粘性流體力學(xué)第六章6-2

1、第六章 湍流基本理論,第一節(jié) 湍流的基本特征和統(tǒng)計(jì)平均方法 第二節(jié) 湍流連續(xù)方程和雷諾方程 第三節(jié) 湍流能量方程 第四節(jié) 雷諾平均統(tǒng)計(jì)模式 第五節(jié) 湍流的相關(guān)函數(shù)和譜分析 第六節(jié) 擬序結(jié)構(gòu) 第七節(jié) 湍流大渦數(shù)值模擬,1,第四節(jié) 雷諾平均統(tǒng)計(jì)模式,在雷諾方程中的不封閉量是雷諾應(yīng)力，因此統(tǒng)計(jì)模式的目標(biāo)是封閉雷諾平均方程，建立足夠的雷諾應(yīng)力方程組（代數(shù)的、微分的或一般泛函形式的）使得平均運(yùn)動(dòng)方程可解。 雷諾統(tǒng)計(jì)模式以大量的試驗(yàn)觀測(cè)為基礎(chǔ)，通過(guò)量綱分析、張量分析和其他手段，包含合理的推理和猜測(cè)，提出假設(shè)，建立模型，然后與試驗(yàn)對(duì)比，進(jìn)行進(jìn)一步的修正和精確化。迄今為止的湍流模擬沒(méi)有一個(gè)是建立在完全嚴(yán)密的理

2、論基礎(chǔ)上，因此也稱之為湍流的半經(jīng)驗(yàn)理論。目前雖然沒(méi)有建立適用于任何流動(dòng)條件的通用湍流模式的前景，但針對(duì)各種具體流動(dòng)，已成功地發(fā)展了一些模型，它們?cè)诠こ碳夹g(shù)應(yīng)用中發(fā)揮著越來(lái)越大的作用。 目前的湍流統(tǒng)計(jì)模式主要有兩類:湍流渦粘模式和雷諾應(yīng)力模式。,2,1、湍流渦粘模式,(634）,渦粘模式理論是目前工程中常用的模式，它的表達(dá)式和分子粘性類似，因此比較容易將NS方程數(shù)值解法推廣到雷諾平均方程的計(jì)算中來(lái)。 (1)、渦粘性模型 布西內(nèi)斯克（Boussinesq J.,1877）提出二維湍流的雷諾應(yīng)力與粘性應(yīng)力作用相似的假設(shè)，即局部的雷諾應(yīng)力與平均速度梯度成正比： 對(duì)三維流動(dòng),(635）,3,其中： 湍流

3、動(dòng)力粘性系數(shù)，或稱渦旋粘性系數(shù)， 是湍流運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。 上述假設(shè)所以能提出是基于對(duì)湍流脈動(dòng)引起的動(dòng)量交換與氣體分子運(yùn)動(dòng)引起的粘性切應(yīng)力進(jìn)行簡(jiǎn)單的類比的結(jié)果。對(duì)于 一般在定溫下可認(rèn)為是常數(shù)，但 不是常量，因?yàn)橥牧鞯膭?dòng)量交換取決于湍流的平均運(yùn)動(dòng)。,應(yīng)力張量表示,(636）,流動(dòng)只在一個(gè)方向上有明確的速度梯度時(shí)，可以認(rèn)為 是個(gè)標(biāo)量。在一般情況下，當(dāng)i=j時(shí),(637）,4,式中k為湍動(dòng)能 ，如果 是一個(gè)標(biāo)量， 那么 ，而實(shí)際上 。為此Boussinesq修正（635），提出對(duì)于三維湍流,(638）,Townsend.A.A測(cè)得在圓柱尾跡的充分湍流區(qū)， 是來(lái)流速度，d是圓柱直徑）。Hinze J.O.

