同濟大學高等數(shù)學第六版第七章第八節(jié)常系數(shù)非齊次線性微分方程

1、.,常系數(shù)非齊次線性微分方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第 八節(jié),一、,二、,第七章,.,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :,根據(jù)解的結構定理 , 其通解為,求特解的方法,根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù) ., 待定系數(shù)法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,一、, 為實數(shù) ,設特解為,其中 為待定多項式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,則取,從而得到特解,形式為,為 m 次多項式 .,Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,(2) 若 是特征方程的單根 ,為m 次多項式,故

2、特解形式為,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多項式,故特解形式為,小結,對方程,此結論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,即,即,當 是特征方程的 k 重根 時,可設,特解,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,特別地,.,例1.,的一個特解.,解: 本題,而特征方程為,不是特征方程的根 .,設所求特解為,代入方程 :,比較系數(shù), 得,于是所求特解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,例2.,的通解.,解: 本題,特征方程為,其根為,對應齊次方程的通解為,設非齊次方程特解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程得,所求通解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,解,對應齊

3、次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解為,例1,.,例3. 求解定解問題,解: 本題,特征方程為,其根為,設非齊次方程特解為,代入方程得,故,故對應齊次方程通解為,原方程通解為,由初始條件得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,于是所求解為,解得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,二、,第二步 求出如下兩個方程的特解,分析思路:,第一步 將 f (x) 轉化為,第三步 利用疊加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,第一步,利用歐拉公式將 f (x) 變形,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,第二步 求如下兩方

4、程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式兩邊取共軛 :,為方程 的特解 .,設,則 有,特解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,第三步 求原方程的特解,利用第二步的結果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :,原方程,均為 m 次多項式 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,第四步 分析,因,均為 m 次實,多項式 .,本質上為實函數(shù) ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,小 結:,對非齊次方程,則可設特解:,其中,為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述結論也可推廣到高階方程的情形.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,解,對應齊方通解

5、,作輔助方程,代入上式,所求非齊方程特解為,原方程通解為,（取虛部）,例2,.,例4.,的一個特解 .,解: 本題,特征方程,故設特解為,不是特征方程的根,代入方程得,比較系數(shù) , 得,于是求得一個特解,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,例5.,的通解.,解:,特征方程為,其根為,對應齊次方程的通解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程:,所求通解為,為特征方程的單根 ,因此設非齊次方程特解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,例6.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以設非齊次方程特解為,(2) 特征方程,有根,利用疊加原理 , 可設非齊次方程特解為,求下列高階常系數(shù)線性非齊

6、次方程的特解形式:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,例7.,求物體的運動規(guī)律.,解: 問題歸結為求解無阻尼強迫振動方程,當p k 時,齊次通解:,非齊次特解形式:,因此原方程之解為,第七節(jié)例1 (P323)中若設物體只受彈性恢復力 f,和鉛直干擾力,代入可得:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,當干擾力的角頻率 p 固有頻率 k 時,自由振動,強迫振動,當 p = k 時,非齊次特解形式:,代入可得:,方程的解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,若要利用共振現(xiàn)象, 應使 p 與 k 盡量靠近, 或使,隨著 t 的增大 , 強迫振動的振幅,這時產(chǎn)生共振現(xiàn)象 .,可無限增大,

7、若要避免共振現(xiàn)象, 應使 p 遠離固有頻率 k ;,p = k .,自由振動,強迫振動,對機械來說, 共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機機座被破壞等,但對電磁振蕩來說,共振可能起有,利作用,如收音機的調(diào)頻放大即是利用共振原理.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,內(nèi)容小結, 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,則設特解為,為特征方程的 k (0, 1 )重根,則設特解為,3. 上述結論也可推廣到高階方程的情形.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,思考與練習,時可設特解為,時可設特解為,提示:,1 . (填空) 設,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,2. 求微分方程,的通解 (其中,為實數(shù) ) .,解: 特征方程,特征根:,對應齊次方程通解:,時,代入原方程得,故原方程通解為,時,代入原方程得,故原方程通解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,3. 已知二階常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 將特解代入方程得恒等式,比較系數(shù)得,故原方程為,對應齊次方程通解