學(xué)生教我巧解“濃度”問題_

1、學(xué)生教我巧解“濃度”問題_在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,我們經(jīng)常會(huì)教學(xué)到濃度問題,這部分內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題后教學(xué)的。它主要涉及溶劑、溶質(zhì)、溶液三者之間的關(guān)系,是對(duì)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題很好的補(bǔ)充,這類問題中出現(xiàn)比較多的是兩種不同濃度的溶液混合,求其中一種溶液的量或濃度。在這學(xué)期教學(xué)濃度問題時(shí),出現(xiàn)了令我意想不到的情況。一、奇妙的猜想教學(xué)時(shí),我先出示了一道作業(yè)題(相關(guān)例題前一節(jié)課已教)。有甲、乙兩種硫酸,甲種濃度是90%,乙種濃度是60%,現(xiàn)在要配制成濃度為70%的硫酸300克,每種硫酸各取多少克?按照習(xí)慣的解法,我們總是把取出的其中一種濃度的硫酸設(shè)為未知數(shù)x,另一種濃度的硫酸為300-x,根

2、據(jù)溶質(zhì)相等列出方程90%x+60%(300-x)=70%300,通過解方程得到結(jié)果:甲種硫酸取出100克,乙種硫酸取出200克。但是一個(gè)平時(shí)總喜歡耍點(diǎn)小聰明的謝同學(xué)的一番回答讓課堂頓時(shí)沉寂下來。謝同學(xué):老師,方程的解法太麻煩,我有更加簡(jiǎn)單的算法,得數(shù)和您的一樣。我一愣,方程解答應(yīng)該是最方便的解法,怎么還有其他更簡(jiǎn)便的解法?于是問他:你介紹一下你的解法。謝同學(xué):如果兩種硫酸的量相等,那么混合后的濃度一定是(60%+90%)2=75%。為什么啊?另一個(gè)學(xué)生調(diào)皮地問。謝同學(xué)笑著回答:他們的量相等,相當(dāng)于我們兩人你考試得了60分,我得了90分,那平均分一定是75分嘛。學(xué)生們都笑了,我也被他的事例和神態(tài)

3、逗笑了,示意他繼續(xù)說。謝同學(xué):現(xiàn)在的混合濃度是70%,說明是甲種硫酸的量少,乙種硫酸的量多。學(xué)生們都紛紛點(diǎn)頭。謝同學(xué):甲種濃度與混合濃度的差是90%-70%=20%,乙種濃度與混合濃度的差是70%-60%=10%,20%10%=21,把300克按21的比例分配就得甲種硫酸100克,乙種硫酸200克。我邊聽邊把算式寫在黑板上,得數(shù)真的和方程解的一樣,但這種算法我可是第一次見,一下子無法斷定對(duì)不對(duì),其余學(xué)生也都茫然地坐著,等我下結(jié)論?？粗浑p雙企盼的眼神,我想說對(duì)又不敢。正在我不知所措時(shí),另有一位學(xué)生說:老師,讓我們用這樣的方法再計(jì)算一道就可以知道對(duì)不對(duì)了。好辦法,于是我請(qǐng)學(xué)生們用謝同學(xué)的方法計(jì)算

4、第二道習(xí)題,結(jié)果發(fā)現(xiàn)得數(shù)和方程解的又是一樣的!這時(shí)有一位學(xué)生站起來:老師,如果這種方法正確,那么取出的兩種溶液數(shù)量比不就與這兩種溶液與混合溶液濃度差的比成反比嗎?二、探究發(fā)現(xiàn)對(duì)啊,我也發(fā)現(xiàn)了這條規(guī)律?？墒菙?shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?不能僅僅因?yàn)樵趦傻李}中適用就可以成為數(shù)學(xué)規(guī)律,這可能會(huì)發(fā)生不完全歸納的錯(cuò)誤。于是我把問題又拋給了學(xué)生:剛才你們有了一個(gè)偉大的猜想,可是要證明猜想是不是正確,光靠幾道題是不行的,大家能不能想辦法來證明一下?學(xué)生馬上陷入思索中,很快有學(xué)生提出:我覺得這個(gè)猜想是正確的,比如說1個(gè)男生得了80分,4個(gè)女生的平均分是85分,4個(gè)女生各取出1分給男生,可得5個(gè)學(xué)生的平均分是84分,這里的男女

