第三章 直線與方程教師用

1、第三章 直線與方程3.1.1直線的傾斜角與斜率知識(shí)要點(diǎn)一.直線的傾斜角（1）定義：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，我們?nèi)≥S作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.（2）直線的傾斜角的取值及范圍：當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為，則直線的傾斜角的取值范圍是.【例題1】已知直線的傾斜角為，則下列結(jié)論正確的是（C ） 二.直線的斜率（1）定義：我們把一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.通常用表示，即，傾斜角為的直線沒(méi)有斜率.（2）對(duì)傾斜角和斜率關(guān)系的理解：當(dāng)傾斜角是時(shí)，直線的斜率不存在.但并不是該直線不存在，此時(shí)，該直線垂直于軸.所以的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率.

2、【例題2】下列說(shuō)法正確的是（ D ）一條直線和軸正方向所成的角叫做這條直線的傾斜角 直線的傾斜角的取值范圍是第一或第二象限角 和軸平行的直線它的傾斜角是 每一條直線都存在傾斜角，但不是每條直線都存在斜率【例題3】下列說(shuō)法正確的是（ D ）直線的傾斜角為，則此直線的斜率為 直線的斜率為，則直線的傾斜角 若直線的傾斜角為，則 任一直線都有傾斜角，但它不一定有斜率三.直線斜率的表示方法：兩點(diǎn)式已知兩點(diǎn)，如果，則的斜率為，如果，則其斜率不存在.【例題4】經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的斜率是否存在？如果存在，求其斜率（1） （2） （3） （4）【例題5】過(guò)點(diǎn)和的直線的斜率為1，則等于_1【例題6】求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和的直線的

3、斜率的取值范圍？基礎(chǔ)練習(xí)一、選擇題1、已知直線的斜率的絕對(duì)值等于，則直線的傾斜角為（ C ） 或 或2、已知直線的斜率為，傾斜角是，直線的斜率為，傾斜角是，則（ D） 3、若直線的傾斜角為，則等于（ C） 不存在4、直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，則它的傾斜角是（ A） 或 5、直線過(guò)點(diǎn)，直線的傾斜角與的傾斜角互補(bǔ)，則直線的傾斜角是（ D ） 6、若三點(diǎn)，共線，那么下列成立的是（ C） 7、經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的傾斜角的正切值為（ C） 二、填空題1、如圖，直線，的斜率分別是，則_2、直線過(guò)，兩點(diǎn)，其中，則直線的傾斜角為_(kāi) 3、若直線經(jīng)過(guò)第二、四象限，則直線的傾斜角的取值范圍是_4、在軸上有一點(diǎn)，它與點(diǎn)連成的直

4、線的傾斜角為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_5、直線的斜率，則直線的傾斜角的范圍是_三、解答題1、已知，兩點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)且與線段相交，求直線的斜率的取值范圍？或2、若直線的斜率為函數(shù)的最小值，求直線的傾斜角和斜率？，-13、已知，若的斜率是斜率的2倍，求點(diǎn)坐標(biāo)？或4、已知，三點(diǎn)在同一直線上，求實(shí)數(shù)的值？或2能力提升一、選擇題1、直線過(guò)原點(diǎn)，且不過(guò)第三象限，那么傾斜角的取值范圍是（ C） 2、設(shè)直線過(guò)原點(diǎn)，其傾斜角，將直線繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到直線，則的傾斜角為（ D） 當(dāng)時(shí)為，當(dāng)為3、直線過(guò)點(diǎn)，且不過(guò)第四象限，那么直線的傾斜角的取值范圍是（ A） 4、順次連接，四個(gè)點(diǎn)，所構(gòu)成的圖形是（ B）平行四邊形

5、直角梯形 等腰梯形 以上都不對(duì)5、直線與軸正半軸和軸正半軸分別交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為（ B） 6、已知，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則它們的傾斜角與之間的關(guān)系是（ A） 二、填空題1、已知直線的傾斜角為，直線與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則直線的傾斜角為_(kāi)2、若直角三角形三邊長(zhǎng)分別為，則三點(diǎn)，滿(mǎn)足的關(guān)系是_三點(diǎn)共線3、已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為_(kāi)三、解答題1、已知直線上的兩點(diǎn)，求其斜率，若在直線上，求間應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系，并求當(dāng)時(shí)，的值？ 2、已知直線的傾斜角為，且是直線上的三個(gè)點(diǎn)，求和 0 -1或4 93、已知，當(dāng)為何值時(shí)，直線的傾斜角為：（1）銳角 或（2）直角 （3）鈍角 3.1.2兩條直線平行與垂直的判定知識(shí)

