經(jīng)濟學博弈論

1、1,合肥學院 章 蕾,附錄三博弈論,2,合肥學院 章 蕾,博弈論用來分析所觀察到的決策主體相互影響時的現(xiàn)象，在給定的條件下尋求最優(yōu)的解決辦法。本章主要介紹非合作博弈，非合作博弈可分成四種情況：完全信息靜態(tài)博弈、完全信息動態(tài)博弈、不完全信息靜態(tài)博弈和不完全信息動態(tài)博弈。本章分析的重點在完全信息靜態(tài)博弈和完全信息動態(tài)博弈，分別給出納什均衡和子博弈精煉納什均衡的詳細講解。,3,合肥學院 章 蕾,第一節(jié)博弈論概述,博弈論：用來分析所觀察到的決策主體相互影響時的現(xiàn)象，在給定的條件下尋求最優(yōu)的解決辦法。,一、博弈論的發(fā)展,20世紀40年代博弈論思想體系初步建立，經(jīng)過50年代的理論發(fā)展，博弈論在60年代逐步

2、走向成熟。20世紀70年代中后期以后，隨著博弈論在經(jīng)濟分析領域內(nèi)的廣泛和成功應用，博弈論也逐步進入主流經(jīng)濟學的體系。,4,合肥學院 章 蕾,博弈論的發(fā)展 1944年，由馮諾依曼和摩根斯坦恩合著的博弈論和經(jīng)濟行為一書的出版標志著現(xiàn)代博弈論作為一種系統(tǒng)理論的創(chuàng)立。 20世紀50年代，納什創(chuàng)立了公理化的討價還價理論，證明納什討價還價解的存在性，逐漸形成了以納什非合作博弈理論為核心的現(xiàn)代博弈論體系。20世紀60年代以后，澤爾滕在納什的研究基礎上引入動態(tài)分析，海薩尼則把不完全信息引入到博弈論中。 20世紀70年代以后，經(jīng)濟學家開始強調(diào)個人理性。,5,合肥學院 章 蕾,博弈論與主流經(jīng)濟學 博弈論進入主流經(jīng)

3、濟學，反映了經(jīng)濟學發(fā)展的以下幾個趨勢：經(jīng)濟學研究的對象越來越轉向個體，放棄了一些沒有微觀基礎的假定；經(jīng)濟學越來越轉向人與人之間競爭與合作的研究，特別是經(jīng)濟學注意到理性人的個人理性行為可能導致的集體非理性；經(jīng)濟學越來越重視對信息的研究。 博弈可以劃分為合作博弈和非合作博弈。合作博弈與非合作博弈之間的區(qū)別主要在于人們的行為相互作用時，當事人能否達成一個具有約束力的協(xié)議。如果能，就是合作博弈；反之，則是非合作博弈。,6,合肥學院 章 蕾,二、博弈分析舉例,沙灘上的飲料銷售商 為了爭取更多的游客，兩家銷售商的銷售位置又會開始向中點移動，最終都將銷售位置定在了中點處。,7,合肥學院 章 蕾,擲幣游戲 A

4、、B兩個小孩玩擲幣游戲，兩人各拿出一枚硬幣拋擲在地面上，要么正面朝上，要么反面朝上。 都同為正面或反面朝上，A贏得B一枚硬幣； 一正面一反面朝上，A輸給B一枚硬幣。 這個例子中，兩個小孩各自得到的結果（贏得一枚硬幣或者輸?shù)粢幻队矌牛?，不僅取決于自己擲幣的后果，也取決于對手擲幣的后果，雙方?jīng)Q策的互相影響構成博弈。 在這個博弈中，一方所得正是其他方所失，這種博弈稱為零和博弈。,8,合肥學院 章 蕾,囚徒困境 囚徒困境講的是兩個嫌疑犯作案后被警察抓住，分別被關在不同的屋子里審訊。表10-1給出了囚徒困境模型的表述。每個囚徒都有兩種選擇：坦白或抵賴。表中每一格的兩個數(shù)字代表對應兩個囚徒選擇組合下各自的