4、在空氣的圓截面射流中測(cè)得 （UP是射流入射速度，d是射流孔徑）。當(dāng)UP40m/s ，d=25mm，則 大約是空氣 的1000倍。,5,Prandtl混合長(zhǎng)度理論依然從Boussinesq的假設(shè)出發(fā)，對(duì)于二維湍流，令：,式中 為湍流雷諾切應(yīng)力，并 認(rèn)為與湍流的脈動(dòng) 速度與混合長(zhǎng)度lm的乘積成正比 混合長(zhǎng)度lm類比于氣體分子運(yùn)動(dòng)的自由行程，在lm一段 特征長(zhǎng)度之內(nèi)湍流微團(tuán)保持自己的動(dòng)量不變。,（2）混合長(zhǎng)度理論,6,對(duì)于圖中二維不可壓定常湍流： 假設(shè)微團(tuán)從 或 運(yùn)動(dòng)至 ，對(duì)于 來(lái)講， 脈動(dòng)速度 或 ，,圖66 混合長(zhǎng)度與脈 動(dòng)速度,7,由于 所以微團(tuán)從 運(yùn)動(dòng)到 時(shí) ，也就是說(shuō) 和 是異號(hào)的。 還可

5、以認(rèn)為 ，這是因?yàn)楫?dāng) 處的微團(tuán) 到達(dá)點(diǎn) 時(shí)，恰巧在 微團(tuán)的左邊時(shí)，就會(huì)產(chǎn) 生碰撞，而產(chǎn)生橫向運(yùn)動(dòng) ，這樣 。同樣, 當(dāng)兩個(gè)微團(tuán)到達(dá) 點(diǎn)時(shí)向相反運(yùn)動(dòng)時(shí)，周圍的微團(tuán)會(huì) 向中間補(bǔ)充也會(huì)產(chǎn)生 。,8,圖67 的產(chǎn)生,認(rèn)為,(639）,9,根據(jù)實(shí)驗(yàn)研究可以得到以下幾點(diǎn)： a、由試驗(yàn)得到的 ，不象假設(shè)的那樣為流體微團(tuán)的尺寸，而是與流動(dòng)的平均尺度一樣的量級(jí)。 b、 不是空間常數(shù)。在邊界層中根據(jù)尼古拉茲和Klebanoff試驗(yàn)，在內(nèi)層（壁面區(qū)） 式中i表示內(nèi)層，k=0.400.41， 是壁面摩擦 阻力。,(640）,(641）,10,在邊界層的外層（核心區(qū)）： 式中o表示外層， ， ， 為間隙因子。,(642

6、）,Van Driest（1959）年提出在內(nèi)層：,(643）,11,式中 ，在外層：,(644）,c、根據(jù)上述公式在管流中 時(shí)， ，那么， ，而事實(shí)上 ，為此Prandtl提出修正：,(645）,是附加混合長(zhǎng)度，不過(guò)由試驗(yàn)確定 很復(fù)雜。,d、混合長(zhǎng)度理論沒(méi)有考慮壓力脈動(dòng)對(duì)動(dòng)量傳遞的影響，而壓力脈動(dòng)可以跨越lm而傳遞的，考慮到壓力脈動(dòng)的影響，流體微團(tuán)的動(dòng)量不可能在lm范圍內(nèi)保持不變。,12,二維湍流場(chǎng)中，流體微團(tuán)的動(dòng)量傳遞還伴隨著旋轉(zhuǎn)， 其角速度為,(646）,Karman相似理論：Karman（1930）提出了一種湍流局部相似性假設(shè)。他認(rèn)為在自由湍流場(chǎng)中各空間點(diǎn)的湍流脈動(dòng)具有幾何相似性，也就

7、是說(shuō)，各點(diǎn)的湍流脈動(dòng)對(duì)同一個(gè)時(shí)間尺度和長(zhǎng)度尺度只有比例系數(shù)的差別，因此只要用一個(gè)時(shí)間和速度比尺就能確定湍動(dòng)結(jié)構(gòu)。對(duì)于二維湍流場(chǎng)，混合長(zhǎng)度lm的表達(dá)式為：,13,設(shè)一個(gè)微團(tuán)從x2向上運(yùn)動(dòng)到x20。其中 那么：,圖68 流體微團(tuán)的動(dòng)量傳遞,14,可以求出x2點(diǎn)的平均角速度,15,由于微團(tuán)以 轉(zhuǎn)動(dòng)，所以在 處產(chǎn)生 同時(shí) ，并令 ，那么,(647）,16,所以雷諾切應(yīng)力為： 式中k=0.40。 卡門理論似乎比普朗特理論完善一些，但比較繁 瑣，此外當(dāng) 時(shí)， 為奇點(diǎn) ，所以工程 上多用Prandtl理論。,(648）,17,(647a）,(647b）,18,19,(3)、零方程模型 在上述理論的基礎(chǔ)上，一

