常系數(shù)非齊次線性微分方程.ppt

1、Nonhomogeneous Linear Equations with Constant Coefficients,12.9 常系數(shù)非齊次線性微分方程,二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：,對應(yīng)齊次線性微分方程：,誰不會？,還不會,已會了,二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解步驟,(1) 求出對應(yīng)齊次線性方程 (1) 的通解：,(2) 求出原方程 (1) 的一個特解：y*,(3) 寫出原方程 的通解：y = Y + y*,如何求出原方程 的一個特解？,原方程 的一個特解應(yīng)當(dāng)具有什么形式？ 這與方程,與自由項(xiàng) f(x) 的形式有關(guān)。,一、 設(shè),其中 Pm(x) 是 m 次多項(xiàng)式,I 型自由項(xiàng),因?yàn)?f

2、(x) 中含有指數(shù)函數(shù) 因此特解 y* 中也必須有指數(shù)函數(shù) 設(shè)特解,其中 Q(x) 是一個待定的多項(xiàng)式,求導(dǎo)：,再求導(dǎo)：,代入原方程，并約去 ex ，得,(1) 若 不是特征根：,則 Q(x) 與 Pm(x) 是同次多項(xiàng)式：,方程的通解形如：,(2) 若 是特征單根：,則 Q(x) 與 Pm(x) 是同次多項(xiàng)式，Q(x) 是比 Pm(x) 高一次的多項(xiàng)式：,方程的通解形如：,但,Qm1(x) 的零次冪不起作用,(3) 若 是特征重根：,則 Q(x) 與 Pm(x) 是同次多項(xiàng)式，Q(x) 是比 Pm(x) 高 2 次的多項(xiàng)式：,方程的通解形如：,且,Qm2(x) 的零次冪和一次冪不起作用,綜上

3、所述，,的特解形式為：,當(dāng) 不是特征根,當(dāng) 是特征單根,當(dāng) 是特征重根,將Qm(x) 代入方程 (3)，比較兩端同次冪的系數(shù) 即可求出待定系數(shù)：a0, a1, , am,此公式見學(xué)習(xí)手冊338頁,特別地，,特解形式為：,當(dāng) 0 不是特征根,當(dāng) 0 是特征單根,當(dāng) 0 是特征重根,此公式見 學(xué)習(xí)手冊339頁,例,求通解：,解,特征方程：,特征根：,對應(yīng)齊次方程的通解：, = 0,因?yàn)?= 0 不是特征根，設(shè)特解：,求導(dǎo)：,代入原方程：,比較兩端同次冪的系數(shù)，得,通解：,例,求通解：,解,特征方程：,特征根：,對應(yīng)齊次方程的通解：, = -1,因?yàn)?= -1是特征單根，設(shè)特解：,代入公式 (3):

4、,通解：,例,求通解：,解,特征方程：,特征根：,對應(yīng)齊次方程的通解：, = 1,因?yàn)?= 1是特征重根，設(shè)特解：,二重根,代入公式 (3):,通解：,二、,II 型自由項(xiàng),不作要求 略講或自學(xué),例如,特點(diǎn)：必需有三角函數(shù),特解的設(shè)法： 設(shè),當(dāng),不是特征根,當(dāng),是特征根,例 3,求通解：,解,特征方程：,特征根：,對應(yīng)齊次方程的通解：,不是特征根,不是特征根,設(shè)特解：,求導(dǎo)：,再求導(dǎo)：,代入原方程，得：,比較 sin2x, cos2x 的系數(shù)，得,解出：,特解：,通解：,wffc:=diff(y(x),x$2)+y(x)=x*cos(2*x): tongjie:=dsolve(wffc,y(x): toplot:=seq(seq(rhs(tongjie),_C1=-3.3),_C2=-3.3): plot(toplot,x=-2.2,y=-5.5,color=blue);,wffc:=diff(y(x),x$2)+y(x)=0: tongjie:=dsolve(wffc,y(x): toplot:=seq(seq(rhs(