5、刑期。,9,合肥學院 章 蕾,三、博弈的要素,博弈的要素包括參與人、行動、信息、策略、支付、結果和均衡，其中，參與人、策略和支付是描述一個博弈所需要的最基本的要素，參與人、行動和結果統(tǒng)稱為博弈規(guī)則。 參與人：指一個博弈中的決策主體在囚徒困境模型中，有兩個參與人，即“囚徒A”和“囚徒B”。 行動：是參與人在博弈的某個時點的決策變量。在囚徒困境模型中，囚徒A、B都只有兩種行動可供選擇，即“坦白”和“抵賴”。,10,合肥學院 章 蕾,信息是參與人在博弈中的知識，特別是有關其他參與人（對手）的特征和行動的知識。在囚徒困境模型中，兩囚徒的信息是都知道自己和另一囚徒在選擇坦白和抵賴的不同組合時面對的處罰。

6、 策略：是參與人在擁有既定信息情況下的行動規(guī)則，它規(guī)定參與人在什么時候選擇什么行動。一個參與人的所有可選擇的策略的集合就是這個參與人的策略空間。如果每個參與人選擇一個策略，就構成一個策略組合。 支付：在博弈論中指一個特定策略組合下參與人得到的確定效用水平，或者是指參與人得到的期望效用,11,合肥學院 章 蕾,水平。支付是博弈參與人真正關心的東西。在一個策略組合下，所有參與者的支付就構成了一個支付組合。在囚徒困境模型中，如果兩囚徒的策略組合為（抵賴，坦白），那么囚徒A的支付為-10，囚徒B的支付為0，兩囚徒的支付組合為（-10，0）；如果兩囚徒的策略組合為（坦白，坦白），那么囚徒A和囚徒B的支付

7、均為-8，兩囚徒的支付組合為（-8，-8）。 結果：是博弈分析者感興趣的所有東西，如均衡策略組合、均衡支付組合等。 均衡：是所有參與人的最優(yōu)策略的組合。,12,合肥學院 章 蕾,四、博弈的分類,13,合肥學院 章 蕾,第二節(jié)完全信息靜態(tài)博弈,每一個參與人對所有其他參與人（對手）的特征、策略空間及支付函數(shù)有準確的知識，而且博弈的參與人同時選擇行動或雖非同時但后行動者并不知道前行動者采取了什么具體行動，這種情況下參與人的決策就是完全信息靜態(tài)博弈。 納什對非合作博弈的主要貢獻是在一般的意義上定義了非合作博弈及其均衡解，并證明了均衡解的存在，這一均衡就被稱為“納什均衡”。,14,合肥學院 章 蕾,博弈

8、可以采用兩種不同的方式來表述，一種是策略式表述，一種是擴展式表述。從理論上講，這兩種表述形式幾乎是完全等價的，但策略式表述更適合于分析靜態(tài)博弈，擴展式表述更適合于分析動態(tài)博弈。,一、博弈的策略式表述,策略式表述 n個參與人；說明每個參與人都有哪些策略；每個參與人都選定一種策略時，每個參與人的支付水平（獲得的效用）是多少。根據(jù)上面給出的三要素，策略式表述的博弈就是：,15,合肥學院 章 蕾,在雙頭壟斷的產(chǎn)量博弈中，兩個寡頭廠商A、B是參與人，兩者的產(chǎn)量qA、qB的范圍是其策略空間，獲得利潤A、B是其支付，策略式表述的博弈可寫為：,16,合肥學院 章 蕾,策略式表述的博弈舉例 在擲幣游戲中，每個參

9、與人的支付直接用其贏得或輸?shù)舻挠矌艛?shù)量來表示：贏得一枚硬幣的支付為1，輸?shù)粢幻队矌诺闹Ц稙?1。擲幣游戲的支付矩陣見表10-3所示。,17,合肥學院 章 蕾,再如下面的斗雞博弈。試想有兩只公雞遇到一起，每只公雞有兩個行動選擇：一是進攻，一是撤退。如果一只公雞撤退，一只公雞進攻，則進攻的公雞獲得勝利，撤退的公雞很丟面子；如果兩只公雞都撤退則打個平手；如果兩只公雞都進攻，那么兩敗俱傷。設其支付矩陣見表10-4所示。,18,合肥學院 章 蕾,二、納什均衡,占優(yōu)策略均衡 不論其他參與人選擇什么策略，他的最優(yōu)策略是唯一的，這樣的最優(yōu)策略被稱為占優(yōu)策略。在 “囚徒困境”的例子中，每個囚徒都有兩種可選擇的策

