大學物理實驗-誤差理論分析2014年2月

1、第一章 測量誤差及數(shù)據(jù)處理方法, 1.1 測量與誤差關(guān)系, 1.2 測量結(jié)果誤差估算及評定方法, 1.3 直接測量結(jié)果誤差估算及評定方法, 1.4 間接測量結(jié)果誤差估算及評定方法, 1.5 有效數(shù)字及其運算, 1.6 常用數(shù)據(jù)處理方法,按測量方法不同可分,直接測量,間接測量,測量：用一定的測量工具或儀器，通過一定的方法，直接或間接地得到所需要的量值。,一、測量（測量是物理實驗的基礎(chǔ)）, 1.1 測量與誤差關(guān)系,直接測量-指無需對被測的量與其它實測的量進行函數(shù)關(guān)系的輔助計算而可直接得到被測量值的測量；間接測量-指利用直接測量的量與被測量之間的已知函數(shù)關(guān)系經(jīng)過計算從而得到被測量值的測量,二、 誤差

2、,2、誤差來源 （1） 儀器誤差：任何儀器都存在誤差 （2） 環(huán)境誤差 ：溫度、氣流、外界電磁場 （3） 測量方法誤差：測量方法本身依據(jù)的理論不完善 （4） 人員誤差：操作者主觀因素和操作技巧,1、誤差的定義 測量誤差 = 測量值-真值,N真是客觀存在的但無法測量到，因為測量與誤差是形影不離的。 反映的是測量值偏離真實值的大小和方向。注意有正、負之分。,（單位）, 1.1 測量與誤差關(guān)系, 1.1 測量與誤差關(guān)系,3、誤差分類（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差）,（1）系統(tǒng)誤差同一被測量的多次測量過程中，保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測量誤差的分量 特點：確定性 產(chǎn)生原因：儀器本身的缺陷、測量方法的

3、不完備、測量者的不良習慣等。,分類及處理方法： 1）已定系統(tǒng)誤差：必須修正 （電表、螺旋測微計的零位誤差；） 2）未定系統(tǒng)誤差：要估計出分布范圍 （大致與 B 類不確定度B 相當）如：螺旋測微計制造時的螺紋公差等,（2）隨機誤差同一量的多次測量過程中，以不可預(yù)知方式變化的測量誤差的分量 特點:(a)測量次數(shù)大多情況下隨機誤差沒有規(guī)律; (b)大量測量時隨機誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。 產(chǎn)生原因：測量儀器、環(huán)境條件、測量人員等。, 1.1 測量與誤差關(guān)系,3、誤差分類（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差）,舉例： 電表軸承的摩擦力變動、螺旋測微計測力在一定范圍內(nèi)隨機變化、實驗條件和環(huán)境因素無規(guī)則的起伏變化，引起

4、測量值圍繞真值發(fā)生漲落的變化，操作讀數(shù)時的視差影響。,（2）隨機誤差, 1.1 測量與誤差關(guān)系,3、誤差分類（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差）,正態(tài)分布 特點： （1）絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大（單峰性） （2）絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相等，所以用多次測量取平均的方法可以減小隨機誤差（對稱性） （3）絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零（有界性） 曲線下面積為1，曲線越窄，峰越高，隨機誤差越小。,（很多服從正態(tài)分布）, 1.1 測量與誤差關(guān)系,3、誤差分類（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差）,（3）粗大誤差明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差 特點：可以避免，處理數(shù)據(jù)時應(yīng)將其剔除。 產(chǎn)生原因：測量中的疏忽

5、或其它種種原因。例如，突然的振動，短時間的強風，偶爾記錄錯誤。,（1）絕對誤差：反映誤差本身大小。,（2）相對誤差（百分誤差）：反映誤差嚴重程度。,結(jié)果表示：,（單位）, 1.1 測量與誤差關(guān)系,4、測量結(jié)果表示,問:有了絕對誤差，為什么還要引入相對誤差呢？,答:絕對誤差反映的是誤差本身的大小，但它不能反映誤差的嚴重程度。,2m,20m,例:兩個絕對誤差如下，哪個大,哪個嚴重？,我們不知道它們是在什么測量中產(chǎn)生的，所以難以回答。, 1.1 測量與誤差關(guān)系, 1.1 測量與誤差關(guān)系,注意：絕對誤差大的，相對誤差不一定大,絕對誤差與相對誤差之間沒有必然聯(lián)系, 1.1 測量與誤差關(guān)系,5、精密度、正

