基本不等式-均值不等式 PPT課件(人教版必修5)

1、新課標(biāo)人教版課件系列,高中數(shù)學(xué) 必修5,3.4.1基本不等式-均值不等式,教學(xué)目標(biāo),推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理；利用均值定理求極值。了解均值不等式在證明不等式中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。 教學(xué)重點(diǎn)： 推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理；利用均值定理求極值。了解均值不等式在證明不等式中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。,證明：,1指出定理適用范圍：,2強(qiáng)調(diào)取“=”的條件：,定理：,如果a, bR+，那么,證明：,即：,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),均值定理：,注意：1適用的范圍：a, b 為非負(fù)數(shù).,2語(yǔ)言表述：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。,看做正數(shù)a，b的

2、等比中項(xiàng)，,那么上面不等式可以敘述為：,兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)。,還有沒(méi)有其它的證明方法證明上面的基本不等式呢?,幾何直觀解釋：,令正數(shù)a，b為兩條線段的長(zhǎng)，用幾何作圖的方法，作出長(zhǎng)度為 和 的兩條線段，然后比較這兩條線段的長(zhǎng)。,具體作圖如下：,（1）作線段AB=a+b，使AD=a，DB=b,（2）以AB為直徑作半圓O；,（3）過(guò)D點(diǎn)作CDAB于D，交半圓于點(diǎn)C,（4）連接AC，BC，CA，則,當(dāng)ab時(shí)，OCCD，即,當(dāng)a=b時(shí)，OC=CD，即,例1已知ab0，求證： ，并推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件。,證明：因?yàn)閍b0，所以 ， 根據(jù)均值不等式得,即,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即a2=b2時(shí)

3、式中等號(hào)成立，,因?yàn)閍b0，即a，b同號(hào)，所以式中等號(hào)成立的條件是a=b.,例2（1）一個(gè)矩形的面積為100m2，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？ （2）已知矩形的周長(zhǎng)是36m，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？,分析：在（1）中，矩形的長(zhǎng)與寬的乘積是一個(gè)常數(shù)，求長(zhǎng)與寬的和的2倍的最小值； 在（2）中，矩形的長(zhǎng)與寬的和的2倍是一個(gè)常數(shù)，求長(zhǎng)與寬的乘積的最大值。,解：（1）設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為x(m)，y(m)，依題意有xy=100(m2)，,因?yàn)閤0，y0，所以，,因此，即2(x+y)40。,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，式中等號(hào)成立， 此時(shí)x=y

4、=10。,因此，當(dāng)這個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬都是10m時(shí)，它的周長(zhǎng)最短，最短周長(zhǎng)是40m.,（2）設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為x(m)，y(m)， 依題意有2(x+y)=36，即x+y=18，,因?yàn)閤0，y0，所以，,因此,將這個(gè)正值不等式的兩邊平方，得xy81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，式中等號(hào)成立， 此時(shí)x=y=9，,因此，當(dāng)這個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬都是9m時(shí)，它的面積最大，最大值是81m2。,規(guī)律：,兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；,兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值。,例3求函數(shù) 的最大值，及此時(shí)x的值。,解： ，因?yàn)閤0，,所以,得,因此f(x),當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，式中等號(hào)成立。,由于x0，所以 ，式中等號(hào)成立，,因此 ，此時(shí) 。,下面幾道題的解答可能有錯(cuò)，如果錯(cuò)了，那么錯(cuò)在哪里？,已知函數(shù) ，求函數(shù)的最小值和此時(shí)x的取值,運(yùn)用均值不等式的過(guò)程中，忽略了“正數(shù)”這個(gè)條件,已知函數(shù)， 求函數(shù)的最小值,用均值不等式求最值，必須滿足“定值”這個(gè)條件,用均值不等式求最值,必須注意 “相等” 的條件. 如果取等的條件不成立,則不能取到該最值.,1.已知x0, y0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并說(shuō)明此時(shí)x,y的值,4 已知x0,y0,且x+2y=1,求 的