10、略：坦白或抵賴。但是，不論另一囚徒選擇什么策略，每個囚徒的最優(yōu)策略是“坦白”。 所有參與人占優(yōu)策略的組合稱為占優(yōu)策略均衡。,19,合肥學院 章 蕾,重復剔除的占優(yōu)均衡 考慮“智豬博弈”例子。豬圈里圍著兩頭豬，一頭大豬，一頭小豬。豬圈的一頭有一個豬槽，另一頭安裝了一個按鈕，控制著豬食的供應。按下一按鈕會有8個單位的豬食進槽，但按下按鈕的豬需要付出2個單位的成本。若大豬先到，大豬吃到7個單位，小豬只能吃1個單位；若同時到，大豬吃5個單位，小豬吃3個單位；若小豬先到，大豬和小豬各吃4個單位。表10-5的表列出對應不同策略組合的支付水平，如第一格表示兩頭豬同時按下按鈕，就會同時走到豬食槽，大豬吃5個單

11、位，小豬吃3個，扣除2個單位的成本，支付水平分別為3和1。,20,合肥學院 章 蕾,21,合肥學院 章 蕾,納什均衡 如果重復剔除劣策略后剩下的策略組合是唯一的，那么該博弈才是重復剔除占優(yōu)可解的。但很多博弈是無法使用重復剔除劣策略的方法找到均衡解的。例如性別之戰(zhàn)的例子。一男一女談戀愛，周末安排業(yè)余活動，要么看足球,比賽，要么看舞蹈演出。男的愛好足球，女的更喜歡舞蹈，但他們寧愿在一起而不愿分開。支付矩陣見表10-6所示。,22,合肥學院 章 蕾,一個參與人的納什均衡策略是面對其他參與人的均衡策略時的最優(yōu)選擇。在囚徒困境中，（坦白，坦白）是一個納什均衡，而（抵賴，抵賴）不是一個納什均衡，因為給定同

12、伙選擇抵賴，自己選擇抵賴時得到-3，選擇坦白時得到0，因而抵賴不是自己的最優(yōu)策略；同樣，（坦白，抵賴）和（抵賴，坦白）也不是納什均衡。在性別之戰(zhàn)中，（足球，足球）是一個納什均衡，因為一旦形成這個策略組合的結果，任何一方的偏離都會造成自己支付的減少，例如女的此時去看舞蹈將把自己的支付從2降到1；同樣，（舞蹈，舞蹈）也是一個納什均衡，其他策略組合都不是納什均衡。,23,合肥學院 章 蕾,尋求納什均衡 首先考慮A的策略，對于B的每一個給定策略，找出A的最優(yōu)策略，在其對應的支付下劃一橫線，再用類似的方法找出B的最優(yōu)策略。完成這個過程后，如果某個支付組合的兩個數(shù)字下都有線，這個支付組合所對應的策略組合就

13、是一個納什均衡。,24,合肥學院 章 蕾,通過對納什均衡與占優(yōu)策略均衡以及重復剔除的占優(yōu)均衡的分析，可知它們之間的關系如下：每一個占優(yōu)策略均衡、重復剔除的占優(yōu)均衡一定是納什均衡，但并非每一個納什均衡都是占優(yōu)策略均衡或重復剔除的占優(yōu)均衡。 這是因為，一個參與人的占優(yōu)策略是對于所有其他參與人的任何策略組合的最優(yōu)選擇，自然也一定是對于所有其他參與人的某個特定策略的最優(yōu)選擇；而一個參與人的納什均衡策略只要求是對于其他參與人均衡策略（這是一個或幾個特定策略）的最優(yōu)選擇。所以說，占優(yōu)策略均衡和重復剔除的占優(yōu)均衡是特殊的納什均衡，它們所要求的條件比納什均衡的條件要嚴格。,25,合肥學院 章 蕾,三、納什均衡