6、要點(diǎn)一、兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線，其斜率分別為，有/注意上述兩條直線平行的條件是斜率都存在且不重合，若斜率都不存在，則它們都垂直于軸【例題1】下列說(shuō)法正確的有（ A ）若兩直線斜率相等，則兩直線平行若/，則若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交若兩直線的斜率都不存在，則兩直線平行1個(gè) 2個(gè) 3個(gè) 4個(gè)【例題2】已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，判斷直線，的位置關(guān)系. 平行或重合二、兩條直線垂直當(dāng)兩條直線的斜率都存在是，當(dāng)兩條直線中一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，則這兩條直線也垂直【例題3】已知點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，直線與直線互相垂直. -3【例題4】已

7、知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如果，則等于_-6或5三、易錯(cuò)點(diǎn)：判斷直線平行與垂直關(guān)系時(shí)對(duì)斜率的討論【例題5】已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，求的值. 0或5四、數(shù)學(xué)結(jié)合在直線的平行與垂直關(guān)系中的應(yīng)用【例題6】一條光線從發(fā)出，到軸上的點(diǎn)后，經(jīng)軸反射通過(guò)點(diǎn)，求反射光線所在直線的斜率. -2【例題7】過(guò)的直線與線段相交，若，求直線的斜率的取值范圍. 五、典型例題已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值. 2 課堂練習(xí)1、判斷下列各題中的直線，是平行還是垂直（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（2）的斜率是1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)2、當(dāng)為何值時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線：（1）與過(guò)兩點(diǎn)的直線垂直（2）與過(guò)兩點(diǎn)的直線平行基礎(chǔ)練習(xí)

8、一、選擇題1、下列說(shuō)法正確的是（ B）平行的兩條直線的斜率一定存在且相等平行的兩條直線的傾斜角一定相等垂直的兩條直線的斜率之積為只有斜率相等的兩條直線才一定平行2、經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線平行于直線時(shí)，則的值為（A ） 3、經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線平行于斜率等于1的直線，則的值為（A ） 4 1或3 1或44、給定三點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線經(jīng)過(guò)（ A ） 5、過(guò)點(diǎn)，的直線與過(guò)點(diǎn)，的直線的位置關(guān)系為（ A ）垂直 平行 重合 以上都不正確二、填空題1、若三點(diǎn)共線，則等于_2若點(diǎn)、在直線上，若直線，則的傾斜角為_(kāi)3、已知點(diǎn)，且，則等于_4、將直線沿軸正方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸負(fù)方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，又回

9、到原來(lái)的位置，則直線的斜率是_5、已知兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)或三、解答題1、已知的頂點(diǎn)，其垂心為，求頂點(diǎn)的坐標(biāo). 2、已知，求點(diǎn)，使.3、已知四邊形的頂點(diǎn)為,試判斷四邊形的形狀. 矩形能力提升1、已知，求點(diǎn)坐標(biāo)，使四邊形為直角梯形（按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?或2、已知三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，試確定點(diǎn)坐標(biāo)，使四邊形為平行四邊形. 或或3.2直線的方程3.2.1直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程知識(shí)要點(diǎn)一、直線的點(diǎn)斜式方程（1）形式：（2）適用范圍：直線的點(diǎn)斜式方程適用于斜率存在并過(guò)已知點(diǎn)的直線，即直線不垂直于軸.【例題1】根據(jù)條件寫(xiě)出下列各題中的直線方程（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為2（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為（3）經(jīng)過(guò)

10、點(diǎn)與軸垂直（4）經(jīng)過(guò)點(diǎn)與軸平行二、直線的斜截式方程（1）方程形式：（其中為直線在軸上的截距，即直線過(guò)點(diǎn)）（2）適用范圍：斜率存在即不垂直于軸的直線【例題2】根據(jù)條件寫(xiě)出下列各題中的直線方程（1）斜率為2，在軸上的截距為5（2）傾斜角為，在軸上的截距為基礎(chǔ)練習(xí)一、選擇題1、已知直線的方程是，則（ C）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為1 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為12、方程表示（C ）過(guò)點(diǎn)的所有直線 過(guò)點(diǎn)的所有直線 過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線 過(guò)點(diǎn)且除去軸的直線3、直線：的傾斜角為，則直線在軸上的截距是（ B）1 3 4、直線與垂直，則等于（ D）2 1 0 5、經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角是直線