8、些學(xué)者提出了湍流粘性系數(shù)的代數(shù)型模型，也稱為零方程模型: CebciSmith（1968）（CS）模型， MellorHerring（1968）（MH）， PatankaSpalding（1968）（PS）和 BaldwinLomax（BL）等模型。 這些模型的共同點(diǎn)是根據(jù)湍流邊界層的結(jié)構(gòu)，對(duì) 在邊界層的內(nèi)層和外層須用不同的尺度。 CS模型發(fā)展了Van Priest的模型，得到廣泛的應(yīng)用，其公式為：,20,對(duì)于內(nèi)層：,k=0.40,A是衰減因子。,(649）,21,若為實(shí)壁 則,式中， 為壓力梯度系數(shù)， 為壁面吹氣系數(shù)， 。,對(duì)于外層 ：,(650）,22,當(dāng) 當(dāng),內(nèi)層外層的分界點(diǎn) 是（649

9、）式和（650）式達(dá)到相同的 值確定。式中 是從層流到湍流轉(zhuǎn)捩區(qū)中的間歇因子，對(duì)于二維流動(dòng)：,23,其中 為轉(zhuǎn)捩開(kāi)始的位置，G為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)：,BL模型（1978）同樣適用于湍流邊界層。其主要特點(diǎn)為：采用分區(qū)的渦粘公式；用渦量取代變形率；對(duì)混合長(zhǎng)度做近壁修正。具體的表達(dá)式為：,24,(651）,(652）,25,(653）,26,代數(shù)模式的最大優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量少，只要附加粘性模型，就可以利用通常的NS方程數(shù)值計(jì)算程序，因此深受工程師們歡迎。代數(shù)比較模式容易針對(duì)特定的流動(dòng)狀態(tài)做各種修正。BL模式主要適應(yīng)于小曲率的湍流邊界層，加以修正也可應(yīng)用于有壓強(qiáng)梯度和曲率的邊界層。CS模式可用于計(jì)算二維和軸對(duì)稱的不可

10、壓邊界層，也可推廣到三維邊界層中。 代數(shù)渦粘模式的最大缺點(diǎn)是它的局部性，代數(shù)表達(dá)式中雷諾應(yīng)力之核當(dāng)?shù)氐钠骄冃温视嘘P(guān)。代數(shù)模式完全忽略了湍流通計(jì)量之間關(guān)系的歷史效應(yīng)，而歷史效應(yīng)很難做局部的修正，因此發(fā)展包含歷史效應(yīng)的模式是必要的，常用的 模式包含部分歷史效應(yīng)，稱為目前工程湍流計(jì)算的主要封閉模式。,27,2、k-模型,（1）、k-模型 k-模型屬于兩方程的湍流模型，即湍流湍動(dòng)能k和湍能的耗散率 是由兩個(gè)微分方程k和的傳輸方程決定的。 k-模型仍沿用Boussinesq的渦粘性概念： 式中， 為湍流運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，為湍流長(zhǎng)度尺度：,(654）,28,對(duì)不可壓縮湍流的湍流動(dòng)能方程為：,不可壓縮流體的湍