14、與寡頭壟斷市場,庫諾特模型與納什均衡 用QA、QB分別表示廠商A和廠商B的產(chǎn)量；CA(QA)和CB(QB) 表示兩者的成本函數(shù)； PP(QAQB) 表示需求函數(shù)的逆函數(shù)，其中P是價格。廠商A和廠商B的利潤函數(shù)分別為：,26,合肥學院 章 蕾,對每個廠商的利潤函數(shù)求一階偏導數(shù)并令其等于零，整理可得：,反應函數(shù)意味著每個廠商的最優(yōu)策略（產(chǎn)量）是另一個廠商的策略（產(chǎn)量）的函數(shù)，兩個反應函數(shù)的交叉點（即兩個方程的解）就是納什均衡：,27,合肥學院 章 蕾,伯川德模型與納什均衡 伯川德模型中，由于產(chǎn)品是相同的，消費者將只會從價格最低的廠商那里購買。因此，價格較低的廠商將供應整個市場。如果兩個廠商定價相同

15、，則消費者對于從哪個廠商購買不會在意，假定此時兩個廠商各占供給市場的一半。在這種情況下的納什均衡就是競爭均衡，即兩個廠商都制定的價格將等于邊際成本，都只賺到零利潤。 為了驗證這是一個納什均衡，應指出此時兩個廠商都沒有改變價格的沖動。這時，廠商沒有改變價格的沖動，但已經(jīng)是在給定對方選擇的情況下所做的最好的選擇。,28,合肥學院 章 蕾,第三節(jié)完全信息動態(tài)博弈,一、博弈的擴展式表述,擴展式表述與博弈樹 擴展式表述要給出每個參與人的動態(tài)描述，即參與人在什么時點、什么情況下選擇什么樣的行動。,當一個人行動在前，而一個人行動在后時，后者自然會根據(jù)前者的選擇進行策略的調(diào)整，前者也能理性地預期到這一點，并考

16、慮這一影響。此時，就進入了動態(tài)博弈的分析。,29,合肥學院 章 蕾,具體來說，擴展式表述包括五個要素。 參與人集合； 參與人的行動順序：哪個參與者在什么時候行動； 參與人的行動空間：在每次行動時參與人所有可供選擇的行動； 參與人的信息集合：在每次行動時參與人所知道的有關對手行動選擇的信息； 參與人的支付函數(shù)：在行動結束后每個參與人得到的支付，它是所有行動的函數(shù)。,30,合肥學院 章 蕾,如同用支付矩陣描述策略式表述一樣，擴展式表述可以借用博弈樹來描述。如圖10-2所示，有兩個參與者A和B進行博弈，第一個參與者A用“”來表示，有兩種策略：1或2。第二個參與者B用“”來表示，參與者A選擇1時，參與

17、者B有11或12兩種選擇；參與者A選擇2時，參與者B有21或22兩種選擇。(A11, B11)、(A12, B12)、(A21, B21)和(A22, B22) 表示兩個參與者選擇不同策略后的最終支付。這就是博弈樹的形式，當然，每個參與者的策略并不局限于兩種。,31,合肥學院 章 蕾,博弈樹的基本結構包括結、枝和信息集。結分為決策結和終點結兩類。決策結是參與人采取行動的時點，如圖,，如圖10-2中的四個支付組合。,10-2中的“”和“”三個決策結；終點結是博弈行動路徑的終點，如圖10-2中的四個支付組合枝是從一個決策結到下一個后續(xù)結的連線，如圖10-2中的六個箭頭“”，它表示參與人的行動選擇。

18、,32,合肥學院 章 蕾,擴展式表述的博弈舉例 看下面這個市場銷售的博弈。某銷售者在市場上推銷某種商品，其行動空間是高價，低價。當銷售者選擇,“高價”時，購買者有多購和少購兩種選擇，但少購能得到更多支付（因為這樣可以通過購買更多其他商品來得到支付）；同樣，當銷售者選擇“低價”時，購買者也有多購和少購兩種選擇。,33,合肥學院 章 蕾,二、子博弈精煉納什均衡,如果采用參與者同時行動的靜態(tài)博弈分析方法分析動態(tài)博弈，得到的納什均衡中就會存在不合理的均衡策略。澤爾騰通過對動態(tài)博弈的分析完善了納什均衡的概念，定義了“子博弈精煉納什均衡”。,納什均衡與不可置信威脅 仍以市場銷售的博弈為例。為了構造這個動態(tài)