11、的傾斜角的2倍的直線是（ A） 二、填空題1、經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為_(kāi)2、直線在軸上的截距是3，則等于_63、過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程是_4、與直線垂直且在軸上的截距為4的直線方程為_(kāi)5、原點(diǎn)在直線上的射影為點(diǎn)，則直線的方程為_(kāi)6、直線：，若直線在軸上的截距為6，則等于_三、解答題1、求過(guò)點(diǎn)，且平行于直線的直線的方程 直線：（1）若直線與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，求的方程 （2）若直線與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，求的方程 2、三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求三角形邊上的高所在的直線方程.3、已知直線在軸上的截距為，且它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，求直線的方程 或能力提升一、選擇題1、將直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個(gè)單位

12、，所得到的直線方程為（ A） 2、以為端點(diǎn)的線段的垂直平分線方程是（ B） 3、過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（ A） 4、直線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過(guò)定點(diǎn)（ C） 5、直線一定經(jīng)過(guò)（ A）第一、三象限 第二、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限6、直線不經(jīng)過(guò)第三象限，則（ A） 二、填空題1、若，則直線必不通過(guò)第_象限 三2、直線繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后所得的直線方程是_3、直線過(guò)原點(diǎn)，且平分平行四邊形的面積，若，則直線的方程是_4、在直線上的射影為，則直線的方程為_(kāi)5、已知，線段的垂直平分線的方程是_三、解答題1、求與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形周長(zhǎng)為9且斜率為的直線方程 已知直線（1）求直線

13、恒過(guò)的定點(diǎn) （2）當(dāng)時(shí)，直線上的點(diǎn)都在軸上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍 2、已知直線方程為，當(dāng)時(shí)，求此直線方程或當(dāng)為何值時(shí)直線：與平行當(dāng)為何值時(shí)直線：與垂直3.2.2直線的兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程知識(shí)要點(diǎn)一、直線的兩點(diǎn)式方程（1）形式：（2）適用范圍：直線的兩點(diǎn)式方程適用于斜率存在且斜率不等于零的直線.【例題1】求經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線方程（1） （2） （3）【例題2】已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，求三角形三邊所在的直線方程.二、直線的截距式方程（1）形式：，其中分別是直線在軸上部位零的截距，即直線過(guò)和.（2）適用范圍：不含有垂直坐標(biāo)軸及過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線.【例題3】根據(jù)下列條件求出各題中的直線方程（1）在軸上的

14、截距為，在軸上的截距為（2）在軸上的截距為1，在軸上的截距為【例題4】求過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.三、直線的一般式方程（1）形式：（2）適用范圍：適用于任何一條直線【例題5】根據(jù)下列條件寫(xiě)出直線方程，并把它化成一般式.（1）過(guò)點(diǎn)，斜率為（2）在軸、軸上的截距分別為和4【例題6】設(shè)直線的方程為，已知在軸上的截距為2，試確定的值.課堂練習(xí)一、選擇題1、過(guò)兩點(diǎn)的（5，0），（2, ）的直線的方程是 （ B ）A、 B、C、 D、2、在軸、軸上的截距分別是，4的直線方程是（B ）A、 B、C、 D、3、直線在軸上的截距是（ B ）A、 B、 C、 D、4、已知，則過(guò)點(diǎn)A（），B、（）的直

15、線的方程是（ A ）A、 B、 C、 D、5、直線和的位置關(guān)系式（ C ）A、平行 B、垂直C相交單不垂直 D、不能確定6、直線與兩坐標(biāo)軸圍成的面積是（ D ）A、 B、C、 D、7、若果直線的傾斜角為，則有關(guān)系式（ B ）A、 B、C、 D、以上均不可能二、填空題1、已知直線過(guò)點(diǎn)（3，），且與兩軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，則的方程為_(kāi)或2、過(guò)兩點(diǎn)（5,7）和（1,3）的直線一般式方程為_(kāi),若點(diǎn)（a，12）在此直線上，a=_10三、解答題1、根據(jù)下列條件分別寫(xiě)出直線的方程，并化為一般式方程（1）斜率是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) （2）斜率是4，在軸上的截距為（3）經(jīng)過(guò)；兩點(diǎn)（4）在、軸上的截距分別為，2、過(guò)點(diǎn)（