6、確度與準確度（又稱精確度）,精密度反映隨機誤差（測量值離散程度） 正確度反映系統(tǒng)誤差（測量值偏離真值程度） 準確度反映綜合誤差,正確度較高、精密度低,精密度高、正確度低,準確度(精確度)高,1.2 測量結(jié)果誤差估算及評定方法,由于真值客觀存在但不可測，一般用公認值或多次測量的算術(shù)平均值作為真值的最佳估計。,即：對N進行K次測量，得N1，N2Nk，則,評定其可靠性（可信度如何）的方法有三種。,它們是：算術(shù)平均偏差、 標準偏差、 不確定度,1算術(shù)平均偏差,特點：簡單； 缺點：大偏差得不到應(yīng)有反映。,1.2 測量結(jié)果誤差估算及評定方法,（2）平均值的標準偏差（在同一條件下對某物理量進行多次測量）,（

7、1）測量列的實驗標準差,2標準偏差（反映平均值代替真值的精密度）,m個K次平行測定的平均值： 由統(tǒng)計學可得：,K,1.2 測量結(jié)果誤差估算及評定方法,標準偏差是一個描述測量結(jié)果離散程度的參量，反映了測量的精密度，只考慮隨機誤差。,理解： 若隨機誤差服從正態(tài)分布，在距平均值 處，是概率密度曲線的拐點，曲線下總面積為1， 越小，曲線越瘦，峰值越高，說明分布越集中，精密度越高；反之精密度越低。,1.2 測量結(jié)果誤差估算及評定方法,A類分量（用統(tǒng)計方法計算）uA：,B類分量（用其他方法計算）uB：,合成不確定度,3不確定度（反映平均值代替真值的準確度）,ins為儀器的極限誤差；K為置信系數(shù)。,1.2

8、測量結(jié)果誤差估算及評定方法,1.2 測量結(jié)果誤差估算及評定方法,約定：在我們的實驗中 不確定度 取1位有效數(shù)字； 相對不確定度 取1-2位有效數(shù)字,注意： 的末位和u對齊。,完整的測量結(jié)果應(yīng)表示為：,1.1 1.2 小結(jié), 1.1 測量與誤差關(guān)系, 1.2 測量結(jié)果誤差估算及評定方法,測量的定義、分類（直接測量、間接測量） 誤差的定義、來源 誤差的分類（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差） 絕對誤差、相對誤差 精密度、正確度、準確度,算術(shù)平均偏差 標準偏差 不確定度,1.3 直接測量誤差估算及評定,一、單次測量誤差估算及評定,單次測量結(jié)果的誤差估算常以測量儀器誤差來評定。,儀器誤差： 已標明（或可明

9、確知道）的誤差 未標明時，可取儀器及表盤上最小刻度的一半作誤差。 電學儀器根據(jù)儀器的精度來考慮,如電表：,例 : 如用一個精度為0.5級，量程為10 A的電流表，單次測量某一電流值為2.00A，試用不確定度表示測量結(jié)果。,解：不確定度 u=10 A 05 =005 A 結(jié)果表示 I=（2 000 05 ）A,1.3 直接測量誤差估算及評定,一、單次測量誤差估算及評定,1.3 直接測量誤差估算及評定,二、多次測量結(jié)果的誤差估算及評定程序,由于測量中真值雖然客觀存在但不可測，多次測量中以算術(shù)平均值代替，作為測量結(jié)果。,評定程序： 1.求多次測量的平均值 2.計算 或 或 u 3.測量結(jié)果表示 （如

10、用不確定度 u ，則結(jié)果為 ）,計算方便但準確度低,只考慮了隨機誤差，只反映了精密度,今后我們約定結(jié)果寫成：,式中,這種表示方法的置信概率大約為95%左右,1.3 直接測量誤差估算及評定,二、多次測量結(jié)果的誤差估算及評定程序,例：見課本P21頁,一、一般的誤差傳遞公式,1.4 間接測量結(jié)果誤差的估算及評定,N=f(x,y,z),假設(shè)間接測量值N與直接測量值x,y,z的函數(shù)關(guān)系為：,二、 標準偏差的傳遞公式,1.4 間接測量結(jié)果誤差的估算及評定,三、不確定度的傳遞公式,不確定度,相對不確定度,1.4 間接測量結(jié)果誤差的估算及評定,表1.4-1某些常用函數(shù)的不確定度傳遞公式,總結(jié)間接測量結(jié)果用不確