19、博弈的策略式表述，先來分析銷售者和購買者的策略空間。,34,合肥學院 章 蕾,銷售者先行動，有兩種策略：高價和低價。購買者后行動，根據(jù)銷售者的行動，就有四種策略：高價時多購，低價時少購；高價時多購，低價時多購；高價時少購，低價時少購；高價時少購，低價時多購。將這四種策略分別簡記為：高多低少；高多低多；高少低少；高少低多。,35,合肥學院 章 蕾,表10-8對市場銷售的博弈分析使用的是靜態(tài)分析方法，得到三個納什均衡：(高價，高少低少)；(低價，高多低多)；(低價，高少低多)。但究竟哪一個均衡實際上會發(fā)生，靜態(tài)分析難以確定。更嚴重的是，在納什均衡中，參與人在選擇自己的策略時，把其他參與人的策略當作

20、是給定的，同時也不考慮自己的選擇如何影響對手。所以說，納什均衡允許了“不可置信威脅”的存在。不可置信威脅是指，對于先行動的參與人來說，后行動的參與人的選擇空間依賴于先行動者的選擇，在先行動者已做出行動選擇的前提下，有一些對先行動者不利的策略將不會被后行動者選擇，即這些策略是不可置信的。,36,合肥學院 章 蕾,例如，對于策略組合（高價，高少低少）來說，意味著不管銷售者采取高價策略還是低價策略，購買者將始終會少購，在這個策略威脅下，銷售者就不會采取低價策略，否則得到的支付為0。銷售者并不會相信這個威脅。在銷售者真的選擇低價時，如果購買者是理性的就會選擇多購：少購得到的支付是3，多購卻是8?？梢?，

21、納什均衡（高價，高少低少）就是不可置信的。,子博弈的概念 子博弈：指從每一個行動選擇（即一個決策結）開始至博弈結束這一階段的行動過程，是原博弈的一部分。,37,合肥學院 章 蕾,市場銷售博弈的博弈樹如圖10-4的圖所示；決策點x和它的后續(xù)點構成一個子博弈，如圖10-4的圖所示；決策點y和它的后續(xù)點也構成一個子博弈，如圖10-4的圖所示。另外，原博弈自身也是自己的一個子博弈。這樣，市場銷售博弈共有三個子博弈。,38,合肥學院 章 蕾,子博弈精煉納什均衡 澤爾騰定義的子博弈精煉納什均衡是納什均衡的一個重要改進，分開了動態(tài)博弈中的“合理的納什均衡”和“不合理的納什均衡”。正如納什均衡是完全信息靜態(tài)博

22、弈解的一般概念一樣，子博弈精煉納什均衡是完全信息動態(tài)博弈解的一般概念。 子博弈精煉納什均衡定義如下：如果一個擴展式表述的策略組合是其原博弈的納什均衡，又給出其每一個子博弈上的納什均衡，那么它就是一個子博弈精煉納什均衡。,39,合肥學院 章 蕾,仍以市場銷售博弈為例。在子博弈a中，購買者的最優(yōu)選擇“少購”，在子博弈b中，購買者的最優(yōu)選擇“多購”。納什均衡（高價，高少低少）中購買者的均衡戰(zhàn)略“高少低少”，給出了子博弈a上的納什均衡（少購），卻沒有給出子博弈b上的納什均衡，所以（高價，高少低少）不是子博弈精煉納什均衡。同樣，（低價，高多低多）也不是子博弈精煉納什均衡。而對于納什均衡（低價，高少低多）