16、，）作一直線，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5.或基礎(chǔ)練習(xí)一、選擇題1、直線 與直線平行，則的值為（ D）2 2或 或2、已知直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ B）或2 或 1或2 1或3、直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，則直線的方程是（ A） 4、過(guò)點(diǎn)（2,4）且在軸、軸上的截距相等的直線是（ B ）A、1條 B、2條 C、3條D、4條5、如果，且,那么直線不通過(guò)（ C ）A、第一象限 B、第二象限C、第三象限 D、第四象限6、若直線在x軸上的截距是3。，則m的值是（ D ）A、 B、6C、 D、7、方程表示的直線（ A ）A、恒過(guò)（，3） B、恒過(guò)（2,3）C、恒過(guò)（，3）或（2,

17、3） D、都是平行直線8、直線的斜率為，在軸上的截距為，則有（ C）A、 B、C、 D、9、直線在軸上的截距為（ A）A、 B、 C、 D、二、填空題1、若直線與直線平行，則等于_2、一直線過(guò)點(diǎn)（，4）并且在兩坐標(biāo)上的截距之和為12，這條直線方程是_或3、直線的傾斜角為，在軸上的截距為的直線方程_4、過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_(kāi)或三、解答題1、已知三角形的頂點(diǎn)是，求（1）三邊所在的直線方程. （2）邊上的中線所在的直線方程2、直線過(guò)點(diǎn)，且它在軸上的截距是它在軸上的截距地3倍，求直線的方程或3、已知直線與問(wèn)兩直線是否垂直，若垂直求的值 04、已知直線，問(wèn)m為何止時(shí)：(1) ;

18、(2) 5、設(shè)直線的方程為，根據(jù)下列條件確定m的值.（1）在軸上的截距是 （2）斜率是 能力提升一、選擇題1、三條直線， ，構(gòu)成三角形，則的取值范圍是（ A ） ， ，2、過(guò)點(diǎn)且在軸、軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線共有（ C）1條 2條 3條 4條3、點(diǎn)與關(guān)于下列哪種圖形對(duì)稱(chēng)（ A ） 點(diǎn) 4、把直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得直線的方程是（ B） 5、若直線經(jīng)過(guò)第一、二、三、象限，則（ D） 二、填空題1、若直線和直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則等于_或2、如果直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則直線的方程等于_3、若直線不經(jīng)過(guò)第一象限，則的取值范圍是_4、已知直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積不大于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_5、

19、直線經(jīng)過(guò)連接的線段的中點(diǎn)，則_26、不論為何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)一定點(diǎn)，則此定點(diǎn)的坐標(biāo)是_ 三、解答題1、已知直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，求直線的方程. 或或2、直線與兩坐標(biāo)軸在第一象限所圍成的三角形的面積為2，兩截距之差為3，求直線的一般式方程. 或3、已知直線.（1）求證：不論為何值，直線總過(guò)第一象限（2）為使直線不經(jīng)過(guò)第二象限，求的取值范圍 4、當(dāng)時(shí)，直線與和兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，問(wèn)為何值時(shí)，這個(gè)四邊形的面積最小？并求這個(gè)數(shù) 5、設(shè)直線的方程為,根據(jù)下列條件分別確定m的值（1） 在x軸上的截距是；（2）斜率是1. 6、光線從點(diǎn)A(,4)射出，經(jīng)x軸上的點(diǎn) B反射后交軸與C點(diǎn)，再

20、經(jīng)過(guò)C點(diǎn)從軸上反射恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(,6),求直線AB,.BC,CD的方程。， 3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式3.3.1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)3.3.2兩點(diǎn)間的距離知識(shí)要點(diǎn)一、兩直線的交點(diǎn) 設(shè)兩直線的方程是，兩直線是否有交點(diǎn)，就要看兩直線組成的方程組是否有解，有以下三種情況：（1）若方程組無(wú)解，則兩條直線平行，反之，亦成立（2）若方程組有無(wú)窮多解，則兩直線重合，反之，亦成立（3）若方程組有且僅有一解，則兩直線相交，反之，亦成立，方程組的解就是交點(diǎn)坐標(biāo).兩直線，相交的條件是：二、兩點(diǎn)間的距離設(shè)則【例題1】判斷下列各題中直線的位置關(guān)系，若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)（1） （2）（3）【例題2】求下列兩點(diǎn)間的距離（1） （2） （3） 6【例題3】（1）求過(guò)直線和的交點(diǎn)且與直線平行的直線方程 （2）求經(jīng)過(guò)直線和的交點(diǎn)且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線方程【例題4】在直線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離相等.P(0,1)【例題5】若直線和的交點(diǎn)在第一