11、定度評定的基本步驟： （1）計算各直接測量的最佳值和它們的不確定度；（2）根據(jù)公式計算間接測量量的不確定度（保留1位有效數(shù)字），或相對不確定度（保留12位有效數(shù)字） ；（3）求出間接測量值N，N的末位與不確定度所在位對齊；（4）寫出結(jié)果 注意單位不要漏寫,1.4 間接測量結(jié)果誤差的估算及評定,例: 用一級千分尺（ ）測量某圓柱體的直徑D和高度H，測量數(shù)據(jù)如下，求體積V并用不確定度評定測量結(jié)果。,1.4 間接測量結(jié)果誤差的估算及評定,解：（1）計算直接測量值D、H的不確定度,（a）求多次測量的平均值,（b）A類不確定度,（c） B類不確定度,1.4 間接測量結(jié)果誤差的估算及評定,（3）寫出結(jié)果,

12、（d）計算 UD 和UH,（2）計算間接測量值 V和及其不確定度Uv,1.4 間接測量結(jié)果誤差的估算及評定,例2: P25-26例5、例6、例7,舉例：1.25 （3位有效數(shù)字） 1.250 （ 4位有效數(shù)字） 0.0125 （3位有效數(shù)字） 1.0025 （5位有效數(shù)字）,1.5 有效數(shù)字及其運算,一、什么叫有效數(shù)字,有效數(shù)字一般由若干位準確數(shù)字和一位可疑數(shù)字（欠準數(shù)字）構(gòu)成。,1.5 有效數(shù)字及其運算,注意：,（1）同一物體用不同精度的儀器測量，有效數(shù)字的位數(shù)是不同的，精度越高，有效數(shù)字的位數(shù)越多,如： 最小分度 被測量長 有效數(shù)字位數(shù) 米尺 1mm 120.6mm 4 游標卡尺 0.02

13、mm 120.60mm 5 螺旋測微器 0.01mm 120.600mm 6,（2）有效位數(shù)與十進制單位的變換無關(guān) 如：12.06cm=0.1206m=0.0001206km 有效位數(shù)都是4位,1.5 有效數(shù)字及其運算,注意：,（3）表示小數(shù)點位數(shù)的“0”不是有效數(shù)字； 數(shù)字中間的“0”和數(shù)字尾部的“0”都是有效數(shù)字； 數(shù)據(jù)尾部的“0”不能隨意舍掉，也不能隨意加上。,如： 900v = 9.00102 v = 9.00 105 mv = 9.00 10-1kv,二、有效數(shù)字運算規(guī)則,1.5 有效數(shù)字及其運算,原則： 準確數(shù)字之間進行四則運算仍為準確數(shù)字；可疑數(shù)字與準確數(shù)字或可疑數(shù)字之間運算結(jié)果

14、為可疑數(shù)字； 運算中的進位數(shù)可視為準確數(shù)字,、加減運算 尾數(shù)對齊在小數(shù)點后所應(yīng)保留的位數(shù)與諸量中小數(shù)點后位數(shù)最少的一個相同。,如：11.4+2.56=13.96=14.0 75-10.356=,64.644=65,如：40009.0=3.6104,、乘除運算 位數(shù)對齊有效數(shù)字的位數(shù)一般與諸量中有效數(shù)字位數(shù)最少的一個相同。,1.5 有效數(shù)字及其運算,二、有效數(shù)字運算規(guī)則,3、某些常見函數(shù)運算的有效位數(shù)（1）對數(shù)函數(shù)尾數(shù)的位數(shù)取得與真數(shù)的位數(shù)相同；,2.0000.10=,20,3、某些常見函數(shù)運算的有效位數(shù),（2）指數(shù)函數(shù)的有效數(shù)字，可與指數(shù)的小數(shù)點后的位數(shù)（包括緊接在小數(shù)點后的零）相同；,1.5