23、中購買者的均衡戰(zhàn)略“高少低多”來說，既給出子博弈a上的納什均衡也給出了子博弈b上的納什均衡（即高價時將少購，低價時將多購），所以（低價，高少低多）才是子博弈精煉納什均衡。,40,合肥學院 章 蕾,逆向歸納法求解子博弈精煉納什均衡 用逆向歸納法求解市場銷售博弈的中子博弈精煉納什均衡如下。,41,合肥學院 章 蕾,承諾與子博弈精煉納什均衡 承諾行動：指當事人在不施行這種不可置信的威脅時就會付出更大的代價，盡管這一代價不一定發(fā)生，但承諾行動會給當事人帶來很大的好處，因為它可以改變均衡結,果。在上面的例子中，子博弈精煉納什均衡的策略組合是（進入，合作），即企業(yè)B進入、企業(yè)A合作。但是，如果企業(yè)A通過某

24、種承諾行動使自己的“不合作”威脅變得可置信，企業(yè)B就不敢進入了。,42,合肥學院 章 蕾,三、重復博弈,重復博弈：是指同樣結構的博弈重復多次。如果博弈只是進行了一次，參與人只會關心一次性支付；但如果博弈重復進行，參與人可能會為長期利益暫時犧牲眼前利益從而選擇不同的策略。,重復博弈的基本思想 在重復博弈理論背后的主要思想是：如果每個囚徒都相信做出“抵賴”的選擇在長期內(nèi)得到的利益將超過他短期內(nèi)的損失，那么博弈被重復進行時，他們共同想要的結果（抵賴，抵賴）將會出現(xiàn)。,43,合肥學院 章 蕾,連鎖店悖論 假設同樣的市場有20個（可以理解企業(yè)A有20個連鎖店），企業(yè)B每次只能進入一個市場（連鎖店），這就

25、成為了20次重復博弈。在這個博弈中，企業(yè)A選擇“不合作”的唯一原因是這一選擇能夠起到威懾作用，使企業(yè)B不敢進入。然而，結果會是這樣嗎？ 在有限次（這里是20次）重復博弈中，“不合作”是不可置信的。設想前19個市場已被企業(yè)B進入，企業(yè)B下一步要進入第20個市場。因為這是最后一個市場，對于企業(yè)A而言，這與第一次博弈沒什么區(qū)別，選擇“合作”是最優(yōu)策略，企業(yè)B自然選擇進入。,44,合肥學院 章 蕾,四、子博弈精煉納什均衡與寡頭壟斷市場,斯坦克爾伯格提出了描述寡頭壟斷市場的斯坦克爾伯格模型，這是一個完全信息動態(tài)博弈的例子。在這個模型中，有兩個參與人：一個主導廠商A和一個追隨廠商B；行動順序是：主導廠商A

26、首先確定產(chǎn)量QA，追隨廠商B觀察到廠商A的選擇后再確定自己的產(chǎn)量QB。各廠商的行動空間都是自己的產(chǎn)量，支付為各自的利潤函數(shù)。 用QA、QB分別表示廠商A和廠商B的產(chǎn)量；CA(QA)和CB(QB) 表示兩者的成本函數(shù)； PP(QAQB) 表示需求函數(shù)的逆函數(shù)，其中P是價格。,45,合肥學院 章 蕾,廠商A和廠商B的利潤函數(shù)分別為：,首先來計算廠商B對廠商A可能的選擇所作出的反應，即求廠商B的反應函數(shù)。廠商B達到支付（即利潤）最大時，有：,46,合肥學院 章 蕾,由此得到廠商B對廠商A的反應函數(shù)：,將上式代入到廠商A的利潤函數(shù)中：,求一階導數(shù)并令其等于零：,可得到廠商A的均衡產(chǎn)量，代入廠商B對廠商A的反應函數(shù)，可得到廠商B的均衡產(chǎn)量。,47,合肥學院 章 蕾,第四節(jié)不完全信息博弈,一、海薩尼轉換,不完全信息博弈以前被認為是沒有辦法分析的，直到海薩尼引入一個虛擬的參與人，將不確定性條件下的選擇轉換為風險條件下的選擇。,不完全信息的博弈又稱貝葉斯博弈。不完全信息博弈中，至少有一個參與人不知道其他參與人的支付函數(shù)。,48,合肥學院 章 蕾,不完全信息的市場進入博弈 來看市場進入博弈例子。企業(yè)A是在位者，企業(yè)B是潛在進入者。對企業(yè)B來說，不知道企業(yè)A的成本情況，也不知道企業(yè)A是否采取合作策略。假定企業(yè)A的成本可