11、流動(dòng)能方程為：,(655）,29,(656）,(657）,30,(658）,31,32,33,34,因此湍動(dòng)能耗散的方程為：,(659）,35,36,（2）RNG 湍流模型,鑒于標(biāo)準(zhǔn) 模型中 方程不夠精確，尤其對(duì)時(shí)均應(yīng)變率較大的流動(dòng),如回流、旋流及分離流等難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。1986年Yakhot和Orszag應(yīng)用重整化群RNG (Renormalization Group) 理論，建立了一類新的湍流模型RNG 湍流模型，其中方程中的系數(shù)都是理論推導(dǎo)出來(lái)的。RNG 與標(biāo)準(zhǔn) 模型形式比較相似，其中不同之處主要是在 方程中增加了一項(xiàng)，它包括了渦粘系數(shù)的各向異性、歷史效應(yīng)以及平均渦量的影響。,RNG 湍流

12、模型與標(biāo)準(zhǔn) 湍流模型有類似之處：,37,根據(jù)Boussinesq假設(shè)，湍動(dòng)能生成項(xiàng) 為：,(660）,(661）,38,式中， 為應(yīng)變率張量； 是由于浮力引起的湍動(dòng)能生成項(xiàng)，計(jì)算中可以不予考慮； 是由于可壓縮性引起的湍動(dòng)能耗散項(xiàng)，不可壓縮流動(dòng)中也不予考慮。 在 方程中，附加項(xiàng)為,39,（3）在近壁區(qū)使用 模式的問(wèn)題及對(duì)策,40,圖69 壁面區(qū)速度分布,41,(a) 壁面函數(shù)法,(b)低雷諾模式,圖610 求解壁面流動(dòng)的兩種模式,42,(662）,(663）,43,(664）,44,（4）湍動(dòng)能和湍動(dòng)能耗散的邊界條件,(665）,45,3、單方程渦粘系數(shù)模式,(666）,(667）,46,(66

13、8）,47,將雷諾應(yīng)力方程 代入方程（669）可得,(669）,48,(670）,49,三階關(guān)聯(lián)項(xiàng)可以推出輸運(yùn)方程，但會(huì)出現(xiàn)四階關(guān)聯(lián)項(xiàng)。這些高階關(guān)聯(lián)項(xiàng)的封閉的精度還沒(méi)有把握，故目前采用Launder提出的代數(shù)型模型,4、雷諾應(yīng)力輸運(yùn)模式：2階矩模式,(671）,50,在高雷諾數(shù)的流動(dòng)中壓力相關(guān)項(xiàng) ，和擴(kuò)散項(xiàng) 可以忽略。此外湍能耗散項(xiàng) 之項(xiàng)只考慮i=j時(shí)的影響，即： 同時(shí)認(rèn)為壓力應(yīng)變率相關(guān)項(xiàng)(再分配項(xiàng))用下式表示：,(672）,(673）,(674）,51,(675）,52,那么應(yīng)力方程模式化后,式中系數(shù)， 同時(shí) 。,上式加上耗散率方程，就可以求出雷諾應(yīng)力。不過(guò)此模型對(duì)于平面和圓孔自由射流結(jié)果并

14、不理想。應(yīng)力模型處于發(fā)展階段有希望成為適應(yīng)性很強(qiáng)的湍流模型。,(676）,53,5、代數(shù)應(yīng)力模式（ASM）,應(yīng)用2階矩模式求解湍流平均場(chǎng)比渦粘模式需要多解6個(gè)雷諾應(yīng)力的偏微分方程。Rodi(1976)年提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的雷諾應(yīng)力模式，稱為代數(shù)應(yīng)力模式(algebraic stress model,ASM)。在緩變的定常薄層湍流運(yùn)動(dòng)中，可以不計(jì)雷諾應(yīng)力的時(shí)間導(dǎo)數(shù)和空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，只有生成、耗散和再分配項(xiàng)，稱為雷諾應(yīng)力輸運(yùn)的局部平衡假定。簡(jiǎn)單地講，就是忽略雷諾應(yīng)力沿平均軌跡的變化和雷諾應(yīng)力的擴(kuò)散項(xiàng)。得到雷諾應(yīng)力的隱式代數(shù)方程：,54,(677）,(678）,55,雷諾平均模型雖然取得了一定成功，但它存在以下兩個(gè)重大缺陷：a、它通過(guò)平均運(yùn)算將脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)的全部行為細(xì)節(jié)一律抹平，丟失了包含在脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)