三高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù).ppt

1、,第三節(jié),二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,一、高階導(dǎo)數(shù)的概念,高階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)及由參數(shù)方程,所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù),三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),四、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、高階導(dǎo)數(shù)的概念,速度,即,加速度,即,引例：變速直線運(yùn)動(dòng),定義.,若函數(shù),的導(dǎo)數(shù),可導(dǎo),或,即,或,類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,或,的二階導(dǎo)數(shù) ,記作,的導(dǎo)數(shù)為,依次類推 ,分別記作,則稱,設(shè),求,解:,依次類推 ,例1.,設(shè),問,可得,例2.設(shè),求,解:,特別有:,解:,規(guī)定 0 ! = 1,思考:,例3. 設(shè),求,例4. 設(shè),求,解:,一般地 ,類似可證:,二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,都有 n

2、階導(dǎo)數(shù) , 則,(C為常數(shù)),萊布尼茲(Leibniz) 公式,用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式成立 .,例5.,求,解: 設(shè),則,由萊布尼茲公式 , 得,例6.,解:,解:,例7.,解:,設(shè),求,其中 f 二階可導(dǎo).,例8.,三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若由方程,可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由,表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .,例如,可確定顯函數(shù),可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .,函數(shù)為隱函數(shù) .,則稱此,隱函數(shù)求導(dǎo)方法:,兩邊對(duì) x 求導(dǎo),(含導(dǎo)數(shù) 的方程),例9. 求由方程,在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù),解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo),得,因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故,確定的隱函

3、數(shù),例10.求橢圓,在點(diǎn),處的切線方程.,解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo),故切線方程為,即,例11. 求由方程,的二階導(dǎo)數(shù),解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得,故,確定的隱函數(shù),上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，得,例12. 求,的導(dǎo)數(shù) .,解: 原式兩邊取對(duì)數(shù) , 得,上式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得,注：有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便.,例如,上式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),上式兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo),又如,上式兩邊對(duì) x 求導(dǎo),上式兩邊取對(duì)數(shù),四、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若參數(shù)方程,可確定一個(gè) y 與 x之間的,可導(dǎo), 且,時(shí), 有,函數(shù)關(guān)系,若上述參數(shù)方程中,二階可導(dǎo),且,則由它確定的函數(shù),可求二階導(dǎo)數(shù) .,利用新的參數(shù)方程,可得,?,例13.設(shè), 且,求,已知,解:,注意 :,例14.設(shè)由方程,確定函數(shù),求,解: 各方程兩邊對(duì) t 求導(dǎo) , 得,故,即,例15. 拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為,求拋射體在時(shí)刻 t 的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量為,垂直分量為,故拋射體速度大小,再求速度方向,(即軌跡的切線方向):,設(shè) 為切線傾角,則,拋射體軌跡的參數(shù)方程,速度的水平分量,