15、 有效數(shù)字及其運算,二、有效數(shù)字運算規(guī)則,（3）三角函數(shù)的取位隨角度的有效位數(shù)而定；,4、常數(shù)的有效位數(shù)可以認為是無限的，實際計算中一般比運算中有效數(shù)字位數(shù)多取1位；,1.5 有效數(shù)字及其運算,二、有效數(shù)字運算規(guī)則,5、當諸量進行加減、乘除混合運算時，有效數(shù)字應(yīng)遵循加減、乘除運算規(guī)則逐步取舍；,2、最佳值或測量值末位與不確定度末位對齊。,三、不確定度和測量結(jié)果的數(shù)字化整規(guī)則,1、本書約定不確定度只保留1位。 相對不確定度12位。 尾數(shù)采用 四舍 六入 五湊偶 如：1.4=1，2.6=3，1.5=2，2.5=2,1.5 有效數(shù)字及其運算,1.5 有效數(shù)字及其運算,實驗中如何確定數(shù)據(jù)的有效位數(shù)？

16、在實驗中我們所得的測量結(jié)果都是可能含有誤差的數(shù)值，對這些數(shù)值不能任意取舍，應(yīng)反映出測量值的準確度。所以在記錄數(shù)據(jù)、計算以及書寫測量結(jié)果時，應(yīng)根據(jù)測量誤差或?qū)嶒灲Y(jié)果的不確定度來定出究竟應(yīng)取幾位有效位數(shù)。,直接測量量（原始數(shù)據(jù)）的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準確度,游標類器具（游標卡尺、分光計度盤、大氣壓計等）一般讀至游標最小分度的整數(shù)倍，即不需估讀。,1.5 有效數(shù)字及其運算,數(shù)顯儀表及有十進步式標度盤的儀表（電阻箱、電橋、電位差計、數(shù)字電壓表等）一般應(yīng)直接讀取儀表的示值。,1.5 有效數(shù)字及其運算,直接測量量（原始數(shù)據(jù)）的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準確度,指針式儀表及其它器具，讀數(shù)時估讀到儀器最小分度的1/21/1

17、0，或使估讀間隔不大于儀器基本誤差限的1/51/3。,1.5 有效數(shù)字及其運算,直接測量量（原始數(shù)據(jù)）的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準確度,注意指針指在整刻度線上時讀數(shù)的有效位數(shù)。,1.5 有效數(shù)字及其運算,直接測量量（原始數(shù)據(jù)）的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準確度,1.6 常用的數(shù)據(jù)處理方法,列表法 作圖法 數(shù)學方法（逐差法、最小二乘法等）,一、列表法 列表法是將實驗上得到的數(shù)據(jù)按一定的規(guī)律列成表格。 優(yōu)點：能使物理量之間對應(yīng)關(guān)系清晰明了，有助于發(fā)現(xiàn)實驗中的規(guī)律，也有易于發(fā)現(xiàn)實驗中的差錯，列表法又是其他數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)應(yīng)當熟練掌握。,1.6 常用的數(shù)據(jù)處理方法,列表要求：,（1） 各欄目（縱及橫）均應(yīng)標明名稱和單位。

18、 （2 ）原始數(shù)據(jù)應(yīng)列入表中，計算過程中的一些中間結(jié)果和最后結(jié)果也可列入表中。 （3 ）欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計算的程序，力求簡明、齊全、有條理。 （4 ）若是函數(shù)關(guān)系測量的數(shù)據(jù)表，應(yīng)按自變量由小到大（或由大到小）的順序排列。 （5 ）必要時附加說明,一、列表法,作圖法可形象、直觀地顯示出物理量之間的函數(shù)關(guān)系，也可用來求某些物理參數(shù)，因此它是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法。作圖時要先整理出數(shù)據(jù)表格，并要用坐標紙作圖。,1.選擇合適的坐標分度值，確定坐標紙的大小 坐標分度值的選取應(yīng)能基本反映測量值的準確度或精密度。 根據(jù)表數(shù)據(jù)U 軸可選1mm對應(yīng)于0.10V，I 軸可選1mm對應(yīng)于0.20mA，并可定坐標紙的大小（略大于坐標范圍、數(shù)據(jù)范圍） 約為130mm130mm。,作圖步驟：實驗數(shù)據(jù)列表如下： 表1：伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù),二、作圖法,1.6 常用的數(shù)據(jù)處理方法,2. 標明坐標軸： 用粗實線畫坐標軸，用箭頭標軸方向，標坐標軸的名稱或符號、單位,再按順序標出坐標軸整分格