線性方程組的求解.ppt

1、1,第一節(jié) 線性方程組的求解,一、克拉默法則 二、線性方程組的消元法 三、小結(jié),第二章 線性方程組,2,一、克拉默法則,下面是行列式在一類特殊的線性方程組中的應(yīng)用,利用n階行列式求解方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)都是n， 且系數(shù)行列式不為零的線性方程組,3,定理2.1.1(克拉默法則),如果線性方程組,的系數(shù)矩陣,的行列式,則方程組(2.1.1)有唯一解,(j=1,2,n). (2.1.2),4,其中,(j=1,2,n).,若線性方程組(2.1.1)無解或有兩個(gè)以上不同的解, 則,齊次與非齊次線性方程組的概念,常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組, 否則稱為非齊次線性方程組,推論2.1.1,5,對(duì)

2、于n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組,(2.1.5),(i=1,2,n)為齊次線性方程組(2.1.5)的解,將其稱為該方程組的零解.,齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解.,6,若齊次線性方程組(2.1.5)的系數(shù)行列式 ，,推論 2.1.2,則齊次線性方程組(2.1.5)只有零解.,推論 2.1.3,若齊次線性方程組(2.1.5)有非零解,則其系數(shù),行列式 .,7,例1 解線性方程組,解 因該方程組的系數(shù)行列式為,由推論2.1.2, 該方程組僅有零解,8,例2 解方程組,解 方程組的系數(shù)行列式為,依克拉默法則知，該方程組的唯一解為,又,9,例3 設(shè)齊次線性方程組,有非零解, 試求常數(shù),

3、的值.,有非零解, 試求常數(shù),的值.,有非零解, 試求常數(shù)k的值.,解 由定理2.1.2知該方程組系數(shù)行列式必為零, 即,k=3方程組有非零解.,10,二、線性方程組的消元解法, 解方程組，就是要通過一系列能使方程組保持 同解的變換，把原方程組化為容易看出是不是 有解并在有解時(shí)容易求出解的線性方程組 什么樣的變換能使變換前后的方程組滿足同解 要求? 同解變換能把方程組化為什么樣的簡單形式?,11,例4,解線性方程組,解,首先消去第二，三兩個(gè)方程中含 x1 的項(xiàng). 為此，將第一個(gè)方程的 -2 倍加到第二個(gè)方程，第一個(gè)方程的 -1 倍加到第三個(gè)方程，得到同解方程組,12,然后將第二個(gè)方程的 - 4

4、 倍加到第三個(gè)方程，,交換后兩個(gè)方程,再將第三個(gè)方程等號(hào)兩邊同乘以 1/3，得到,最后求得方程組的解為,x3 = - 6, x2 = - 1, x1 = 9,13,在例4的解題過程中使用了如下的三種變換,用一個(gè)非零數(shù)乘以某個(gè)方程 將一個(gè)方程的 k 倍加到另一個(gè)方程上 交換兩個(gè)方程的位置,上述三種變換稱為線性方程組的初等變換,14,用消元法解方程組實(shí)質(zhì)上是對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，因此為了簡化運(yùn)算過程的表達(dá)形式，可以只把線性方程組的系數(shù)按順序?qū)懗梢粋€(gè)矩形的數(shù)表，方程組（2.1.6）的系數(shù)可寫成,15,對(duì)方程組作初等變換就相當(dāng)于對(duì)增廣矩陣作如下的行變換,用一個(gè)非零數(shù)乘以某一行 將一行的 k

5、倍加到另一行上 交換兩行的位置,系數(shù)矩陣,增廣矩陣,以上三種變換稱為矩陣的行初等變換,16,例4的消元求解過程可以用增廣矩陣的行初等變換來表示為,求得解為,其中B為行階梯形矩陣，C為行最簡形矩陣,x3 = - 6, x2 = - 1, x1 = 9,17,例5 解線性方程組,解 對(duì)增廣矩陣作行初等變換, 將其化為行最簡形矩陣,18,原方程組同解的線性方程組為,即,19,線性方程組的解寫成下面的形式,其中k1,k2,k3為任意常數(shù),上述解的表達(dá)式通常稱為原線性方程組的通解,20,例6 求解線性方程組,解 對(duì)方程組的增廣矩陣作行初等變換,上式中最后一個(gè)矩陣的第三行所表示的方程是一個(gè) 矛盾方程,故原

6、方程組無解,21,非齊次線性方程組解的判別定理,設(shè)線性方程組(2.1.6)的系數(shù)矩陣A的秩為r ,AX=的增廣矩陣通過行初等變換一定可以化為,(2.1.11),22,對(duì)應(yīng)（2.1.11）的方程組 CX= 為,方程組CX=與原方程組(2.1.6)AX=是同解方程組 只討論同解方程組CX=解的情況,23,方程組 CX=在有解的情況下,當(dāng) r=n 時(shí)，方程組有唯一解 x1=d1, x2=d2,xn=dn,(2)當(dāng) rn 時(shí),方程組有無窮多個(gè)解. 把每行第一個(gè)非零元所對(duì)應(yīng)的未知量作為基本未知量.其余作為自由未知量,方程組AX=有解(即CX=有解)的充要條件是 dr+1=0,24,解得,其中,為任意常數(shù)

7、,25,n元線性方程組,有解的充分必要條件是,定理2.1.3,設(shè),當(dāng) r=n 時(shí)，原方程組有唯一解,當(dāng) rn 原方程組有無窮多解,下面通過例子說明這個(gè)定理的應(yīng)用,26,例7,t為何值時(shí),下列方程組無解;有唯一解; 有無窮多解？并在方程組有解時(shí)求出解,解,對(duì)方程組的增廣矩陣作行初等變換,27,(1)當(dāng)t=-3時(shí),28,當(dāng)t=-3時(shí)，原方程組有無窮多解，同解方程組為,令自由未知量 x3 = k 得原方程組的解為,其中k為任意常數(shù),29,(2)t=1時(shí),原方程組無解,(3) t -3 且 t 1時(shí),原方程組有唯一解,30,齊次線性方程組的解,求解方法與非齊次線性方程組相同,(2.1.13),定理 2

8、.1.4,設(shè)n元齊次線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣 A的秩為r,那么,(1)當(dāng)r=n時(shí),方程組AX=0僅有零解 (2)當(dāng)rn時(shí),方程組AX=0有無窮多解,31,推論2.1.13,若齊次線性方程組中,方程的個(gè)數(shù)m小于未知量 個(gè)數(shù)n，則必有無窮多解,定理2.1.5,設(shè)A為n階矩陣,則n元齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式|A|=0,32,試確定常數(shù)k的值, 使3元齊次線性方程組,例8,有非零解, 并求出它的所有非零解,對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換, 將其化為 行階梯形矩陣,解法一,33,當(dāng)b= -3時(shí)，R(A)=23原方程組有非零解,34,當(dāng)b= -3時(shí),與原方程組同解的線性方程組為,因此，原方程組的所有非零解為,其中k為任意常數(shù),35,該題的方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同 可應(yīng)用定理2