5、生人數(shù)和他們與平均分的分差成反比例。對(duì)于他的想法,大家都表示贊同,可是要從數(shù)學(xué)的角度證明還是有問題。這時(shí)又有一位學(xué)生站起來:剛才他把濃度看成分?jǐn)?shù),那不如把濃度用一個(gè)字母來代替好了,反比例不正是用字母表示的嗎?如果ab=k(一定),a、b成反比例。這位同學(xué)的話給了大家很大的啟發(fā),于是以四人小組為單位紛紛開始演算,十分鐘后驚喜開始出現(xiàn),有一組學(xué)生給大家呈現(xiàn)以下的演算結(jié)果:設(shè)甲種硫酸量為a,乙種硫酸量為b,混合后的硫酸濃度為c,甲種硫酸與混合后硫酸的濃度差為a,乙種硫酸與混合后硫酸的濃度差為b。,也就是甲、乙兩種硫酸溶液量的比等于各自濃度與混合濃度的差的反比。三、幾點(diǎn)思考1.教師是教學(xué)活動(dòng)中的組織者

6、和引導(dǎo)者,學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主人。新課程強(qiáng)調(diào)以教促學(xué)。教的本質(zhì)在于引導(dǎo)。濃度問題是小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的題型,對(duì)于本課中提及的題目一些數(shù)學(xué)讀本中都是用方程來解決的。我也受數(shù)學(xué)讀本的影響,認(rèn)為方程是解決這類問題的唯一方法,從沒思考過其他的解法。但謝同學(xué)的發(fā)現(xiàn),另辟蹊徑,著實(shí)出乎我的意料。慶幸的是,我沒有否定他的算法,也沒有盲目地肯定,而是把球順利的踢回給了學(xué)生,引領(lǐng)著他們一步步的探求出真知。在這節(jié)課中學(xué)生的主體地位得到了充分的發(fā)揮,教師適時(shí)的引導(dǎo)、激情的鼓勵(lì)、真心的贊揚(yáng)給了學(xué)生在課上展示智慧的空間。2.探究應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要方法。任何一條數(shù)學(xué)性質(zhì)的形成都必須經(jīng)歷猜想探究驗(yàn)證的過程。填鴨式的教學(xué)讓學(xué)生被動(dòng)地

7、接受數(shù)學(xué)規(guī)律,這樣的教學(xué)學(xué)生獲得的都是機(jī)械的、無生命力的數(shù)學(xué)知識(shí)。新課程強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。本課中謝同學(xué)對(duì)自己的發(fā)現(xiàn)在理解上是膚淺的,只是把從平均數(shù)問題計(jì)算中發(fā)現(xiàn)的小竅門生搬硬套地應(yīng)用到濃度問題的計(jì)算中(當(dāng)然一個(gè)小學(xué)生能有這樣的能力已是相當(dāng)了不起了),而不知這樣算的原理。教師對(duì)于在課堂上出現(xiàn)的意外情況并沒有像很多教師一樣留作課后問題,而是以自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解帶領(lǐng)學(xué)生探尋原理,讓學(xué)生經(jīng)歷了一次數(shù)學(xué)模型建立的過程。從小處上說學(xué)生對(duì)這條數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解是深刻的,更重要的是學(xué)生親身經(jīng)歷了探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過程,這樣的數(shù)學(xué)課堂才具有真正的生命力。3.數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)是具有生活味和數(shù)學(xué)味的一門課程。數(shù)學(xué)于生活又應(yīng)用于生活,脫離生活的數(shù)學(xué)就像一潭死水,久之必然枯竭。數(shù)學(xué)課堂上的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)語(yǔ)言也應(yīng)貼近學(xué)生的生活實(shí)際,就如謝同學(xué)笑著回答:他們的量相等,相當(dāng)于我們兩人你考試得了60分,我得了90分,那平均分一定是75分嘛。恰如其分的