x-7a4x-12x74x1x3.綜上,當(dāng)0a1時,不等式的解集是x|x3；當(dāng)a1時,不等式的解集是x|x3.2.分析:像這種條件求值,一般考慮整體的思想,同時觀察指數(shù)的特點,要注重完全平方公式的運用.解：(1)設(shè)y=x+x,那么y2=(x+x)2=x+x-1+2.由于x+x-1=3,所以y=.(2)設(shè)y=x2+x-2,那么y=(x+x-1)2-2.由于x+x-1=3,所以y=7.(3)設(shè)y=x2-x-2,那么y=(x+x-1)(x-x-1),而(x-x-1)2=x2-2+x-2=,所以y=3.點評：整體代入和平方差,完全平方公式的靈活運用是解題的突破口.3.解：已知本金為a元.1期后的本利和為y1=a+ar=a(1+r),2期后的本利和為y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3期后